10_SerieFourier

Prévia do material em texto

Sinais e Sistemas 
Renato Dourado Maia 
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros 
Fundação Educacional Montes Claros 
Série de Fourier 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Introdução 
“A Série e a Integral de Fourier englobam um dos 
desenvolvimentos matemáticos mais produtivos e 
bonitos, que funciona como instrumento para vários 
problemas na área da matemática, ciências e 
engenharia. Maxwell ficou tão admirado com a 
beleza da Série de Fourier que ele a chamou de um 
grande poema matemático. Na Engenharia Elétrica, 
ele é fundamental a áreas de comunicação, 
processamento de sinais, e diversas outras áreas, 
incluindo antenas.” 
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. Porto Alegre. Bookman, 
2007. p. 544 
31/10/2012 2/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Introdução 
 A representação e a análise de sistemas LTI utili-
zando convolução é baseada em expressar sinais 
como uma combinação linear de impulsos deslo-
cados e ponderados. 
 
 Agora, desenvolveremos a representação e análi-
se de sistemas LTI expressando os sinais como u-
ma combinação linear de exponenciais comple-
xas. 
31/10/2012 3/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Introdução 
 Veremos que se a entrada de um sistema LTI é 
uma combinação linear de exponenciais comple-
xas, a saída poderá ser expressa nessa mesma 
forma. 
 
 Veremos primeiro a análise para sinais periódi-
cos, que resulta nas Séries de Fourier: somas 
ponderadas de exponenciais complexas harmoni-
camente relacionadas. 
31/10/2012 4/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Introdução 
 Em seguida, veremos a análise para sinais ape-
riódicos, que resulta nas Transformadas de Fou-
rier: integrais ponderadas de exponenciais com-
plexas não-harmonicamente relacionadas. 
A análise não será mais feita no domínio do tempo, 
mas sim no domínio da frequência!!! 
31/10/2012 5/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Representações de Fourier para Sinais 
Sinal Representação 
Sinal Contínuo Periódico Série de Fourier (FS) 
Sinal Discreto Periódico Série de Fourier Discreta (DTFS) 
Sinal Contínuo Aperiódico Transformada de Fourier (FT) 
Sinal Discreto Aperiódico Transformada de Fourier Discreta (DTFT) 
31/10/2012 6/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Resposta a uma Exponencial Complexa 
 Vamos analisar a resposta de um sistema LTI 
contínuo a uma entrada exponencial complexa: 
( ) , tsx t e é um número comps lexo
Assim: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ts s sty t h x t d h e d e h e d          
  
     
Tomando 
( ) ( ) sH hs e d  

 
( ) ( ) tssy t H e
31/10/2012 7/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Resposta a uma Exponencial Complexa 
 Vamos analisar a resposta de um sistema LTI 
discreto a uma entrada exponencial complexa: 
[ ] , nx n é umz z número complexo
Assim: 
[ ] ( ) ny n H z z
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k
k k k
zy n h k x n k h k h kz z
  
 
  
     
Tomando 
( ) [ ] k
k
z zH h k



 
31/10/2012 8/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Resposta a uma Exponencial Complexa 
Sintetizando 
 
( ) , ( ) ( )  st tsx t e é um número complexo y t H es s
[ ] , [ ] ( )  n nx n é um número complexo y n Hz z z z
Contínuo: 
Discreto: 
As exponenciais complexas são autofunções de sistemas 
LTI discretos e contínuos. H(z) e H(s), para valores específicos 
de “z” e “s”, são os autovalores associados às autofunções: 
para uma entrada exponencial complexa, a saída é a mesma 
exponencial complexa, modificada pelo seu respectivo autovalor. 
31/10/2012 9/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Resposta a uma Exponencial Complexa 
Consideremos agora a seguinte entrada, para um sistema LTI: 
321
31 2( )
ts t ts sax t ea ae e  
O que se pode dizer sobre a saída? 
3 3
1
2
1
2
1 1
2
3
2
3
1
3
2
( )
( )
( )
t t
t t
t
s s
s s t
s s
e H e
e Ha a
a a s
e
a
e H
a s
s
e



