volumes e anel circular

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AULA 11 CB0535 WEBCONFERÊNCIA 13/04/2022 
 
UNIDADES E ASSUNTOS DAS AULAS 
Nº DE 
H/A 
1. Área, Integral Definida; Área entre curvas; Integrais 
 Que resultam em Funções Trigonométricas Inversas; 
 Técnicas de integração: por substituição; por partes; 
 substituição trigonométrica; integração por frações 
 parciais. 
18 
2. Volumes; Comprimento de arco; área de superfícies. 18 
 1ªAP _ 29/04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VOLUMES 
Para encontrar o volume de um sólido, temos o 
mesmo tipo de problema que para calcular áreas. 
Começamos com um tipo simples de sólido: 
Cilindro (cilindro circular reto). 
Se a área da base é A e a altura do cilindro é h, então, 
o volume V do cilindro é definido como V = Ah. 
 
Se a base é um retângulo com comprimento l e largura 
w, então o cilindro é uma caixa retangular com o 
volume, V = lwh. 
 
Caso o sólido S não seja um cilindro, nós “cortamos” 
S em pedaços e aproximamos cada parte por um 
cilindro. 
Aproximamos o volume de S adicionando os volumes 
dos cilindros. 
 
 
O Volume de S, Obtemos pelo processo de limite. 
 
Começamos interceptando S com um plano 𝑷𝒙 
perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto 𝒙, 
𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 e seja A(x) a área da secção transversal de S 
 
A área A(x) irá variar quando x aumenta de a para b. 
 
 
 
 
 
 
 
Dividimos S em n “fatias” de larguras ∆𝒙 usando os 
planos, 𝑷𝒙𝟏 , 𝑷𝒙𝟐 , … , 𝑷𝒙𝒏 
 
Escolhermos pontos 𝒙𝒊
∗, 𝒙𝒊−𝟏 ≤ 𝒙𝒊
∗ ≤ 𝒙𝒊. 
Aproximamos o Volume da parte de S que está entre 
os planos 𝑷𝒙𝒊−𝟏 𝒆 𝑷𝒙𝒊: 
O volume do Cilindro correspondente é aproximado 
por 𝑨(𝒙𝒊
∗)∆𝒙. 
 
O volume do Sólido é aproximado por ∑ 𝑨(𝒙𝒊
∗)∆𝒙𝒏𝒊=𝟏 
 
 
 
 
 
Sabemos que se existe o limite, então 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
∑ 𝑨(𝒙𝒊
∗)∆𝒙
𝒏
𝒊=𝟏
= ∫ 𝑨(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
Definição: 
Se S é um sólido cuja área das secções transversais 
perpendiculares ao eixo x, no ponto x, A(x) é função 
(contínua) de 𝒙, 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃, 
definimos seu volume por 𝑽 = ∫ 𝑨(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
 
OBSERVAÇÃO: 
Podemos provar que esta definição é independente de como 
S está situado em relação ao eixo x. 
Assim, não importa como fatiamos S com planos paralelos; 
sempre teremos o mesmo resultado para V. 
Veja que A(x) é a área de uma secção transversal móvel. 
Para um cilindro, a área da secção transversal é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
Mostre que o volume de uma esfera de raio r é 
𝑽 =
𝟒
𝟑
𝝅𝒓𝟑 
 
SOLUÇÃO: 
Se colocarmos a esfera de modo 
que o seu centro esteja na origem, 
então o plano intercepta a esfera 
em um círculo cujo raio é 
 𝒚 = √𝒓𝟐 − 𝒙𝟐. 
 
Portanto, a área da secção transversal é 
 𝑨(𝒙) = 𝝅𝒚𝟐 = 𝝅(𝒓𝟐 − 𝒙𝟐) 
No caso, 𝒂 = −𝒓 𝒆 𝒃 = 𝒓 
𝑽 = ∫ 𝝅(𝒓𝟐 − 𝒙𝟐)𝒅𝒙 = 𝝅 [𝒓𝟐𝒙 −
𝒙𝟑
𝟑
]
−𝒓
𝒓
=
𝒓
−𝒓
 
= 𝝅 [(𝒓𝟑 −
𝒓𝟑
𝟑
) − (−𝒓𝟑 +
𝒓𝟑
𝟑
)] = 𝝅 [𝟐𝒓𝟑 −
𝟐𝒓𝟑
𝟑
] =
𝟒
𝟑
𝝅𝒓𝟑. 
 
