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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à saúde Aula 7: Função exponencial em diferentes bases Apresentação Nesta aula, continuaremos o nosso estudo sobre funções e do conceito de função, isto é, toda relação de dependência em que uma incógnita depende do valor da outra. A função exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente: f(x) = a , daí sua denominação exponencial. Também é importante ressaltar que a base a é um valor real constante, isto é, um número real. Prosseguiremos no caminho da apresentação e breve discussão a respeito das aplicações e interdisciplinaridades, relacionando as funções exponenciais às diversas áreas do conhecimento. Antes de apresentarmos uma de�nição formal para a função exponencial, suas características e propriedades, faremos uma breve revisão das potências com expoente natural, que servirá de referência para as potências com expoente real, caracterizando o uso de uma função desse tipo. x Objetivos Reconhecer a função exponencial; Construir grá�cos de funções exponenciais; Desenvolver problemas com o conceito de função exponencial. Potência Antes de iniciarmos o estudo da função exponencial, faremos uma revisão sobre potenciação. a Potência com expoente natural n Antes de iniciarmos o estudo da função exponencial, faremos uma revisão sobre potenciação. Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número a que é igual ao produto de n fatores iguais a a. n Exemplo 4 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256 (-4) = (-4) . (-4) . (-4) = -64 Para n = 1, temos: a1 = a 6 = 6 4 3 1 Potência com expoente inteiro negativo com Veja exemplos de potências com expoente inteiro negativo: a) b) a−n =a−n 1 an a ≠ 0 =7−1 1 7 = =3−2 1 32 1 9 Potência com expoente racional fracionário Veja exemplos de potência com expoente racional fracionário: a) b) a x y =3 3 5 33 −−√5 = = =4− 1 2 1 4 1 2 1 4√ 1 2 Propriedades Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas: ⋅ =am an am+n =a m an am−n (ab =)m ambm =( )a b m am bm =( )am n am⋅n Atenção Para expoentes iguais a zero, convencionou-se que a a = 1, com a diferente de zero.0 Equações exponenciais Uma equação é exponencial quando a incógnita aparece no expoente. Para resolver esse tipo de equação, você deve reduzir ambos os membros da igualdade à mesma base. Basta igualar os expoentes para recair numa equação comum. Há equações exponenciais em que não é possível reduzir de imediato os dois membros à mesma base. Para resolvê-las, devemos recorrer às propriedades da potenciação para reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base. Veja a seguir três tipos de equações exponenciais cuja resolução é feita através das propriedades da potenciação. Clique nos botões para ver as informações. Equações exponenciais em que se igualam potências de mesma base. Exemplo: 5 = 125 Solução: 5 = 125 5 = 5 Logo x = 3 9 = 1 Solução: 9 = 1 9 = 9 Logo x = 0 Tipo 1 x x x 3 x x x 0 Equações exponenciais que recaem em equações do 2º grau. Exemplo: 3 - 4.3 + 3 = 0. Solução: A expressão dada pode ser escrita na seguinte forma: (3 ) - 4.3 + 3 = 0 Fazendo 3 = y, temos: y – 4y + 3 = 0 Resolvendo esta equação, teremos que: y = 1 ou y = 3 Como 3 = y, veri�caremos quais das raízes podem satisfazer essa igualdade: y = 1 3 = 1 → 3 = 3 x = 0 y = 3 3 = 3 → 3 = 3 x = 1 Logo, a equação 3 - 4.3 + 3 = 0 tem duas soluções: x = 0 e x = 1 Tipo 2 2x x x 2 x x 2 1 2 x 1 x x 0 2 x x 1 2x x Equações exponenciais que possuem soma ou subtração no expoente. Exemplo: 2 + 2 = 9 Solução: A expressão dada pode ser escrita na forma: Fazendo a substituição de 2x por y, teremos que: , logo: x=2 2 + 2 = 9 x = 2 Tipo 3 x + 1 x – 2 ⋅ + = 92x 21 2 x 22 2y + = 9 y 4 = 9 → 9y = 36 → y = 4 8y+y 4 = 4 → =2x 2x 22 x + 1 x – 2 Atividade 1. Agora é a sua vez de resolver duas equações. Tomando como referência as propriedades de potenciação, resolva: a) b) =( )3 4 x 81 256 =3x 27 −−√4 2. Após assistir ao vídeo com exemplos, resolva os exercícios a seguir: a) b) c) d) e) f) = 0, 25( )1 4 4x = ( )( )3 5 2x 27 125 =4x 32 −−√3 =103x 1 10000 + − = 113x 3x−1 3x−2 − 9 ⋅ + 8 = 04x 2x Saiba mais Assista aos exemplos de equação exponencial <https://www.youtube.com/watch?v=ROhotGfM8ek> . https://www.youtube.com/watch?v=ROhotGfM8ek Função exponencial na base e Vimos que funções exponenciais são aquelas nas quais a variável aparece como expoente. Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1) denomina-se função exponencial de base a, toda função de�nida por f(x) = a . O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). x Domínio Reais Contradomínio Reais positivos, maiores que zero Exemplo a) b) Nesses exemplos, a base é 4 e 2/3 respectivamente. f(x) = 4x y = ( )2 3 2x−1 Uma função exponencial muito importante é a função com a base e, conhecida como função exponencial natural. O número de Neper e. (e= 2,7182818284590452353602874...) é um número irracional e transcendente estreitamente aparentado com o número pi. Temos que f(x) = e .x São válidas para f(x) = ex todas as propriedades das funções exponenciais descritas anteriormente. Dica Sinta-se encorajado a adquirir uma calculadora cientí�ca. Você a utilizará várias vezes durante a graduação. Atividade 3. Use uma calculadora cientí�ca ou o modo calculadora cienti�ca no seu smartphone e calcule os seguintes valores: a) 10 b) 3 c) e d) 1,7 -5,8 1,95 e2x10 −5 Grá�cos da função exponenciais Quando a > 0 em f(x) = a Usaremos como exemplo o grá�co da função exponencial f(x)=2 . Vamos montar os pares ordenados para representar o grá�co. Veja os valores na tabela a seguir. x x x y -3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 0 1 1 2 2 4 3 8 f (x) = = = = 0, 1252−3 1 23 1 8 O grá�co representa uma função exponencial crescente quando a > 1. Observe que o grá�co desta função nunca toca o eixo x. Função exponencial crescente a > 1. | Fonte: Denise Candal - Fundamentos de Matemática Quando a < 0 em f(x)=ax Vamos montar os pares ordenados para representar o grá�co. f(x) = ( )1 2 x x y -3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 0 1 1 2 2 4 3 8 f(x) = = = = = 812 −3 1−3 2−3 1 2−3 23 O grá�co representa uma função exponencial crescente quando: 0 < a < 1 . O grá�co desta função nunca toca o eixo x. Função exponencial crescente 0 < a < 1. | Fonte: Denise Candal - Fundamentos de Matemática Áreas de aplicações das funções exponenciais As funções exponenciais podem ser aplicadas em diferentes áreas da ciência, como: Economia Crescimento Populacional Absorção de drogas por organismos Decaimento Radioativo Saiba mais Veja exemplos de aplicações das funções exponenciais em diferentes áreas da ciência <galeria/aula7/anexo/a7_doc1.pdf> . http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula7/anexo/a7_doc1.pdf Atividade 4. A população de uma colônia de bactéria dobra a cada 30 minutos. Em um experimento, foi colocada inicialmente em um tubo de ensaio uma amostra com 1000 bactérias. Ao �nal do experimento, obteve-se um total de 4; 096 x 10 bactérias. Qual foi o tempo do experimento? 6 a) 1 hora. b) 2 horas. c) 3 horas. d) 3,5 horas. e) 6 horas. 5. (Unicamp-SP - 2007) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P . 2 , em que t é o instante de tempo medido em anos, b é uma constante real e P é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração inicial no instante t = 0. Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b e marque a opção correta. 0 -bt 0 a) b = 90. b) b = 29. c) b = -90. d) b = -29. e) b = -32. 6. Um capital de 1000,00 reais é aplicado a juros mensais de 4% ao mês, gerando um montantede 1731,68 reais. Determine o tempo em meses de aplicação desse capital. Utilize o dado: 1;733168 = (1; 04)14. a) 10 meses. b) 11 meses. c) 1 ano e 1 mês. d) 1 ano e 2 meses. e) 1 ano e 3 meses. 7. (UNIFESP-SP) Quando se fala em isótopos radioativos, geralmente a opinião pública os associa a elementos perigosos, liberados por reatores nucleares. No entanto, existem isótopos de elementos naturais que estão presentes no nosso dia-a-dia. O grá�co mostra a cinética de desintegração do rádio-226, que pode estar presente em materiais de construção em concentrações muito baixas para que se possa comprovar qualquer relação com danos à saúde. As coordenadas de um ponto do grá�co são indicadas na �gura a seguir. Em que: m é a massa no tempo t. m é a massa no tempo 0. c é o tempo de meia-vida. A meia-vida desse isótopo, em anos, é igual a 0 a) 1400. b) 1500. c) 1600. d) 1700. e) 1800. NotasReferências MARQUES, G. Funções exponenciais e logarítmicas. Disponível em: https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf. <https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf> Acesso em 15 nov. 2018. GUIMARÃES, L.G.S., et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro: CANDAL, Denise. Fundamentos de Matemática. Rio de Janeiro: SESES, 2015. https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf Próxima aula Estudo de funções logarítmicas em diferentes bases; Estudo das propriedades e dos grá�cos das funções logarítmicas. Explore mais Assista ao vídeo Assista ao vídeo <https://www.youtube.com/watch?v=_Wy3q-n2jw8> . https://www.youtube.com/watch?v=_Wy3q-n2jw8
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