exponenciais-e-função-exponencial

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ESCOLA MUNICIPAL DR. LEANDRO FRANCESCHINI
Ensino Médio com Habilitações Profissionais
Rua Geraldo de Souza, 157/221 - Jardim Carlos Basso Fone Fax ( 19 ) 3873-2605 CEP 13.170-232 - Sumaré - S.P
Reconhecida pela Portaria C.E.E. 01/85 - DOE 01/03.85 Diretoria de Ensino – Região de Sumaré – SP
e-mail: leandrofranceschini@sumare.com.br
Revisão: Potenciação	Professor Márcio Prieto	Série: 2ª	Curso:
Expoente inteiro positivo
Se a é um número real e n é inteiro e positivo, a expressão 𝒂𝒏 representa o produto de n fatores todos iguais a a, ou seja: 𝒂𝒏 = 𝒂. 𝒂. 𝒂. 𝒂 … . 𝒂 (n fatores)
Na expressão 𝒂𝒏, o número real 𝒂 é denominado base e 𝒏 é denominado expoente. Exemplos:
a)23 = 2. 2. 2 = 8	b) 32 = 3. 3 = 9	c) (−4)2 = (-4). (-4) = 16	d) (−4)3 = (-4). (-4). (-4) = -64
Para n = 1, defini-se 𝒂𝟏 = 𝒂
Exemplos:	a)21 = 2	b) (−3)1 = -3	c)
1 1= 1
	
( )
2	2
Expoente inteiro negativo
𝒂−𝟏
𝟏 𝟏
 (
𝟏
)= ( ) =
𝒂	𝒂
𝒂−𝒏
𝟏 𝒏
= ( )
𝒂
𝒂 −𝒏
 (
)
)(
𝒃
𝒃 𝒏
= ( )
𝒂
Exemplos:
a) (3)−1 =
1 1= 1
	
b) 10−2 =
1 2 = 1
	
−2
 (
3
)c)	=
4 2 = 16
	
( )	( )
3	3	10
100
( )	( )
4	3	9
Podemos notar que ao invertermos as posições do numerador e denominador, invertemos o sinal do expoente.
Expoente racional fracionário	Exemplos:
𝐦	𝐧 𝐦
𝐚 𝐧 = √𝐚
2	3 	
103 = √102
4	5 	
65 = √64
Expoente zero
Convenciona-se que 𝒂𝟎 = 𝟏, com a ≠ 0.
Exemplos:
30 = 1	(−1)0 = 1
 (
0
)7	= 1
( )
3
Propriedades Gerais
Propriedade	Regra
𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏	Conserva-se a base e somam-se os expoentes.
𝒂𝒎 = 𝒂𝒎−𝒏	Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
𝒂𝒏
(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏	Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
(𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏	Eleva-se cada fator ao expoente comum.
 (
𝒃
)𝒂 𝒏 = 𝒂𝒏
( )	𝒃𝒏	Eleva-se o numerador e o denominador ao expoente comum.
Exemplos:
25. 24 = 25+4 = 29
23: 24 = 23−4 = 2−1
(𝑥4)−3 = 𝑥−12
(24. 32)5 = (24)5. (32)5 = 220. 310
Exercícios
1) Escreva na forma de potência de base 2. (Utilize a fatoração)
a) 	1 16
b) 1024	c) 5√8
d) 
16
√32
e) 128
2−3
2) Coloque em forma de potência de base 3:
a) 729	b) 1
81
c) 3√9
3 5 27
 (
d)
 
√
 
)243
e) 
 1
√243
3) Indique sob forma de potência de base 2 o número representado pela expressão
1 −5
1	( 2)2
 (
2
)( )	: ( ) . 8
2	2
1
4) Calcule o valor da expressão 42 − 2−1 + (−3)0 + (−0,1)0 . (25−1)0
5) Resolva 16−0,5 + 81−0,25
6) Efetue e simplifique:
a) 7−4. 7−3. 7−6	b) 8-5:2-6:4-1
( 8 4	4 −2
7) Calcule
3 ) .(3 )
(37)2.(√3)20
8) Escreva sob forma de potência de base 10: a) 10 000	b) 100 000
100
c) 0,0001	d) 0,000001
9) (ENEM 2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012.
Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 02 ago. 2012.
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de
A) 4,129 x 103	B) 4,129 x 106	C) 4,129 x 109	D)4,129 x1012	E) 4,129 x 1015
10) (ENEM 2012)A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a
A) 3,25 x 102 km.	B) 3,25 x 103 km.	C) 3,25 x 104 km.
D) 3,25 x 105 km.	E) 3,25 x 106 km.
Equações exponenciais
Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. Para resolver uma equação exponencial, devemos transformar a equação dada em igualdade de mesma base; para isso aplicaremos as definições e propriedades da potenciação.
 (
1)
 
2
𝑥
 
=
 
256.
2)
 
4
𝑥
 
=
 
32.
3)
 
2
𝑥
 
=
 
1
.
4
)
 
2
𝑥
 
 
=
 
 
3
√
4.
5)
 
9
𝑥+3
 
=
 
27
𝑥
.
6)
 
125
𝑥+2
 
=
 
1
.
7)
 
3.
 
2
𝑥−2
 
=
 
48
.
8)
 
2
2𝑥
 
−
 
5.
 
