Interferência da luz por fendas-8

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INTERFERÊNCIA DA LUZ POR FENDAS
Desireé Carrion Santos
Natali Jubram
Jefferson Augusto Bittencourt
Laboratório de Física 4
Prof. Dr. Carlos Tello
Presidente Prudente - SP
2022
Resumo
Este relatório tem como objetivo verificar o comportamento ondulatório da luz e os fenômenos a ela associados. Com isso, estudar o fenômeno da difração utilizando um lazer e fendas de diferentes tamanhos e, também, verificar os padrões de interferência e difração produzidos por diferentes fendas. Através da análise da figura projetada no anteparo conseguimos assim, determinar a largura da fenda, no caso de uma fenda, e a distância entre as fendas, para duas fendas.
Palavras-chaves: Difração, interferência, luz, intensidade da luz.
1. Introdução 
A natureza ondulatória da luz é evidente quando seu comprimento de onda é comparável às dimensões de obstáculos ou aberturas existentes em seu caminho, gerando fenômenos como interferência e difração, exemplos de natureza ondulatória.
Quando duas ou mais ondas se encontram em um ponto do espaço, o efeito é determinado pelo princípio de superposição. Caso estejam em fase, ou seja, os máximos coincidem, o resultado será uma onda resultante cuja amplitude é a soma das amplitudes das ondas, e dizemos que ocorreu uma interferência construtiva. Porém, se as ondas não estiverem em fase, ou seja, o máximo de uma coincide com o mínimo da outra, teremos uma interferência destrutiva, e a amplitude da onda resultante será a diferença entre as amplitudes das ondas.[1]
0. Experimento de Young: interferência produzida por fenda dupla
O experimento de Young, em 1801, foi o primeiro experimento com interferência da luz, e foi determinante para se estabelecer a natureza ondulatória da luz. Uma onda plana incide sobre uma placa opaca, que possui duas fendas estreitas. A onda se difrata em cada fenda, divergindo radialmente. As ondas resultantes se sobrepõem, causando interferências construtivas e destrutivas, que podem ser observadas no anteparo como as regiões onde a intensidade de luz é máxima e onde a intensidade de luz é mínima.[1]
Para que esse efeito seja obtido, as ondas dever ter a mesma frequência e a mesma diferença de fase em relação ao tempo, características presentes na luz de um laser.
Figura 1 - uma onda plana de luz coerente, de comprimento de onda , incide em uma placa, em que há duas fendas estreitas; as ondas difratadas pelas fendas superpõem se e produzem, ao anteparo, o padrão de franjas claras escuras alternadas mostrado esquematicamente à direita; as cristas das ondas estão representadas por linhas cheias.
Na figura 2, observa-se uma onda plana que incide sobre uma placa com duas fendas, d é a distância entre as fendas e D a distância da placa ao anteparo. é o comprimento de onda da luz. Considerando o ponto P no anteparo, em uma posição determinada por , para atingir esse ponto as ondas de cada fenda percorrem diferentes distancias se a diferença de distancias for um múltiplo inteiro de , as ondas chegaram em fase ao ponto P, e a intensidade da luz será máxima. Porém, se a diferença for um múltiplo ímpar de , as ondas não estarão em fase, e a intensidade será mínima.[2]
Figura 2 - a separação entre as fendas F e F’ é d e a placa está a uma distância D do anteparo; o resultado da interferência no ponto P depende da diferença entre as distâncias FP e F’P.
Se , as retas FP e F’P só um praticamente para elas e a diferença entre esses dois percursos é . Dessa forma, as condições para que se haja máximo ou mínimo de interferência em P são:
1. Máximos: 
1. Mínimos: 
Na figura 3, representa se uma onda plana que incide sobre uma fenda em uma placa opaca. Se a largura dessa fenda é da mesma ordem do comprimento de onda da luz são observadas no anteparo regiões claras alternadas com escuras. Este efeito pode ser analisado pelo modelo de Huygens, onde cada fenda atua como uma fonte de luz. As ondas provenientes das vendas que podem chegar em uma fase ou fora de fase reproduzir regiões claras e escuras.[2]
Considerando um ponto P no anteparo um, numa posição indicada pelo ângulo , a condição para que haja um mínimo de difração é dada por:
É a intensidade da luz no anteparo será dada por:
Onde a é a largura da fenda e Im é a intensidade máxima observada no padrão de difração. Pela equação acima, pode-se verificar que quando , a intensidade é máxima.
