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1 Departamento de Economia ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia Lista Teórica 1 Parte I: Dados em Painel 1. Exercício 13.3 do Wooldridge. 2. Exercício 13.5 do Wooldridge. 3. Exercício 13.6 do Wooldridge. 4. Em um modelo com efeito individual não observado (ai), itiitit uaxy +++= βα (1) redefina o erro como vit = ai + uit, onde: (i) ai é não-correlacionado com uit e tem variância constante e igual a σa2 ; (ii) uit tem variância constante e igual a σu2; (iii) uit é não- correlacionado com x, além de serialmente não-correlacionado. a) Explique por que, sob as hipóteses acima, o estimador de MQO da equação (1) é consistente mas ineficiente. Defina, agora, a equação transformada: ( ) ( ) ( )iitiitiit vvxxyy λλβλαλ −+−+−=− )1( (2) onde λ=1−[ σu2/( σu2 + T σa2)]1/2. O estimador de efeitos aleatórios é obtido pela aplicação de MQO nessa equação transformada. b) Defina ( )iitit vve λ−= . Mostre que, para t≠s, cov(eit,eis��)=0�. Você deve primeiro mostrar que E(eit) = 0; depois, que Var(eit) = σu2, t=1,....T; e, enfim, provar o resultado desejado. c) Qual a implicação do resultado do item anterior para as propriedades do estimador de MQO na equação transformada (2) - isto é, para as propriedades do estimador de efeitos aleatórios? 2 d) Compare a equação (2) com a equação transformada associada ao estimador de efeitos fixos: ( ) ( ) ( )iitiitiit uuxxyy −+−=− β (3) Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois estimadores – efeitos fixos e aleatórios) são idênticas? Isso faz sentido? e) Agora compare a equação do estimador de efeitos aleatórios, (2), com a equação original (1). Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois estimadores - efeitos aleatórios em (2) e MQO em (1)) são idênticas? Isso faz sentido? 5. Deseja-se estimar, para um painel com dois períodos e 500 indivíduos, a equação ln (Rendit) = β0 + δT2 + ai + β1 Informal it + uit Onde: T2 é uma dummy para o segundo período. Rend=rendimento Informal=dummy igual para trabalhadores informais e zero caso contrário ai é um efeito individual não observado uit é um erro não-correlacionado com as variáveis explicativas (i) Qual é o possível problema em estimar esse modelo por MQO (“pooled”)? (ii) Reescreva o modelo acima em primeira diferença e mostre como isso resolve o problema acima. (iii) Cite um outro método através do qual o problema citado poderia ser solucionado. (iv) Por que não podemos incluir uma variável dummy para gênero nas regressões dos itens (ii) e (iii)? 6. A tabela abaixo apresenta os resultados de regressões que usam dados de 27 Unidades da Federação (UFs) brasileiras em diferentes períodos, que vão de 1992 a 2002. Nessas regressões, a variável dependente é a porcentagem de domicílios, em cada UF, cuja renda per capita está abaixo da “linha de pobreza extrema”. Na primeira coluna é estimada uma regressão por Mínimos Quadrados Ordinários com os dados “empilhados” (“pooled”). A segunda coluna apresenta o resultado da regressão com efeitos fixos e na terceira coluna são mostrados os resultados com efeitos aleatórios. As variáveis explicativas que aparecem nas regressões são as seguintes: • Desig = Desigualdade de renda em cada UF medida pelo índice de Gini. • Educ = média dos anos de educação em cada UF • “Dummies” de tempo, representadas por: D1992, D1993,.....D2001. 3 Variável dependente: Proporção de domicílios na pobreza extrema Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t desig 0.668 5.79 0.315 3.51 0.368 4.06 educ -0.060 -15.74 -0.016 -2.01 -0.039 -6.15 D1992 - - - - - - D1993 -0.005 -0.33 -0.005 -0.71 -0.005 -0.68 D1995 -0.051 -3.36 -0.056 -7.73 -0.052 -6.94 D1996 -0.040 -2.61 -0.050 -6.44 -0.043 -5.44 D1997 -0.029 -1.87 -0.043 -5.25 -0.033 -4.10 D1998 -0.032 -2.08 -0.052 -6.01 -0.040 -4.71 D1999 -0.014 -0.90 -0.043 -4.60 -0.027 -3.02 D2001 -0.010 -0.61 -0.044 -4.39 -0.025 -2.70 Constante 0.107 1.42 0.099 1.50 0.175 2.75 Obs. Teste de Hausman χ2(9) (1) (2) (3) MQO Efeitos fixos Efeitos aleatórios 19.41 216 216 216 a) Sob que condições cada um dos estimadores acima é consistente? b) Comparando os coeficientes estimados para as variáveis desig e educ nas colunas (1) e (2) da tabela acima, notamos que os coeficientes estimados por MQO são maiores em módulo do que os estimados usando efeitos fixos. O que pode explicar essas diferenças entre os coeficientes nas duas regressões? Exemplifique sua