2
𝑥
 
+
 
4
=
 
0
.
9)
 
3
𝑥−1
 
+
 
3
𝑥+1
 
=
 
90
.
)Exemplos: Resolver as equações:
8
Lista de exercícios-Equações exponenciais.
a)2x = 128
b)5x = 1
125
1
i)7292x = 27
j)3x = 5√27
2x
r) 2𝑥2 − 7𝑥 +12 = 1
s) 3𝑥2 − 10𝑥 +7 = 1
9
c)103x =
10 000
k)25
𝑥
= √5
1
t)10. 2𝑥2−4 = 320
d)2x-2 = 8
e)2x+1 = 1
4
f)3𝑥2 −5= 81
 (
g)
)1 𝑥2−3
( )	= 4
2
l) √3 =
9
m)(2𝑥)𝑥 = 16
n) (5𝑥)𝑥−2 = 25x
o) (10𝑥)𝑥−1 = 1
106
p)(4𝑥)𝑥−1 = 16
1
u)2. 3𝑥2 − 𝑥−1 = 6
v)22x – 9. 2x + 8 = 0 w)5x-1 + 5x-2 = 30 x)102x-1 – 10x = 0 y)5x + 125.5-x = 30
h)4x = 512
q) (16𝑥)𝑥+1 =
2
GABARITO
ESCOLA MUNICIPAL DR. LEANDRO FRANCESCHINI
Ensino Médio com Habilitações Profissionais
Rua Geraldo de Souza, 157/221 - Jardim Carlos Basso Fone Fax ( 19 ) 3873-2605 CEP 13.170-232 - Sumaré - S.P
Reconhecida pela Portaria C.E.E. 01/85 - DOE 01/03.85 Diretoria de Ensino – Região de Sumaré – SP
e-mail: leandrofranceschini@sumare.com.br
a) {7}
b) {-3}
c) {− 4}
3
d) {5}
e) {-3}
f) {-3,3}
g) {-1,1}
h) { }
 (
9
)2
i) {1}
4
j) { }
 (
3
)5
 (
k)
)1{ }
8
l) {− 1}
2
m) {-2, 2}
n) {0,4}
o) ∅
p) {-1,2}
q) {− 1}
2
r) {3,4}
s) {1,9}
t) {-3,3}
u) {-1,2}
v) {0,3}
w) {3}
x) {1}
y) {1,2}
Função exponencial:
 (
+
)Chama-se função exponencial qualquer função f de ℝ 𝑒𝑚 ℝ∗ , dada por uma lei da forma f(x) = ax, em que a é
um número real dado, a > 0 e a ≠ 1.
 (
y = 10
x
 
função
 
crescente
𝑥
y
 
=
 
1
)
(
3
função
 
decrescente
y = 2
x
 
função
 
crescente
y
 
=
15
)
𝑥
(
6
função
 
crescente
)Se 0 < a < 1, a função é decrescente e se a > 1, a função é crescente. Exemplos:
	
Lista de exercícios- Função exponencial.
1) Verifique quais das sentenças dadas correspondem à lei de uma função exponencial.
a) 𝑓(𝑥) = 9𝑥	b) 𝑓(𝑥) = (0,666 … )𝑥	c) 𝑓(𝑥) = (−4)𝑥
d) 𝑦 = 2𝑥
g) 𝑦 = 𝑥2
e) 𝑓(𝑥) = 0x
h) 𝑓(𝑥)= 1x
f) 𝑓(𝑥)
1 𝑥
= ( )
5
2) Dada a função exponencial 𝑓(𝑥) = 4𝑥, determine:
a) 𝑓(3)
 (
1
)b) 𝑓 ( )
2
c) 𝑓(−1)
d) 𝑓 (− 1)
2
e) 𝑥 para 𝑓(𝑥) = 1
f) 𝑥 para 𝑓(𝑥) = 1
64
3) Classifique as seguintes funções como crescente ou decrescente:
a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥	b) 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥	𝑐) 𝑓(𝑥) = (0,01)𝑥	d)
𝑓(𝑥)
1 𝑥
= ( )
5
4) 𝑓, 𝑔 e ℎ são funções de ℝ 𝑒𝑚 ℝ dadas por 𝑓(𝑥) = 2 ∙ 3𝑥 , 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 2 e ℎ(𝑥) = 5𝑥−2. Determine:
a) 𝑓(2)
b) 𝑔(2)
c) ℎ(2)
d) 𝑓(−1)
e) 𝑔(0)
f)	ℎ (0)
g) 𝑥 tal que ℎ(𝑥) = 125
h) 𝑥 tal que 𝑔(𝑥) = 3
5) Construa o gráfico da função f de ℝ 𝑒𝑚 ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1, atribuindo os seguintes valores para
𝑥 = −1, 0, 1 𝑒 2.
6) O número de bactérias de uma cultura, 𝑡 horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão
𝑁(𝑡) = 1200 ∙ 20,4𝑡. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias?
7) Chama-se montante 𝑀 a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital 𝐶, a juros compostos, a uma taxa 𝑖 durante um tempo 𝑡. O montante pode ser calculado pela fórmula 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡. Supondo que o capital aplicado é de R$ 200 000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual o montante no final da aplicação?
8) Com a seca, estima-se que o nível de água (em metros) em um reservatório, daqui a 𝒕 meses, seja
𝑛(𝑡) = 7,6 ∙ 4−0,2𝑡. Qual é o tempo necessário para que o nível de água se reduza à oitava parte do nível atual?