Substituindo por x e aplicando o limite fundamental, tem-se:
Pelo modelo de Huygens, observa se que ao longo da reta perpendicular ao anteparo e que também é perpendicular a placa opaca com as vendas as ondas provenientes dos feixes estão em fase ocasionando sempre interferência positiva.
Figura 3 - uma onda plana incide sobre uma fenda de uma placa opaca: as ondas provenientes de cada ponto da fenda atingem o ponto P em um anteparo distante.
0. Difração em N fendas
A figura 4 mostra o padrão produzido por N fendas iguais de largura b e separação h. O padrão é o produto entre a função de difração
E a função de interferência das N fendas, :
note que a equação acima é válida também para os casos de uma (N =1) ou duas (N = 2) fendas.
Figura 4 - de fração por uma rede de N fendas (neste exemplo h = 3b e N = 10). Os máximos de interferência com largura , ficam cada vez mais finos à medida que aumenta N.
Para entender melhor o padrão de difração é útil analisar o padrão de interferência mostrado na figura 5. Nesta figura representamos a função
Esta função apresenta máximos absolutos chamados de máximos primários quando
(máximos primários)
e que correspondem às posições
Os máximos primários são também chamados de pico de ordem n. Utilizando a regra de L’Hospital, podemos ver que, nesses máximos primários, . A separação entre dois máximos primários consecutivos é dada pela equação abaixo, que nos permite medir h.[3]
Figura 5 – a função de interferência, a de difração e o padrão resultante como função de . Neste exemplo, h = 3b, de modo que o máximo principal com coincide com o primeiro zero de difração (). A largura dos máximos principais é . Note que entre 2 máximos principais consecutivos há N – 2 = 3 máximos secundários, então N = 5.
Os máximos primários consecutivos temos vários máximos secundários, onde perto de . Numerador na equação se anula se é múltiplo de e temos, em princípio, um zero da função . Porém, se o denominador também se anula (isto é, se é também um múltiplo de ) então o numerador e denominador se anulam e teremos um máximo primário. Por exemplo, se N = 5 (como na figura 5), temos mínimos de interferência para , mas se temos um máximo primário. Vemos então que entre dois máximos primários consecutivos temos sempre N – 2 máximo secundários. Isto pode ser utilizado para determinar N experimentalmente.[3]
Com exceção da ordem zero (isto é, o máximo central de interferência, com ), as posições dos máximos primários dependem do comprimento de onda este fato é utilizado para medir comprimentos de onda. A largura dos máximos é aproximadamente, , podemos ver do fato que a posição do mínimo adjacente ao máximo de ordem n (na figura 5 isto é ilustrado com o máximo de primeira ordem). Em termos de tamanho no anteparo, a largura dos máximos é
Se N é grande os máximos são muito estreitos e bem definidos, permitindo medir com boa precisão. Um arranjo com muitas fendas é chamado de rede de difração ou grade de difração. As redes de difração são muito utilizadas em espectroscopia.[3]
0. Difração de Fraunhofer
Em óptica e eletromagnetismo, a difração de Fraunhofer, também chamada de difração de campo distante ou aproximação de Fraunhofer, é a observação de campo distante do padrão de difração por um objeto de difração. Esta observação também pode ser feita no plano focal da imagem de uma lente convergente. É oposto à difração de Fresnel, que descreve o mesmo fenômeno de difração, mas no campo próximo.
Esta descrição da difração é nomeada em homenagem ao físico alemão Joseph von Fraunhofer.
O ponto fonte deve estar muito longe da abertura do plano para que as ondas que atingemo objeto refrator sejam planas ou quase planas e a observação seja feita ao infinito. Além disso, de acordo com o princípio de Huygens-Fresnel, cada ponto do objeto difrator se comporta como uma fonte secundária cujas amplitudes são todas iguais e estão todas em fase com a onda incidente. Essas condições são as da aproximação de Fraunhofer. Na prática, para que essas condições sejam alcançadas, lentes convergentes são colocadas na entrada e na saída para fazer as observações no plano focal da imagem da lente de saída e modelar uma fonte no infinito.
Para expressar a amplitude difratada em M, devemos calcular a diferença de caminho (SPM) - (SOM) escolhendo O no plano da abertura.