argumentação adequadamente. c) Na regressão com efeitos fixos: (i) Podemos incluir uma “dummy” para a região geográfica (Norte, Nordeste etc.) da UF? Em caso negativo, por que não? Em caso positivo, como isso seria feito?. (ii) Podemos reespecificar o modelo de modo a estimar de que forma o efeito da educação varia entre regiões geográficas? Em caso negativo, por que não? Em caso positivo, como isso seria feito? d) O valor-p do teste de Hausman apresentado na tabela acima é menor que 0,025. Qual a conclusão que podemos tirar desse teste? Explique. e) Em geral, sob que condições o estimador de efeitos aleatórios seria superior ao estimador de efeitos fixos? f) Qual é a interpretação dos coeficientes associados às “dummies” de tempo? Como a inclusão dessas “dummies” na regressão se diferencia da inclusão de uma tendência temporal linear? 4 7. Suponha que você esteja interessado em saber qual é o efeito do preço da gasolina sobre a demanda por esse produto. Você tem à sua disposição os resultados estimados para 18 países com dados anuais de 1960 a 1978 da seguinte equação: Ln (gasolina/carros)it = α + β1 (Y/N) it + β 2 (PG) it + β 3 (carros/N) it + u it Onde: (gasolina/carros)it = consumo de gasolina por automóvel no país i no ano t. (Y/N) it = renda real per capita no país i no ano t. (PG) it = preço real da gasolina no país i no ano t. (carros/N) it = número de carros per capita no país i no ano t. A tabela abaixo apresenta os resultados estimados usando Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e Efeitos Fixos. Coeficientes estimados MQO Efeitos Fixos 1 ˆβ 0,89 (0,04) 0,66 (0,07) 2 ˆβ -0,89 (0,03) -0,32 (0,04) 3 ˆβ -0,76 (0,02) -0,64 (0,03) a) Após observar esses resultados, uma economista afirma: “O efeito do preço da gasolina sobre o consumo está estimado de forma viesada ao usarmos MQO, mas não ao usarmos o estimador de efeitos fixos. Logo, a estimação por efeitos fixos é mais confiável”. Explique (sucintamente) cada passo da argumentação da economista, exemplificando adequadamente. b) Um segundo economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina usando efeitos aleatórios. Quais as condições para que isso seja apropriado? Você concorda com a sugestão desse economista? Explique. c) Um terceiro economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina reespecificando o modelo em primeiras diferenças. Sob que condições (se houver) esse procedimento é preferível à estimação por MQO? Sob que condições (se houver) esse procedimento não é preferível à estimação por MQO? 5 8. Você trabalha no Ministério da Justiça do Brasil, onde há grande preocupação com os elevados índices de criminalidade nos municípios brasileiros. O Ministro da Justiça lhe solicita a realização de um estudo econométrico para comprovar a hipótese de que um aumento do número de policiais per capita do município poderia reduzir os índices de criminalidade. Para uma amostra aleatória dos municípios da Federação, você dispõe de dados anuais entre 2000 e 2004, inclusive: Crime: Número de crimes (em unidades) PIB: PIB (em R$ milhões) Pop: População (em 1.000 habitantes) SalPol: Salário médio dos policiais do município (em R$) Esc: Escolaridade média da população (em anos) EduPol: Educação média dos policiais do município (em anos) Rural:Variável binária (dummy) indicando se o município é rural ExpPol: Experiência média dos policiais do município (em anos de serviço) Ind: Variável binária (dummy) indicando se o município é industrial IdPol: Idade média da população (em anos) Des: Índice de desigualdade social NumPol: Número de policiais per capita do município U: Taxa de desemprego (em %) Cond: Percentual dos crimes que foram resolvidos e o(s) criminosos foram efetivamente condenados Apo: Número de aposentados do município NumEsc: Número de escolas per capita do município Além disso, você dispõe dos seguintes dados para o Brasil como um todo: PIBBrasil: PIB do Brasil (em R$ bilhões) TxJuros: Taxa de juros (em %) UBrasil: Taxa de desemprego (em %) IdPopBrasil: Idade média da população (em anos) Salmin: Salário mínimo Inf: Taxa de inflação (a) Proponha um modelo econométrico a ser estimado usando parte, ou a totalidade, das variáveis acima que permita testar a hipótese de interesse e ao mesmo tempo possa explicar as principais causas dos elevados índices de criminalidade. Caso a hipótese não seja rejeitada, determine o aumento percentual do número de policiais per capita