1 2 3
1 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( )
tt ts ssay t H e H es Hs a sa e  
31/10/2012 10/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Resposta a uma Exponencial Complexa 
Vamos generalizar o raciocínio: 
( ) ( ) ( )
[ ] y[ ] ( )
k kt t
k k
k k
n n
k k
k k
s
k
k
k k
s
x t a y t a He e
x n a n Hz z
s
a z
  
  
 
 
O que há de 
interessante 
nisso? 
31/10/2012 11/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Resposta a uma Exponencial Complexa 
 De um modo geral, as variáveis s e z podem ser 
um número complexo geral. Todavia, a análise de 
Fourier envolve restrições nessas variáveis: 
 
 Para o tempo contínuo, o interesse está em valores pu-
ramente imaginários: 
 
 
 Para o tempo discreto, o interesse está em valores de 
magnitude unitária: 
( ) , , ( )t j tsx t e js x t e   
[ ] , , [ ]n j j nx n z e xz n e   
31/10/2012 12/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
 Quando um sinal contínuo é periódico? 
 
 Um sinal contínuo é periódico se existe uma constante 
positiva T, tal que: 
 
 
( ) ( ), x t x t T t  
O MENOR VALOR PARA T QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO 
DE PERÍODO FUNDAMENTAL – T0. 
0
0
0
0
1
 ( ) 
2
 ( ) 
f é a freqüência fundamental de x t em hertz
é a freqüência fundamental de x t em radianos por segund
T
o
T
 


31/10/2012 13/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
 O sinal é periódico, com frequência fun-
damental e período fundamental . Tal 
como já vimos, o conjunto de harmônicas é: 
 
 
 
0( )
j t
x t e

0 00 2T  
0( ) , 0, 1, 2,...
jk t
k t e k
    
Como as harmônicas possuem frequências que são múltiplas da 
frequência fundamental, elas também são periódicas com período 
T0. Então, uma combinação linear de exponenciais complexas 
harmonicamente relacionadas também resultará num sinal 
periódico com período T0. 
0
0( ) , 
jk t
k
k
x t a e é um sinal periódico com p Teríodo


 
Vejamos uma animação em Java... 
31/10/2012 14/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
0
0( ) , 
jk t
k
k
x t a e é um sinal periódico com p Teríodo


 
 1 
 2 
 
k componentes fundamentais ou da primeira harmônica
k componentes da segunda harmônica
k N componentes da enésima harmônica
   
   
   
Representação em Série de Fourier para um 
sinal contínuo periódico: Forma Exponencial 
31/10/2012 15/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
0
3
1 12
3 2 2
3 3
 1
1 4
( ) 
1 2
1 3
jk t
k
k
a
a a
x t a e
a a
a a



 


  
 
 
  

Exemplo: Script em Matlab – M_10_SerieFourierProg1.m 
 
 
Desenvolvendo o somatório, reorganizando os termos, e utilizando 
a relação de Euler: 
2 2 4 4 6 61 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( )
4 2 3
j t j t j t j t j t j tx t e e e e e e             
1 2
( ) 1 cos 2 cos 4 cos6
2 3
x t t t t     
31/10/2012 16/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (t)
x
0
(t) = 1
-1.5 -1 -0.5 0 0.51 1.5
-0.5
0
0.5
Tempo (t)
x
1
(t) = (1/2)cos(2t)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo (t)
x
2
(t) = cos(4t)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo (t)
x
3
(t) = (2/3)cos(6t)
31/10/2012 17/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
Tempo (t)
x
0
(t) + x
1
(t) 
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
0
1
2
3
Tempo (t)
x
0
(t) + x
1
(t) + x
2
(t)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-2
0
2
4
Tempo (t)
x
0
(t) + x
1
(t) + x
2
(t) + x
3
(t)
31/10/2012 18/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
1 2
( ) 1 cos 2 cos 4 cos6
2 3
x t t t t     
Esse resultado é um exemplo de uma forma alternativa da Série 
de Fourier, aplicável para sinais contínuos periódicos reais. 
Vamos considerar um sinal periódico contínuo real: 
0 0* *( ) ( )
k
jk t jk t
k
k k
x t a e x t a e
   
