Modelagem_AULA_ ANALISE TEMPORAL

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Soluções de equações de estado no domínio do tempo
OBJETIVOS
· Analisar as respostas temporais dos sistemas
· Fazer isso principalmente por espaço de estado, mas também por FT’s
· Resolver problemas de acordo com as entradas dadas ao sistema
REFERÊNCIAS DA AULA
OGATA, K.. (2003) Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição de 2003, 3ª reimpressão de 2007. São Paulo: Pearson Prentice Hall. cap 5.
NISE, Norman, S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
NISE, Norman, S. Engenharia de sistemas de controle. 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
Bibliografia básica e complementar:
	OGATA, K.. (2003) Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição de 2003, 3ª reimpressão de 2007. São Paulo: Pearson Prentice Hall.
NISE, Norman, S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
AGUIRRE, L. A. Enciclopédia de Automática: Controle & Automação. Volume II. Editora Blücher. 2007
APRESENTAÇAO DA AULA ----------------- início
É importante salientar aqui, embora já tenhamos visto isso no decorrer da disciplina, que Sistemas Lineares Invariantes com o tempo (LIT) são uma classe importante de sistemas que exercem um papel fundamental na modelagem de sistemas, no controle, no processamento de sinais (sejam digitais ou não) (NALON, 2014). Por ser facilmente implementável, sua descrição é simples e já recebeu estudos de aplicação em várias áreas. Dentre elas, veremos mais um pouco nessa aula. (OBS.: é óbvio que os sistemas LIT não são uma panaceia, ou seja, não são capazes de resolver todos os tipos de problemas existentes; muitas vezes precisaremos resolver algum problema por sistemas não lineares). Vamos analisar as respostas dos sistemas quanto a entradas conhecidas (impulso, geralmente) e resolvê-los também por equações de estado. Vamos estudar?!
-------------------------- fim da apresentação da aula
Um sistema LIT pode ser completamente descrito através de sua resposta ao impulso. A resposta ao impulso de um sistema é a função obtida em sua saída quando sua entrada de referência é o impulso unitário.
Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, poderemos descrever como ele se comporta quando sua entrada é qualquer outra sequência, conforme diz Nalon (2014). Isso é muito importante, pois, como vimos na 1ª aula, o Teorema da Convolução nos diz que a Convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequência. Essa operação recebe notação e nomenclatura própria, é representada por um asterisco (*). A resposta do sistema é dada pela convolução do sinal de entrada com a resposta ao impulso.
Supondo a saída, U(s) a entrada e H(s) a função de transferência, e condições iniciais nulas, podemos escrever o exposto acima. Como a entrada u(t) é um impulso unitário , então y(t) é a resposta ao impulso. A transformada de Laplace do impulso unitário é 1, e podemos escrever a transformada de y(t) (isto é, da resposta impulsiva) como
 Assim, pela Convolução, e sabendo que pela resposta ao impulso podemos descrever o sistema à outras entradas, temos um ponto de partida para analisarmos plantas de processos, sejam de 1ª, 2ª ordem ou superior, pois já obtivemos as ferramentas necessárias para analisá-los de acordo com suas entradas e saídas, e seus critérios de desempenho.
Como já vimos em nossas aulas, podemos analisar um sistema pela sua modelagem por função de transferência ou pelo espaço de estado. Através do espaço de estado, conseguimos verificar as características do modelo quanto as variáveis de estado, e, após isso, também temos a escolha de fazer a conversão para função de transferência (e vice-versa) como analisar o modelo quanto a entradas de referência dadas.
	Veremos a seguir 2 atividades que nos servirão de exemplo para o que acabamos de dizer: analisar um sistema via a representação por espaço de estados, e suas variáveis de estado; e outro exemplo, também em espaço de estado, com análise da resposta quanto à uma entrada de referência.
Já vimos em aulas anteriores a representação de sistemas físicos no espaço de estados. Iremos demonstrar agora um estudo de caso exposto em Nise (2002), onde ele analisa cada subsistema de um sistema de controle de posição, através da representação por espaço de estados.
a resposta temporal de um sistema sempre irá mudar se mudarmos sua entrada de referência. Lá no exemplo da Aula 3 a referência para o sistema era um degrau unitário; aqui fizemos com um impulso unitário como entrada. Tudo isso está de acordo com o que aprendemos no início de nossa aula: Convolução e resposta do sistema a uma entrada. OK!?