requerido para reduzir os índices de criminalidade em 15%. Seja preciso no que se refere aos seguintes pontos, justificando-os adequadamente: − Defina claramente a forma funcional da equação a ser estimada; − Defina claramente a variável dependente da equação. − Defina claramente as variáveis explicativas incluídas na equação. − Defina claramente possíveis variáveis que não estão listadas acima e que deveriam ser incluídas no modelo. − Defina claramente os índices de cada variável, ou seja, indique precisamente quais variáveis variam somente ao longo do tempo, quais variam unicamente entre municípios e quais variam em ambas as dimensões; − Defina claramente, em termos dos parâmetros do seu modelo, a hipótese a ser testada. − Defina os possíveis fatores não observados, fixos ao longo do tempo, que poderiam afetar os índices de criminalidade. Como você incluiria esses fatores no seu modelo? (b) Como você estimaria o modelo definido no item anterior? Justifique cuidadosamente. (c) Suponha que os níveis de escolaridade de todos os municípios da amostra tenham se mantido constantes ao longo do tempo. O método de estimação proposto por você permite estimar a elasticidade entre escolaridade e índices de criminalidade? (d) Explique como você testaria a hipótese de interesse. Seja preciso no que se refere ao nível de significância, valor crítico e regra de rejeição do teste. 6 9. A fim de analisar a relação entre comparecimento às aulas e desempenho escolar, um economista australiano observou os alunos do Curso de Estatística da Universidade de Wollongong durante um semestre (J.R.Rodgers, “A Panel-Data Study of the Effect of Student Attendance on University Performance, Australian Journal of Education, 45(3), 2001”). O semestre era dividido em 4 períodos, e ao final de cada período o aprendizado da matéria era avaliado a partir da realização de uma prova. Com base nas informações sobre a freqüência dos alunos às aulas e seu desempenho nas provas de cada período do semestre, o economista inicialmente estimou a seguinte equação por MQO (usando apenas as observações referentes aos 167 alunos que fizeram todas as provas): (NOTA)it = α + β1 (FREQUENCIA)it + β 2 (DUM1)t + β 3 (DUM2)t + β 4 (DUM3)t + u it Onde: (NOTA)it = nota do aluno i na prova do período t. (FREQUENCIA) it = freqüência de comparecimento do aluno i às aulas do período t. (DUM1)t = variável dummy para o período 1. (DUM2)t = variável dummy para o período 2. (DUM3)t = variável dummy para o período 3. uit = termo de erro. A estimativa obtida para o parâmetro 1ˆβ foi de 0,20, com erro-padrão 0,01. a) Qual é a implicação desse resultado para a relação esperada entre comparecimento às aulas e desempenho escolar? Por que é provável que essa estimativa esteja viesada? b) Qual é a relevância de se incluir na regressão as dummies DUM1, DUM2 e DUM3? Em seguida, o economista reestimou a equação acima através de dois métodos distintos, obtendo os seguintes resultados: − Efeitos fixos: 1ˆβ = 0,05, erro-padrão = 0,024 − Efeitos aleatórios: 1ˆβ = 0,10, erro-padrão = 0,01 c) Esses resultados fazem sentido, à luz de sua resposta ao item (a)? d) A estatística do teste de Hausman para testar efeitos fixos contra efeitos aleatórios foi 17,73 (p-valor 0,0014). O que isso significa? Por fim, o economista estimou novamente a equação acima, adicionando, porém, outras variáveis explicativas, dentre as quais: (i) nota média do aluno i nas outras matérias cursadas no semestre sob investigação; (ii) dummy de sexo; (iii) dummy para aluno em tempo integral. A nova estimativa para 1ˆβ foi de 0,06, com erro-padrão 0,02. e) Compare essa nova estimativa com as obtidas anteriormente, discutindo as razões para eventuais semelhanças ou diferenças. 7 10. Seja ity a taxa de desemprego no município i no período t. Você está interessado em estudar os efeitos de um programa federal de treinamento e qualificação profissional sobre o desemprego dos municípios. Seja iz um vetor de k características observáveis que variem entre municípios mas sejam constantes no tempo (o Estado em que o município se localiza, por exemplo). Seja itx um vetor de p características observáveis que variem entre municípios e no tempo. A variável itprog é a dummy indicadora da participação no programa: itprog =1 se o município i participa do programa no período t. Qualquer seqüência de participação é possível, ou seja, certo município pode participar em um período mas