ATV_004

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27/03/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – GRA1594 ...
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Usuário LUIZ PAULO DE FREITAS FERNANDES
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-8212.11
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 20/03/21 20:45
Enviado 27/03/21 13:53
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 161 horas, 7 minutos
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Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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Comentário
da
resposta:
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares
homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução  que
satisfaça às condições iniciais da forma  e . Por meio dessas
condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. 
  
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as
afirmativas a seguir:
  
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as a�rmativas I e II,
pois: 
A�rmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas
raízes são  (duas raízes reais e distintas). 
A�rmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a
saber , a solução geral é expressa por . A partir
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das condições iniciais, obtemos o seguinte sistema: 
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 2
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Leia o excerto a seguir: 
  
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de
voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma
das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos
 , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a
corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537). 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem
constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente
do circuito  quando o interruptor é ligado em .
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da equação diferencial
fornecida no enunciado, , e dos valores fornecidos,
 e , temos que . Arrumando a
expressão da equação diferencial, temos
. 
Tomando  temos . Para ,
temos que , portanto a
expressão da corrente é .
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Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais,
podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são
conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição
adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim,
uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de
Valor Inicial (PVI) . 
  
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003.  Disponível
em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20
dez. 2019. 
  
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim,
podemos resolvê-la separando as variáveis  e , integrando ambos os lados da
igualdade em seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se  então . Trocando esses
valores na solução, obtemos: . Portanto, a solução
do PVI é .
Pergunta 4
Resposta Selecionada:
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de
  um capacitor com capacitância de  e um resistor com uma
resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente
por meio da seguinte equação diferencial: , onde  é a carga,
medida em coulombs. 
  
Dado que , assinale a alternativa correta. 
  
  
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
A função corrente é expressa por .
A função corrente é expressa por .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da
função carga, isto é, . A EDO  é uma equação linear de
primeira ordem cuja solução pode ser expressa por
. Dada a EDO
, temos que  e . Portanto,
sua solução geral é
. Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa por
. Por �m, concluímos que a função corrente é
.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma
 , onde  e  são funções contínuas em um dado intervalo. A
solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela
expressão . 
  
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência,
assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s): 
  
  
I. A solução geral da equação  é . 
II. A solução geral da equação  é . 
III. A solução geral da equação  é . 
IV. A solução geral da equação  é . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I, II e IV, apenas.
I, II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução
para uma equação diferencial linear, temos: 
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resposta: A�rmativa I: correta. Temos que  e , assim, 
. 
  
A�rmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que  e
, assim,
. 
  
A�rmativa IV: correta. Temos que  e , assim,
, onde .
Pergunta 6
Resposta
Selecionada:
Resposta
Correta:
Comentário
da
resposta:
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m.
Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N.
Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja
liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação
diferencial: , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da
massa  e  é a constante elástica. 
  
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke:
 ). 
  
  
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes
condições:  (a mola no tempo  está esticada em 0,8 m sendo
seu comprimento natural de 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m) e
 (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é
a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da
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constante elástica é: . Tomando  e
 na EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o
PVI: ,  e  temos que a solução geral da EDO
é  , portanto, a solução do PVIé .
Portanto,
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza
podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor
inicial: 
 , 
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa.
Considere a seguinte situação: 
  
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é
proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que
corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
  
  
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela
seguinte equação diferencial , onde  é a função quantidade de
bactérias que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para
 temos . Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde  e  são constantes e . Como  temos
. Portanto, a função que
descreve o crescimento dessa população de bactérias é .
Pergunta 8
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma força
eletromotriz  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: .
Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um
resistor de , uma indutância de  e uma voltagem constante de . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada. 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO
linear de primeira ordem  é expresso por .
Dada a EDO , temos que  e, portanto,
o fator integrante é .
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial
  se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância
é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de
problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde 
 representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do
tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial  reduzida em
0,043% após 15 anos. 
  
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial
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Sábado, 27 de Março de 2021 13h53min48s BRT
resposta: separável , temos que as a�rmativas I e II estão corretas, pois 
, onde . 
Para , concluímos que  e, para 
 concluímos . Portanto, a função que representa o
problema descrito é .
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser
expressas por meio da seguinte forma: , onde  e 
 são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos
escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de
segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s)
e F para a(s) Falsa(s). 
  
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem 
 é expressa por . 
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como solução a
função . 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
  
V, F, F, F.
V, F, F, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das equações
diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, temos que, entre as
a�rmativas apresentadas, apenas a a�rmativa I é verdadeira, sendo todas as
outras falsas. Portanto, a sequência correta é V, F, F, F.
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