 
 
 
 
as figuras, mostram as 
aproximações 
correspondentes a 
n = 5, 10 e 20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 : 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em 
torno do eixo x da região sob a curva 𝒚 = √𝒙, de 0 a 1. 
SOLUÇÃO: 
 
A área dessa secção transversal é 
𝑨(𝒙) = 𝝅(√𝒙)
𝟐
= 𝝅𝒙 
 
Assim o volume do sólido 
𝑽 = ∫ 𝝅𝒙𝒅𝒙 =
𝝅
𝟐
𝟏
𝟎
 
 
 
Exemplo 3 : 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação 
da região delimitada por y = x³, y = 8, e x = 0 em 
torno do eixo y. 
 
 
SOLUÇÃO: 
Como a região é girada em torno do eixo y, faz 
sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao 
eixo y. Assim integrar em y. 
A secção transversal é um disco de raio 𝒙 = √𝒚
𝟑 
cuja área é 𝑨(𝒚) = 𝝅𝒙𝟐 = 𝝅𝒚
𝟐
𝟑 e o volume do 
cilindro que aproxima é 𝑨(𝒚)∆𝒚 = 𝝅𝒚
𝟐
𝟑∆𝒚 
 
 
Portanto o volume do sólido, de 𝒚 = 𝟎 𝒂𝒕é 𝒚 = 𝟖, 
𝑽 = ∫ 𝑨(𝒚)𝒅𝒚 = ∫ 𝝅𝒚
𝟐
𝟑𝒅𝒚 = 𝝅 [
𝟑
𝟓
𝒚
𝟓
𝟑]
𝟎
𝟖
=
𝟗𝟔𝝅
𝟓
𝟖
𝟎
𝟖
𝟎
 
 
Exemplo 4: 
A região delimitada pelas curvas y = x e y = x², 
é girada em torno do eixo x. 
Encontre o volume do sólido resultante. 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Essas curvas se interceptam em (0,0) e (1,1). 
A área da secção transversal é a área da 
arruela com raio interno x² e raio externo x e 
seu valor é igual a área do círculo de raio x 
menos a área do círculo de raio x²: 
𝑨(𝒙) = 𝝅𝒙𝟐 − 𝝅(𝒙𝟐)𝟐 = 𝝅(𝒙𝟐 − 𝒙𝟒) 
Portanto o volume do sólido, 
de 𝒙 = 𝟎 𝒂𝒕é 𝒙 = 𝟏, 
𝑽 = ∫ 𝑨(𝒙)𝒅𝒙
𝟏
𝟎
= ∫ 𝝅(𝒙𝟐 − 𝒙𝟒)𝒅𝒙 = 𝝅 [
𝒙𝟑
𝟑
−
𝒙𝟓
𝟓
]
𝟎
𝟏
=
𝟏
𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volumes por Cascas Cilíndricas 
 
Exemplo 5 : Encontrar o volume do sólido obtido pela 
 rotação em torno do eixo y da região 
 delimitada por y = 2x² - x³ e y = 0. 
 
Fatiando 
perpendicularmente 
ao eixo y, obteremos 
um anel 
Para calcular os raios 
interno e externo do 
anel, teríamos que 
colocar x em função 
 de y, em y = 2x² - x³. 
 
Para esses casos, usaremos o 
Método das cascas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
Veja exemplo de uma casca cilíndrica com raio interno 
𝒓𝟏, raio externo 𝒓𝟐, e altura h. 
Seu volume V é calculado subtraindo-se o volume do 
cilindro interno 𝑽𝟏 do volume do cilindro externo 𝑽𝟐: 
 
𝐕 = 𝐕𝟐 − 𝐕𝟏 = 𝛑𝐫𝟐
𝟐𝐡 − 𝛑𝐫𝟏
𝟐𝐡
= 𝛑(𝐫𝟐
𝟐 − 𝐫𝟏
𝟐)𝐡 
 
 
 
 
𝑽 = 𝝅(𝒓𝟐 + 𝒓𝟏)(𝒓𝟐 − 𝒓𝟏)𝒉 = 𝟐𝝅 (
𝒓𝟐 + 𝒓𝟏
𝟐
) 𝒉(𝒓𝟐 − 𝒓𝟏) 
Substituindo, 𝒓 =
𝒓𝟐+𝒓𝟏
𝟐
 e ∆𝒓 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏, teremos, 
𝐕 = 𝟐𝛑𝐫 𝐡 ∆𝐫 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere S o sólido obtido pela rotação em torno do 
eixo y da região limitada por 
 𝐲 = 𝐟(𝐱) ≥ 𝟎, 𝐲 = 𝟎, 𝐱 = 𝐚 𝐞 𝐱 = 𝐛 onde 𝒃 > 𝒂 ≥ 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
Particionamos [a, b] em n subintervalos de largura ∆𝒙 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O retângulo com base 
[𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊] e altura 𝒇(𝒙𝒊
∗), 
𝒙𝒊
∗ =
𝒙𝒊−𝟏 + 𝒙𝒊
𝟐
 
é girado em torno do eixo y. 
 