não em outro. a) (0,5 ponto) Considere o seguinte modelo estimado por MQO: itititiit uprogxzy ++++= 1δβγα , i=1,2,...,N; t=1,2,...,T onde o erro do modelo é dado por: itiit vcu += . Avalie a seguinte afirmativa: “Esse modelo é de utilidade limitada porque os estimadores de MQO serão inconsistentes se os erros { itu } forem autocorrelacionados”. [Concorda? Discorda? Por quê?] b) (0,75 ponto) Suponha que 0),|( =itiit xzuE e 0)|( =itit progvE , mas você suspeite que a participação no programa dependa de características não observáveis das cidades constantes no tempo – isto é, que 0)|( ≠iti progcE . Como você testaria essa hipótese? Explique detalhadamente. c) (0,75 ponto) Suponha que suas suspeitas no item anterior tenham sido confirmadas – isto é, que o teste proposto no item anterior indique que 0)|( ≠iti progcE . Que método de estimação você usaria para estimar a regressão de interesse? Justifique! d) (0,5 ponto) Você consegue estimar todos os parâmetros 1 e ,, δβγα a partir do método proposto no item anterior? Explique. e) (0,5 ponto) Suponha agora que, em vez de depender das características não observáveis das cidades constantes no tempo, a participação no programa dependa de efeitos temporais não observados tθ (por exemplo, fatores macroeconômicos que variem no tempo mas afetem todos os municípios da mesma forma). Logo, o modelo apropriado é agora: ittititiit vprogxzy +++++= θδβγα 1 , i=1,2,...,N; t=1,2,...,T Uma forma de controlar para tais efeitos temporais seria através da introdução de variáveis dummy para cada período. Suponha, porém, que você não queira introduzir dummies para cada período. Que transformação do modelo acima pode ajudar a resolver a omissão do efeito temporal e tornar o modelo transformado estimável consistentemente por MQO? (Mostre algebricamente a transformação utilizada). 8 Parte II: Séries Temporais 1. Considere a seguinte versão modificada do modelo de Samuelson (Review of Economics and Statistics, maio de 1939) de interação entre o “multiplicador keynesiano” e o “princípio do acelerador”: ( )1 1 − − −= += ++= ttt ttt ttt cci yc gicy β εα onde y, c, i, g e ε são, respectivamente, a renda nacional,o consumo, o investimento, os gastos do governo e um distúrbio i.i.d. com média zero; α e β são parâmetros positivos que representam o multiplicador e o acelerador, respectivamente. Note que os gastos do governo são constantes no tempo. a) Mostre que a trajetória da renda pode ser descrita por um modelo ARMA(2,1). Você deve definir adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes desse modelo e os parâmetros do modelo estrutural. b) Que restrições os coeficientes α e β devem satisfazer para que o processo que descreve a trajetória da renda seja estacionário? Desenhe a região de estacionariedade em um gráfico tendo α no eixo vertical e β no horizontal. c) Suponha α = β = 0,5 e g = 100. O processo é estacionário? Caso positivo, em torno de qual valor a renda deve flutuar? 2. Considere o processo estocástico definido por 11),,0NID(~, 02110 <<−++= − φσεεφφ tttt YY Prove que o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de segunda ordem. 3. Considere o processo estocástico definido por ),0NID(~, 2332211 σεεεθεθεθεθµ ttqtqttttY ++++++= −−−− L Prove que para quaisquer valores de θ1,..., θq, o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de segunda ordem. 9 4. Verifique a estacionariedade dos processos ARIMA abaixo: a) tttt uyyy +−= −− 21 1.07.0 b) tttt uyyy +−= −− 21 5.0 c) 11 8.05.02 −− +++= tttt uuyy d) tt uByBB )5.01()1.09.01( 2 −=−− e) ttt uyy ++= −110 5. Considere o seguinte processo estocástico: Yt = 0,8 Yt-1 – 0,2 Yt-2 + ut – 1,5 ut-1 + 0,5 ut-2 ut ~ ruído branco Todo número complexo x = a + bi, onde 1−=i , pode ser representado por um vetor num plano cartesiano; sua coordenada horizontal é a parte real do número (a), enquanto que a coordenada vertical é sua parte imaginária (b). Dessa forma, localize no plano ao lado, em que os quadrados pontilhados têm lado unitário, a(s) raíz(es) do polinômio φ(B) do processo Yt, calculando também o módulo (“comprimento”) dela(s). O que a localização dessa(s) raíz(es) no plano indica sobre o processo Yt? 6. Mostre que a soma de dois processos estocásticos estacionários independentes também é um processo estacionário. 