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Campus Unipampa Bagé – Travessa 45, n°1650 - Bairro Malafaia CEP 96413-170– Bagé – Rio Grande do Sul E-mail: andersonbihain@unipampa.edu.br PROFESSOR ANDERSON L. J. BIHAIN NOME: ___________________________________________ DATA: ____/____/____ CURSO: ________________________ Duração prova: 1h e 40 min Cálculo III: Prova 3: 1) (Peso 2,0) - Uma lâmina delgada tem a forma da região D, que é interior à circunferência (𝒙 − 𝟐)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒 e exterior à circunferência 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒. Calcule a massa da lâmina se a densidade é dada por 𝜹(𝒙, 𝒚) = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)−𝟏/𝟐. Instruções: - Para realizar a prova é permitido somente ouso de lápis, caneta, borracha e calculadora (Científica Simples). - As respostas devem ser apresentadas a caneta. Questão Nota Peso 1 2,00 2 3,00 3 3,00 4 2,00 Total 10,00 2) (Peso 3,0) - Dada a integral dupla: 𝑰 = ∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 𝑫 ∫ ∫ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒙 𝟏+√𝟏−𝒙𝟐 𝟏 𝟏 −𝟏 a. (Peso 0,75) - Esboce a região D. b. (Peso 0,75) - Inverta a ordem de integração. c. (Peso 1,50) - Calcule 𝑰 para a função 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟏 𝒙𝟐+𝒚𝟐 . Campus Unipampa Bagé – Travessa 45, n°1650 - Bairro Malafaia CEP 96413-170– Bagé – Rio Grande do Sul E-mail: andersonbihain@unipampa.edu.br PROFESSOR ANDERSON L. J. BIHAIN NOME: ___________________________________________ DATA: ____/____/____ CURSO: ________________________ Duração prova: 3h e 40 min 3) (Peso 3,0) - Use a integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado pelo cilindro parabólico 𝒛 + 𝒙𝟐 = 𝟒, e pelos planos 𝒚 + 𝒛 = 𝟒, 𝒚 = 𝟎 e 𝒛 = 𝟎. Campus Unipampa Bagé – Travessa 45, n°1650 - Bairro Malafaia CEP 96413-170– Bagé – Rio Grande do Sul E-mail: andersonbihain@unipampa.edu.br PROFESSOR ANDERSON L. J. BIHAIN NOME: ___________________________________________ DATA: ____/____/____ CURSO: ________________________ Duração prova: 5h e 40 min 4) (Peso 2,0) - Calcule ∭ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐𝒅𝑽 𝒘 , sendo W a região limitada superiormente pela esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏𝟔 e inferiormente pelo cone 𝒛 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐. 𝑰 = ∫ ∫ ∫ 𝒑𝟒𝒔𝒆𝒏(𝝓) 𝟒 𝟎 𝟐𝝅 𝟎 𝝅 𝟒 𝟎 𝒅𝒑𝒅𝜽𝒅𝝓 = ∫ ∫ 𝒑𝟓 𝟓 𝒔𝒆𝒏(𝝓) 𝟐𝝅 𝟎 | 𝟎 𝟒 𝝅 𝟒 −𝟏 𝒅𝜽𝒅𝝓 𝑰 = 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟓 ∫ ∫ 𝒔𝒆𝒏(𝝓) 𝟐𝝅 𝟎 𝝅 𝟒 𝟎 𝒅𝜽𝒅𝝓 = ∫ 𝜽𝒔𝒆𝒏(𝝓) 𝝅 𝟒 𝟎 || 𝟎 𝟐𝝅 𝒅𝝓 = 𝟐𝟎𝟒𝟖𝝅 𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒏(𝝓) 𝝅 𝟒 𝟎 𝒅𝝓 𝑰 = − 𝟐𝟎𝟒𝟖𝝅 𝟓 [𝒄𝒐𝒔(𝝓)]𝟎 𝝅 𝟒 = − 𝟐𝟎𝟒𝟖𝝅 𝟓 [ √𝟐 𝟐 − 𝟏] 𝟎 𝝅 𝟒 = − 𝟐𝟎𝟒𝟖𝝅 𝟓 [ √𝟐 − 𝟐 𝟐 ] = − 𝟏𝟎𝟐𝟒𝝅 𝟓 [√𝟐 − 𝟐] Fórmulas: Coordenadas esféricas: 𝒙 = 𝒑𝒔𝒆𝒏(𝝓)𝒄𝒐𝒔(𝜽); 𝒙 = 𝒑𝒔𝒆𝒏(𝝓)𝒔𝒆𝒏(𝜽); 𝒛 = 𝒑𝒄𝒐𝒔(𝝓). Coordenadas cilíndricas: 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔(𝜽); 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏(𝜽); z=z; Área de Superfície: 22 , , 1(S) .x y D f x y f x yA dA 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 (𝒙) = 𝟏 𝒔𝒆𝒏(𝒙) ; ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄(𝒙) = 𝒍𝒏[𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄(𝒙) − 𝒄𝒐𝒕(𝒙)]
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