Vamos analisar agora outras atividades, que nos darão exemplos de análise com a construção do gráfico da saída do sistema.
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ATIVIDADE: Seja um circuito RC simples, que pode ter a função de um filtro passa-baixas em processamento de sinais, como mostrado na figura a seguir:
Esboce o gráfico da resposta impulsiva (isto é, a resposta ao impulso unitário) para o filtro acima:
GABARITO: a FT desse sistema é 
Se dividirmos em cima e embaixo da fração por RC
Temos um polo em -1/RC e a inversa da equação acima resulta em
Independente dos valores de R e C, o gráfico da resposta será exponencial tendendo a zero, já que o valor final (use o teorema!) resulta zero.
Para o gráfico, quando t = 0 teremos 1/RC no eixo y; e quando t tende ao infinito teremos zero no eixo x:
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ATIVIDADE: (adaptada de Ogata (2003)) Considere um sistema dado pela equação diferencial . Obtenha a resposta y(t) (encontre a resposta impulsiva para o sistema dado), por função de transferência e por uso de equações de estado, de acordo com a condição inicial dada.
GABARITO: Operando com o teorema da derivação, tem-se:
[s2Y(s) – sy(0) - ] + 3[sY(s) – y(0)] + 2Y(s) = 0
[s2Y(s) – 0,1s - 0,05] + 3[sY(s) – 0,1] + 2Y(s) = 0
[s2 + 3s + 2]Y(s) = 0,1s + 0,35 => Y(s) = 
Após, com uso da tabela, y(t) = 0,25.e-t – 0,15.e-2t
 
=>!!!! Esse tipo de análise de resposta que acabamos de fazer na questão anterior, e que veremos logo a seguir no próximo tópico, nos fornece grandes subsídios para vermos, por exemplo, como o sistema se comportará no regime permanente (estado estacionário); e se ele apresentará erro em regime permanente ou não. Essas duas últimas características são de extrema importância para ‘julgarmos’ a estabilidade de um sistema físico, e com isso, inferirmos se o mesmo precisará do uso de controle ou não.
Todo o assunto dessa aula, e de todas que tivemos até hoje, são bases consideravelmente importantes para o estudo da análise e projetos de controle para a indústria em geral. Por isso a grande exigência de termos bem sedimentado todos os conceitos até agora vistos, para você ter um bom prosseguimento em suas disciplinas futuras
ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA
O processo prático para a representação gráfica das curvas de resposta em função do tempo, quer usemos funções de transferência ou equações de estado, é feito por meio de simulação computacional. No exemplo da atividade anterior, obtivemos um sistema de primeira ordem simples, em que sua equação no domínio do tempo resultou em uma função exponencial de fácil manuseio para esboço de gráfico.
Porém, agora vamos discutir algumas análises de resposta (ao degrau, ao impulso,...) com uma abordagem computacional, o que nos facilita grandemente, com uso de programação em MatLab. Alguns comandos na programação em MatLab serão apresentados a seguir:
=> se num e den (o numerador e o denominador da função de transferência de malha fechada) forem conhecidos, podemos escrever no programa
			step(num,den), 	step(num,den,t)
esses comandos vão gerar as curvas de respostas ao degrau unitário como entrada (o parâmetro “t” no comando step (que é a aplicação do degrau) é o valor de tempo especificado pelo usuário).
=> para um sistema de controle definido na forma do espaço de estados, onde a matriz de estado A, a matriz de controle B, a matriz de saída C, e a matriz de transmissão direta D, das equaçõesde espaço de estado são conhecidas, o comando
					step(A,B,C,D)
vai gerar as curvas de respostas ao degrau unitário (o vetor tempo é gerado automaticamente quando t não for explicitado no comando).
=> o comando step(sys) pode ser utilizado também para obter a resposta ao degrau unitário de um sistema. Primeiro, definimos se estamos trabalhando com função de transferência ou espaço de estado. Então
				sys=tf(num,dem)
ou
				sys=ss(A,B,C,D)
logo podemos fazer step(sys) no computador.
****Dentro ainda desses comentários, vamos obter e analisar mais uma vez a resposta ao degrau unitário a partir da função de transferência do sistema.
Para isso vamos nos valer do exemplo da atividade a seguir.
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ATIVIDADE: (adaptada de Ogata (2003)) Obtenha o gráfico da curva de resposta ao degrau unitário do sistema . Para isso, utilize o meio computacional.