7. Considere o processo estocástico: > = = − 1 1 1 tz t z t t ω onde ω é uma variável aleatória qualquer. O processo é estacionário? É ergódico (isto é, “assintoticamente independente”)? Re Im 10 8. Calcule a função de autocorrelação dos processos abaixo. Mostre os 5 primeiros valores da FAC num gráfico. (a) ttt uyy += −15.0 (b) 21 3.02.0 −− −−= tttt uuuy 9. Considere o seguinte processo estocástico: 21 )3,0()1,0( −− −−= tttt uuuY (*) ut ~ N(0, 1) (a) Que formato você esperaria para a FAC e FACP de uma realização do processo? (b) O economista A observa uma realização do processo, sem saber que o verdadeiro processo gerador dos dados é (*). Ele deseja identificar o processo através da análise da FAC e FACP amostral. Mas o economista B, que conhece o processo gerador (*), afirma: “Dificilmente o economista A conseguirá identificar corretamente o processo, a menos que disponha de número muito grande de observações”. Comente essa afirmação. 10. A FACP teórica de um processo ARIMA decai exponencialmente (em módulo), enquanto que sua FAC teórica tem o seguinte gráfico, onde ρ(k) = 0 para k > 2: Escreva a equação completa do processo, com o valor teórico dos parâmetros e verifique se ele é estacionário. Suponha que Var(ut) = 2 e a Var(Yt) = 12. [Dica: Primeiro escreva a equação do processo em função de parâmetros desconhecidos; em seguida, calcule o valor desses parâmetros a partir da função de autocorrelação do processo e das informações acima.] Defasagem 1 2 1/3 -1/2 11 11. Um processo da classe ARIMA apresenta os seguintes formatos para a FAC e FACP: F A C 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D efasagem F AC P 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Def asag em Você observa uma realização do processo até o período T e deseja prever os valores que serão observados em T+1 e T+2. Além da FAC e FACP acima, você dispõe das seguintes informações: (i) a média do processo é 10; (ii) o valor de Y em T é 12; (iii) as inovações ut têm distribuição N(0,1). (a) Calcule as previsões para T+1 e T+2. (b) Calcule a variância do erro de previsão para as previsões acima. (c) O intervalo de confiança para suas previsões é maior em T+1 ou T+2? Comente. (d) Qual é o valor previsto para T+100? 12. Você deseja prever a taxa de inflação a partir de um modelo ARIMA. A FAC e FACP amostrais da taxa de inflação mensal encontram-se retratadas abaixo: (a) Com base nos gráficos acima, que tipo de modelo ARIMA parece constituir uma boa aproximação para a série em questão? (b) Quais informações adicionais você gostaria de obter a fim de certificar-se de que o modelo escolhido no item anterior é realmente adequado? (c) Supondo que você disponha de informações até maio de 2009, explique como você obteria previsões para junho e julho de 2009, e para junho de 2012. (d) Um colega sugere estimar um modelo para a inflação em função da taxa de câmbio e da taxa de juros, pois acredita que tais variáveis possam aumentar a capacidade preditiva do modelo, relativamente a um modelo univariado da classe ARIMA. Como você compararia as previsões dos dois modelos, a fim de escolher aquele com melhor capacidade preditiva? 12 13. Considere o seguinte modelo macroeconômico: pipiλpi tEttt uy ++= (1) y t E ttt uiy +−= − )( 1 piγ (2) 1−= t E t pipi (3) )( pipiρ −+= tt ii (4) onde: 0 ,01 ,10 0 média com i.i.d. choques"" , )(constante inflação de meta )(constante "equilíbrio de" nominal juros de taxa tperíodo no nominal juros de taxa 1)-(tanterior período o até informação em base com t,em inflação da aexpectativ tperíodo no produto do hiato tperíodo no inflação ≥<<−<< = = = = = = = ργλ pi pi pi pi y tt t E t t t uu i i y A equação (1) é uma “curva de Phillips” que relaciona a inflação corrente ao hiato do produto e à expectativa passada da inflação, além de um “choque de oferta”. A equação (2) é uma relação do tipo IS, na qual o hiato do produto depende da taxa de juros real no período anterior e de um “choque de demanda”. A equação (3) é a regra de formação de expectativas, segundo a qual a inflação esperada para o período t é simplesmente a inflação observada no período t-1. Finalmente, a equação (4) é a regra de política monetária do Banco Central, que determina a taxa de juros nominal em função do desvio entre a inflação corrente e a meta de inflação. (a) Mostre que a trajetória da inflação pode ser descrita por um processo ARMA(p,q). Você deve definir adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes desse modelo e os parâmetros do modelo estrutural acima. (b) Considere três possíveis valores para o coeficiente ρ na regra de política monetária do Banco Central: 0, 1 e 2. Em cada caso, diga se a inflação segue um processo estacionário ou não- estacionário (de segunda ordem), justificando sua resposta adequadamente. O que você pode inferir, a partir desses resultados, acerca da condução adequada da política monetária nessa economia? 