Obtemos uma casca 
cilíndrica com raio 𝒙𝒊
∗ , altura 
𝒇(𝒙𝒊
∗) e espessura ∆𝒙. 
Seu volume 
𝐕𝐢 = (𝟐𝛑𝐱𝐢
∗)(𝐟(𝐱𝐢
∗))∆𝐱 
 
 
Uma aproximação para 
V é a soma dos volumes 
das cascas: 
 ∑ 𝐕𝐢
𝐧
𝐢=𝟏 =
∑ (𝟐𝛑𝐱𝐢
∗)(𝐟(𝐱𝐢
∗))∆𝐱𝐧𝐢=𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
O volume do sólido obtido pela rotação em torno do 
eixo y da região limitada por 
𝐲 = 𝐟(𝐱) ≥ 𝟎, 𝐲 = 𝟎, 𝐱 = 𝐚 𝐞 𝐱 = 𝐛 onde 𝒃 > 𝒂 ≥ 𝟎, é 
𝑽 = ∫ 𝟐𝛑𝐱𝐟(𝐱)𝐝𝐱
𝒃
𝒂
 
 
 
Uma interpretação para o volume de uma casca: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: 
O volume do sólido obtido pela rotação em torno do 
eixo y da região delimitada por y = 2x² - x³ e y = 0. 
 
 
Na Figura, vemos 
que uma casca 
típica tem raio x, 
circunferência 
𝟐𝛑𝐱 e altura 
y = 2x² - x³. 
 
 
 
Pelo método das 
cascas, 
 
𝑽 = ∫ 𝟐𝛑𝐱(𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑)𝐝𝐱 = 𝟐𝛑 ∫ (𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟒)𝐝𝐱
𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
 
 
𝑽 = 𝟐𝝅 [
𝒙𝟒
𝟐
−
𝒙𝟓
𝟓
]
𝟎
𝟐
=
𝟏𝟔𝝅
𝟓
 
 
O Sólido gerado por 
computador: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em 
torno do eixo y da região limitada por 𝒚 = 𝒙 𝒆 𝒚 = 𝒙𝟐 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
A interseção: 𝒙 = 𝒙𝟐 ⇒ 𝒙 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒙 = 𝟏. 
 
A casca tem raio x, circunferência 𝟐𝝅𝒙 e altura 𝒙 − 𝒙𝟐. 
Assim, o volume é 
 
 
𝑽 = ∫ 𝟐𝛑𝐱(𝒙 − 𝒙𝟐)𝐝𝐱 = 𝟐𝛑 ∫ (𝒙𝟐 − 𝒙𝟑)𝐝𝐱
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
 
 
𝑽 = 𝟐𝝅 [
𝒙𝟑
𝟑
−
𝒙𝟒
𝟒
]
𝟎
𝟐
=
𝝅
𝟔
 
 
 
 
Exemplo 8 
Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do 
sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da 
região sob a curva 𝒚 = √𝒙 de 0 até 1.. 
 
Este problema foi resolvido 
usando o método dos discos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Para o uso de cascas, reescrevemos a curva como 𝒙 = 𝒚𝟐 
Uma casca tem raio y, circunferência𝟐𝝅𝒚 e altura 𝟏 − 𝒚𝟐. 
Assim, o volume é 
 
𝑽 = ∫ 𝟐𝛑𝐲(𝟏 − 𝒚𝟐)𝐝𝐱 = 𝟐𝛑 ∫ (𝒚 − 𝒚𝟑)𝐝𝐱
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
 
 
𝑽 = 𝟐𝝅 [
𝒚𝟐
𝟐
−
𝒚𝟒
𝟒
]
𝟎
𝟏
=
𝝅
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da 
região limitada por 𝒚 = 𝒙 − 𝒙𝟐, 𝒚 = 𝟎, em torno da reta 
𝒙 = 𝟐. 
 
Interseção: 𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎 
𝒙 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒙 = 𝟏 
 
Uma casca tem raio 
𝟐 − 𝒙, circunferência 
 𝟐𝝅(𝟐 − 𝒙) 
Altura 𝒙 − 𝒙𝟐. 
 
 
 
 
O volume do sólido dado é 
 
𝑽 = ∫ 𝟐𝛑(𝟐 − 𝒙)(𝒙 − 𝒙𝟐)𝐝𝐱 =
𝟏
𝟎
 
= 𝟐𝛑 ∫ (𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝐝𝐱 =
𝟏
𝟎
𝟐𝝅 [
𝒙𝟒
𝟒
− 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐]
𝟎
𝟏
=
𝝅
𝟐
 
 
 
Aula 11