GABARITO: programa em MatLab para resolução da questão:
%--------------- Resposta ao degrau unitário -------------
%***** Digite o numerador e o denominador da função de transferência *****
num=[0 0 25];
den=[1 4 25];
%***** Digite o comando de resposta ao degrau *****
step(num,den)
%***** Digite os comandos para inserir a grade e o título do gráfico *****
grid
title(‘Resposta ao Degrau Unitário de G(s) = 25/(s^2 + 4s + 25)’)
e o gráfico resultante é mostrado na figura a seguir:
Fonte: adaptada de Ogata (2003)
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É sempre bom frisar novamente que através da resposta do sistema (no caso do exemplo da atividade anterior, o gráfico da curva de resposta à uma entrada de referência), o engenheiro poderá dar prosseguimento na análise desse sistema quanto ao seu controle, por exemplo, que é geralmente o principal objetivo para um processo. Note que para chegarmos até aqui, precisamos ter feito um bom modelo do sistema, saber trabalhar com as entradas de referência e saber lidar com as respostas para esse sistema (o que fazer após isso: encontrar um sistema com gráfico que tenha melhor tempo de acomodação, ou menor sobressinal, por exemplo).
**** Também podemos analisar a resposta do sistema quanto a uma entrada em impulso. A resposta ao impulso unitário de um sistema pode ser feita por um dos seguintes comandos em MatLab: impulse(num,den) ou impulse(A,B,C,D)
Para exemplificar, novamente usaremos uma atividade com programação em MatLab, para você a facilidade e eficiência que o meio computacional nos traz.
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E ainda, para finalizarmos nossa aula, faremos mais uma atividade em programação, para encontrarmos alguns dos critérios de desempenho para um sistema. Como falado nesta e na aula anterior, esses critérios servem-nos de subsídios para análise do projeto da modelagem e futuro controle do processo.
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ATIVIDADE: (adaptada de Ogata (2003)) Encontre o tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação e o máximo de sobressinal para o sistema:
GABARITO: o programa a seguir, feito com o MatLab, nos irá fornecer os critérios pedidos e a curva de resposta desse sistema a uma entrada em degrau unitário.
OBS.: (perceba que com esse programa você também pode resolver sistemas de ordem superior)
%----------------- programa em MatLab para determinar o tempo de subida (rise time), tempo de pico % (peak time), o máximo de sobressinal (max overshoot) e o tempo de acomodação (settling time) % de um sistema de segunda ordem e de um sistema de ordem superior ------------
% ------------- da FT dada, tiramos que zeta = 0,6 e wn = 5 ----------------
num=[0 0 25];
den=[1 6 25];
t=0:0.005:5;
[y,x,t]=step(num,dem,t);
r=1; while y(r)<1.0001; r=r+1; end;
rise_time=(r-1)*0.005
rise_time=
	0.5550
[ymax,tp]=max(y);
peak_time=(tp-1)*0.005
peak_time=
	0.7850
max_overshoot=ymax-1
max_overshoot=
	0.0948
s=1001; while y(s)>0.98 & y(s)<1.02; s=s-1; end;
settling_time=(s-1)*0.005
settling_time=
	1.1850
Os valores dos critérios estão expostos no programa, e a curva de resposta ao degrau a seguir serve para o futuro engenheiro inferir suas análises:
Fonte: adaptada de Ogata (2003)
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CONCLUSÃO DA AULA
Nesta aula de suma importância fizemos desde um resgate da primeira aula, quanto a definição de Convolução para nos dar base, até análise de sistemas de segunda ordem. É muito importante que você, aluno, entenda todo o processo de construção dessa disciplina e o que foi exposto aqui: uma ‘junção’ de cada ‘peça’ (assuntos das aulas) para analisarmos as soluções dos sistemas no domínio do tempo. Fizemos análises a partir das Funções de transferência e pelo espaço de estado, aprofundando os conceitos das respostas temporais de acordo com as entradas de referência. E também aproveitamos para aprendermos mais resoluções de modelagem de sistemas através de meio computacional. Espero que você tenha alcançado o ‘topo’ dos conceitos aprendidos, e saiba usá-los em conjunto para o prosseguimento dos seus estudos. Para mais aprofundamento, busque mais exercícios nas bibliografias. Até a próxima aula!
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