14. Considere os seguintes processos estocásticos: ),0(~ e ),0(~ 0, 0, , 10 onde (II) (I) 22 1 1 x x ty y t xy x ttxt y ttyt NuNu uXX uYY σσ µµφφµ µ ≥≥<<++= ++= − − (a) Por que se diz que o processo Y é um “processo com raiz unitária”? (b) Mostre de que forma os valores de Xt e Yt dependem de todos os respectivos choques aleatórios (u´s) ocorridos no passado. (c) O que os resultados do item (b) implicamem termos da persistência ou transitoriedade dos efeitos dos choques que afetam Y e X? E em termos das médias e das variâncias de Y e X? (d) Na sua opinião, qual desses processos representaria uma melhor aproximação para o comportamento do PIB do país? E para o comportamento da taxa de juros real? Em cada caso, seria mais razoável considerar 0=µ ou 0>µ ? 13 15. Um economista analisa uma série temporal macroeconômica com freqüência mensal, abrangendo o período de janeiro de 1970 a dezembro de 2004. Abaixo, o gráfico do logaritmo da série e uma tabela com suas FAC e FACP: 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 30 40 50 60 70 80 90 00 Defasagem FAC FACP 1 0.997 0.997 2 0.994 -0.129 3 0.990 -0.070 4 0.986 -0.016 5 0.981 0.017 6 0.977 0.011 7 0.973 -0.015 8 0.969 0.007 9 0.965 -0.023 10 0.961 -0.021 a) Que propriedade importante o processo gerador dessa série parece não possuir, e qual a sua relevância para a estimação de um modelo da classe ARMA? Justifique sua resposta através do gráfico da série e da tabela que o acompanha. O economista calculou a primeira diferença da série mostrada no item anterior e, para essa série de diferenças, obteve as seguintes FAC e FACP: Defasagem FAC FACP 1 0.480 0.480 2 0.209 -0.028 3 0.077 -0.017 4 -0.008 -0.044 5 -0.032 -0.008 6 -0.039 -0.015 7 -0.042 -0.018 8 -0.002 0.036 9 0.000 -0.013 10 0.013 0.016 b) Lembrando que a distribuição assintótica das autocorrelações amostrais (FAC e FACP) pode ser aproximada por uma distribuição normal com variância 1/T, onde T é o número de observações amostrais, calcule o intervalo de confiança de 95% para a FAC e FACP. Até que defasagem a FAC é estatisticamente significativa? E a FACP? c) Com base nos itens anteriores, sugira um modelo ARIMA(p,d,q) para a série macroeconômica original, especificando os valores dos hiperparâmetros e, se possível, fornecendo uma estimativa do(s) parâmetro(s) da equação. 14 16. Suponha que o PIB brasileiro trimestral (com ajuste sazonal) seja representado pelo seguinte processo estocástico: )()( I t P tt yyy += , (Equação 1) onde Pty é o componente permanente (tendência) ou “PIB potencial” e Ity é o componente irregular out “hiato do produto”. Suponha ainda que: , , 11 )( 22 )( 110 )( )( tt I t I t I t P t yyy btay ηηθφφφ +−++= += −−− (Equação 2) onde a, b, φ0, φ1, φ2 e θ1 são parâmetros desconhecidos, ut e tη são dois ruídos-branco com média nula e variâncias 2uσ e 2 ησ , respectivamente e ( ) τητ ,,0E tut ∀= . Suponha ainda que θ1 tenha exatamente o mesmo valor do inverso de uma das raízes do polinômio auto-regressivo Φ(L) = (1 - φ1L - φ2L2). Somente a série yt é observada. Você é um economista recém contratado do Banco Central e a sua primeira tarefa é modelar o PIB trimestral do Brasil. Suponha que você tenha uma amostra de 40 observações. (a) (0,5 ponto) Explique como você obteria uma estimativa do PIB potencial e do hiato do produto. Um estagiário seu estimou o PIB potencial e encontrou as seguintes FAC e FACP para o hiato: FAC FACP (b) (0,5 ponto) A FAC e a FACP estimadas pelo estagiário estão de acordo com o esperado? Justifique cuidadosamente. (c) (0,75 ponto) A partir do resultado do item (c) o seu estagiário resolveu estimar o seguinte modelo MA(1) para o hiato e obteve os resultados abaixo: Modelo Estimado Variável Coeficiente Erro padrão Estatística t p-valor Constante 2.598385 0.140002 18.55959 0.0000 MA(1) 0.667790 0.124203 5.376606 0.0000 R2 0.450413 R2 ajustado 0.435950 15 A FAC, FACP e a estatística Q de Ljung-Box para várias defasagens dos resíduos estão apresentadas a seguir. FAC Estatística Q de Ljung-Box Defasagem Q- Stat P-valor 1 3,7683 2 17,172 0.000 3 20,661 0.000 4 24,881 0.000 5 29,067 0.000 6 31,517 0.000 7 32,498 0.000 8 32,570 0.000 9 32,572 0.000 10 33,063 0.000 FACP Interpretando todas as estatísticas fornecidas, você acredita que o modelo estimado pelo estagiário está adequado aos dados? Justifique cuidadosamente. 