 
   
Assim: 
0*( )
k
jk t
k
x t a e




 
31/10/2012 19/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
0*( )
k
jk t
k
x t a e




  0
*( )
k
jk t
k
x t a e




 Trocando k por -k 
0 0*( )
k
jk t jk t
k
k k
x t a e a e
 

 
 
  
Para sinais contínuos periódicos reais: 
*
k ka a
31/10/2012 20/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Vamos derivar as formas alternativas da Série de Fourier para 
sinais contínuos periódicos reais: 
0 0 0
0
1
( ) [ ]
jk t jk t jk t
k k k
k k
x t a e a a e a e
    

 
    
*
k k
a a
0 0 0*
0
1
( ) [ ]
k
jk t jk t jk t
k k
k k
x t a e a a e a e
    
 
    
SOMA DE COMPLEXOS CONJUGADOS 
0
0
1
( ) 2 { }
jk t
k
k
x t a Real a e



 
31/10/2012 21/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
0
0
1
( ) 2 { }
jk t
k
k
x t a Real a e



 
0( )
0
1
( ) 2 { }k
j k t
k
kx t a Re eAal
 



 
0 0
1
( ) 2 ( )
k
kkx t a cos k tA 


  
Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo 
periódico real: Forma Trigonométrica Compacta. 
k
k
j
k Aa e

(Forma Polar) 
31/10/2012 22/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
0
0
1
( ) 2 { }
jk t
k
k
x t a Real a e



 
0
1
0 0( ) 2 [ ( ) ( )]k
k
kCx t a cos k t sen k tB  


  
Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo 
periódico real: Forma Trigonométrica. 
kk kCBa j 
(Forma Retangular) 
31/10/2012 23/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Formas da FS para Sinais Contínuos Periódicos Reais: 
 
0( )
jk t
k
k
x t a e



 
0 0
1
( ) 2 ( )
k
kkx t a cos k tA 


  
0
1
0 0( ) 2 [ ( ) ( )]k
k
kCx t a cos k t sen k tB  


  
Forma Exponencial 
Forma Trigonométrica Compacta 
Forma Trigonométrica 
31/10/2012 24/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
MAS COMO CALCULAR OS COEFICIENTES DA FS? 
... contas, contas, contas ... 
0
0
0
1
( )
 T
jk t
ka x t
T
e dt
31/10/2012 25/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
FS de um Sinal Periódico Contínuo 
0
0
0
0
( )
1
( )
jk t
k
k
jk t
k
T
x t a e
a x t e
T
dt









Equação de Síntese 
Equação de Análise 
  ka coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais
Quantificam a contribuição de cada harmônica. 
0a
Corresponde ao valor médio sobre um período, e é 
chamado de componente DC. 
31/10/2012 26/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
0( ) ( )x t sen t
0 0
0
1 1
( ) ( )
2 2
j t j t
x t sen t e e
j j
    
Relação de Euler: 
1
1
1
2
1
2
0, 1 1k
a
j
a
j
a k e k


 
   
31/10/2012 27/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo: Script em Matlab – M_10_SerieFourierProg2.m 
 
 
 
0 0 0( ) 1 ( ) 2 ( ) (2 )4
x t sen t cos t cos t       
Aplicando-se a Relação de Euler: 
Como os coeficientes da FS são números complexos, eles podem 
também ser expressos na forma polar – módulo e fase. 
0
1
1
1
1
1
2
1
1
2
a
a j
a j

 
 
2
2
2
(1 )
4
2
(1 )
4
0, 2k
a j
a j
a k

 
 
 
31/10/2012 28/29 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
k
|a
k|
Coeficientes Apresentados na Forma Módulo e Fase
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
k

 a
k
31/10/2012 29/29