Consideramos que estamos em condições gaussianas, portanto e será simplificado, e tomando X e Y as coordenadas de M, X 'e Y' as coordenadas da fonte S e x e y as coordenadas de P, a diferença de taxa portanto torna-se no caso muito geral 
E então, 
Assim, é possível expressar a amplitude difratada em M para um objeto difrator de transmissão t (sendo t igual a 0 se o objeto for totalmente opaco e 1 se for transparente).
O cálculo desta integral só pode ser feito analiticamente para aberturas particularmente simples (abertura retangular, fenda).
2. Objetivos 
· Observar os efeitos de interferência produzidos por duas ou mais fendas;
· Verificar quantitativamente as previsões do modelo de difração de Fraunhofer para duas ou mais fendas, medindo a largura da fenda por difração;
· Verificar a validade do modelo no caso de duas ou mais fendas, determinando a largura, número e separação entre fendas através de medidas no padrão de difração/interferência;
· Avaliar a potencialidade de reder de difração para medir comprimentos de onda.
3. Materiais e métodos
3.1 Materiais
· Laser de Hélio – Neônio 
· Lâmina com fendas de várias dimensões 
· Suporte para lâmina 
· Anteparo 
· Trena 
Resultados e discussão 
PARTE A: INTERFERÊNCIA E DIFRAÇÃO FENDA DUPLA
Após finalizarmos a montagem do laser com a distância de z =3 e fixado o papel milimetrado no anteparo começamos a observação do período de interferência com o filme N = 2, conforme vemos na imagem abaixo:
Imagem: Interferência de fenda dupla N =2
Fonte: Autores.
Para encontrarmos o valor de utilizamos da equação:
 (1)
Onde é a distância da interferência da luz mais incidente da fenda e a distância do laser ao anteparo.
	Então para a lente N=2, encontramos o seguinte resultado para :
	Então N=2 tem 1,5 mm de período de interferência.
E seguimos para encontrar para o restante dos filmes.
Imagem: Interferência de fenda dupla N =3
Fonte: Autores
Imagem: Interferência de fenda dupla N =4
Fonte: Autores
Imagem: Interferência de fenda dupla N =5
Fonte: Autores
Imagem: Interferência de fenda dupla N =40
Fonte: Autores
PARTE B: INTERFERÊNCIA E DIFRAÇÃO PARA FENDA CIRCULAR
Para esta parte do experimento foi determinado o valor de para os 3 anéis nos filmes, onde o laser de frequência .
Então para encontrar os valores para a fenda circular, utilizamos da seguinte equação:
 (2)
 Onde , R sendo o raio da circunferência e Z a distância do laser até o anteparo.
Foram colhidos os seguintes valores, seguindo das fotos obtidas com o experimento:
Imagem: Difração do anel de diâmetro de 1mm
Fonte: Autores
 mm
Imagem: Difração do anel de diâmetro de 1,5mm
Fonte: Autores
				
Imagem: Difração do anel de diâmetro de 2mm
				
						Fonte: Autores
Com os valores obtidos, foi possível montar uma tabela com os comprimentos de onda:
Tabela: valores de λ para cada filme.
	Filme
	valor de λ 
	n2
	1,5
	n3
	0,4
	n4
	0,66
	n5
	0,6
	n40
	0,6
	n20
	0,33
	n40
	0,566
	n80
	1,033
	D1mm
	0,5379
	D1,5mm
	0,5433
	D2mm
	0,5379
Fonte: Autores
Tendo todos os valores de comprimento de onda, faremos a cálculo de valor médio dessas medidas.
Obtivemos o valor de 0,522 mm 
Com isso podemos observar melhor através do seguinte histograma:
Fonte: Autores
Por fim realizamos o cálculo de desvio de padrão dessas medidas:
= 0,328708135 de desvio de padrão.
4. Conclusão
Concluímos que com este experimento, foi de suma importância para visualizar e compreender o resultado de uma interferência com as diferentes quantidades de fendas e também com a fenda circular.
5. Referências
1. J. P. McKelvey and H. Grotch, "Física 4 ", Harbra - Harper & Row do Brasil, São Paulo, cap.26 (1981).
2. Interferência Óptica. Acessado em: 13 de julho de 2022. Disponível em: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/186845/mod_resource/content/1/Interfer%C3%AAncia%20%C3%B3ptica.pdf.
3. Nussenveig, Moysés H. Curso de física básica 4: ótica, relatividade e física quântica. 4ª edição. São Paulo, BLUCHER, 2014.
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