17. A figura abaixo apresenta a evolução mensal do número de cheques sem fundo para cada 1.000 compensados no Brasil, entre 1995 e 2005. 0 4 8 12 16 20 24 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 CSF Nas aulas e listas, discutimos as características de vários processos estocásticos. Escreva as equações de dois processos estocásticos que, na sua opinião, poderiam gerar séries temporais semelhantes à série de cheques sem fundo acima – e, portanto, ser utilizados como aproximações do “verdadeiro” processo gerador da série de interesse. Apresente todos os detalhes possíveis, explicitando possíveis valores (ou intervalos de valores) para os coeficientes dos processos estocásticos selecionados. Justifique adequadamente a opção por esses processos vis-à-vis processos alternativos, bem como a escolha dos valores atribuídos aos coeficientes de cada processo. 16 18. Nos últimos anos, economistas de vários países latino-americanos têm manifestado preocupação com uma possível “sobrevalorização” de suas respectivas moedas – isto é, de uma situação caracterizada por um valor da moeda nacional, em relação às moedas estrangeiras, acima do que os “fundamentos econômicos” justificariam. A fim de verificar a ocorrência desse fenômeno para El Salvador, um economista decide decompor o logaritmo da taxa de câmbio efetiva real (LTCER) do país em um componente “permanente”, associado à tendência de longo prazo da variável – e, portanto, aos “fundamentos econômicos” – e um componente “transitório”, ou “cíclico”. Ele decide usar dois métodos para calcular o componente “tendencial” de LTCER: (i) regressão em uma tendência linear; (ii) filtro Hodrick-Prescott. (a) Independentemente das características específicas da série temporal sob análise, você diria que, para esse tipo de aplicação, um dos métodos parece mais apropriado do que o outro? Justifique. A figura abaixo mostra o gráfico da série LTCER e de seu componente “tendencial” estimado pela regressão na tendência linear. Note que aumentos de LTCER equivalem a desvalorizações da moeda nacional, de modo que, de acordo com o resultado obtido, em 2005 a moeda de El Salvador estava, na verdade, fortemente subvalorizada (pois a taxa de câmbio efetiva real se encontrava acima de seu valor tendencial), ao contrário da expectativa inicial que motivou a análise. 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 LTCER COMPONENTE TENDENCIAL (REGRESSÃO EM t) (b) Ao usar o filtro HP (com o parâmetro λ “padrão” sugerido por Hodrick e Prescott) para estimar o componente tendencial de LTCER, o economista também encontra uma situação de subvalorização. Entretanto, o grau de subvalorização (isto é, a magnitude do desvio entre LTCER e seu componente tendencial) é diferente. Esboce no gráfico, à mão, uma possível estimativa do componente tendencial obtido pelo filtro HP. Você acredita que, de acordo com essa estimativa, o grau de subvalorização deve ser maior ou menor do que no caso anterior? (c) Se o economista usasse, no cálculo do filtro HP, um valor mais baixo para o parâmetro λ, você acredita que o grau de subvalorização encontrado seria maior ou menor do que nos casos anteriores? 19. Como você dessazonalizaria a série de produção física industrial mensal? Explique detalhadamente. 17 20. O economista Pedro deseja realizar previsões da taxa de inadimplência nos empréstimos a pessoa física para outubro e novembro/2009. A partir de 400 observações mensais da taxa de inadimplência (y), ele estima o seguinte modelo AR(1): ttt uyy ˆ8.02 1 ++= − , 36.0)ˆvar( =tu A tabela abaixo apresenta as últimas informações disponíveis da taxa de inadmplência (y) e do resíduo da regressão acima ( tuˆ ): Períodoty tuˆ Julho/09 8.6 0.2 Agosto/09 8.4 -0.48 Setembro/09 8 -0.72 a) (0,75 ponto) Calcule as previsões para outubro e novembro/2009, com seus respectivos intervalos de confiança a 95%. Explicite quaisquer hipóteses necessárias para realizar tal tarefa. b) (0,75 ponto) Qual seria uma previsão razoável, com seu respectivo intervalo de confiança, para a taxa de inadimplência em dezembro de 2011? A economista Paula decide investigar se o modelo AR(1) proposto por Pedro é realmente adequado para representar a dinâmica da taxa de inadimplência. Para tanto, ela calcula a FAC e FACP amostrais para a taxa de inadimplência a partir das 400 observações disponíveis, obtendo os seguintes resultados para as primeiras 12 defasagens: Defasagem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 FAC 0.8792 0.6578 0.4592 0.2837 0.16 0.08 0.02 -0.007 -0.003 -0.006 -0.039 -0.069 FACP 0.8792 -0.507 0.32 -0.25 0.1628 -0.1 0.0502 0.002 0.042 -0.08 -0.048 0.075 c) (1 ponto) Com base na análise da FAC e FACP acima, indique, dentre os processos abaixo, aquele que parece mais adequado para representar a série em questão: (a) ttt uyy ++= −18.02 (b) tttt uyyy +++= −− 21 1.07.02 (c) 11 8.08.02 −− +++= tttt uuyy (d) 11 8.08.02 −− −++= tttt uuyy (e) ttt uyy += −1 (f) 18.02 −++= ttt uuy 18 d) (0,5 ponto) Após selecionar um dos processos acima, Paula estima o modelo correspondente. A FAC, FACP e a estatística Q de Ljung-Box para várias defasagens dos resíduos do modelo estimado estão apresentadas abaixo. Você diria que o modelo estimado por Paula parece adequado? DEF FAC FACP Q-stat. [p-valor] 1 0.0721 0.0721 1.0455 [0.307] 2 0.0070 0.0018 1.0553 [0.590] 3 0.0066 0.0060 1.0641 [0.786] 4 -0.0236 -0.0247 1.1782 [0.882] 5 -0.0851 -0.0835 5.0685 [0.408] 6 -0.0266 -0.0074 5.2141 [0.517] 7 -0.0482 -0.0455 5.6967 [0.576] 8 -0.0791 -0.0729 6.9994 [0.537] 9 0.0139 0.0196 7.0401 [0.633] 10 0.0935 0.0854 9.2948 [0.504] 11 -0.0033 -0.0218 9.2972 [0.594] 12 -0.0819 -0.0903 11.5067 [0.486] e) (0,75 ponto) Vimos acima que Pedro e Paula propõem aproximar o processo gerador da série de inadimplência a partir de dois processos estocásticos distintos. Suponha que o VERDADEIRO processo econômico gerador da taxa de inadimplência seja descrito pelo sistema de equações abaixo: I. 1200 −++= ttt DJy βββ II. tt JD 10 γγ += III. ttt eJJ += −11δ 10 1 << δ Onde y é a taxa de inadimplência, J é o desvio da taxa de juros real sobre os empréstimos em relação a seu nível de equilíbrio e D é a taxa de desemprego, e todos os parâmetros do modelo são positivos. Mostre que a trajetória da taxa de inadimplência segue um processo ARMA(p,q), definindo adequadamente o erro do modelo ARMA e especificando a relação entre os coeficientes desse modelo e os parâmetros do “verdadeiro” modelo econômico acima. [Dica: a forma mais fácil de resolver essa questão é usando o operador de defasagem L de forma “esperta”.] 21. O gráfico abaixo apresenta a evolução da série trimestral de gastos reais do setor público brasileiro, dessazonalizada e em logaritmo, G, para o período 1995-2008. 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 G 19 A economista Paula deseja estimar um modelo para captar a evolução dessa série. Ele está em dúvida entre qual dos seguintes modelos utilizar: ),0(~ , ),0(~ 0, 0, , 10 onde G (IV) G (III) G (II) G (I) 22 1 1 1 etut ttttt tt ttt ttt iideiidu eXXXt ut uG uG σσαµφ φαµ αµ µ φµ ≥≥<< +=++= ++= ++= ++= − − − a) (0,5 ponto) Quais dos processos acima são estacionários (de 2ª.ordem) e quais não-estacionários? b) (1,25 ponto) Quais são as diferenças fundamentais entre os processos acima? Ou seja, quais são as diferenças entre as séries temporais “típicas” geradas por cada um desses processos? Qual (ou quais) dos processos acima parece(m) constituir uma boa aproximação para o processo gerador da série de interesse, G? Justifique cuidadosamente. c) (0,5 ponto) Com base em sua resposta ao item anterior, qual seria um processo adequado para representar o processo gerador da taxa de crescimento dos gastos (∆G)? d) (0,5 ponto) O economista Pedro afirma: “Olhando para o período completo (1995-2008), realmente fica-se em dúvida sobre o melhor modelo para representar a evolução de G. Mas se analisarmos apenas o período 2000-2008, não há dúvida sobre qual é o melhor modelo”. Concorda? Discorda? Por quê? e) (0,5 ponto) A fim de verificar a validade da afirmação de Pedro, Paula estima regressões de G em uma constante e em uma tendência determinística linear para o período completo e para o subperíodo 2000-2008, obtendo as seguintes séries de resíduos: -.16 -.12 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12 .16 .20 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 RES_1995_2008 RES_2000_2008 onde RES_1995_2008 é a série de resíduos para o período completo e RES_2000_2008 é a série de resíduos para o subperíodo 2000-2008. Esse gráfico realmente parece corroborar a afirmação de Pedro? Ou não?
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