Filosofias da matemática - (2007) Silva

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Universidade Federal de Sergipe - UFS
Círculo de São Cristóvão-se
Filosofias da Matemática - (2007) Silva
Livro: filosofias da matemática do Jairo José da Silva (2007), editora unesp, 245 páginas.
Leitura e comentários por :Expedito Andrade de Jesus.
“Toda vez que falta luz o invisível nos salta aos olhos” - Humberto Gessinger
Sumário:
Apresentação ___________________ 11
Prólogo ________________________ 13
Introdução ______________________ 25
1 Platão e Aristóteles _____________ 31
2 Leibniz e Kant _________________ 77
3 Frege e o Logicismo _____________ 123
4 O construtivismo ________________ 143
5 O formalismo ___________________ 183
Epílogo __________________________ 221
Bibliografia _______________________ 237
Breve informe: Acredito que seja muito mais prático destacar pontos diretamente da obra, ou
seja, na íntegra, e quando necessário comentá-lo, para fim de esclarecimento, complemento, ou
até mesmo resumo, de forma que este trabalho seguirá um padrão de “caixa de diálogo” do autor
(D.A) e uma caixa de comentários próprios (C.P).
Obs: Toda vez que aparecer uma linha horizontal no canto direito significa que dali para frente é
uma nova apresentação, ou seja, uma continuação da anterior. A linha na qual me refiro é a que
se segue:, usada agora apenas como um exemplo:
Introdução
(C.P)
1.0 Uma breve apresentação geral do livro:
O autor destaca que o livro foi feito a partir de notas de aula da disciplina de
filosofia da matemática ministrada por ele com o intuito de servir como material para o
curso de pós-graduação do instituto de filosofia e ciências humanas da Unicamp.
Portanto, é um livro que surge das notas de aulas de um curso dado pelo professor
José Jairo da Silva ao longo de vários anos, um curso que como dito pelo autor reunia
alunos de muitos cursos de graduação em filosofia que infelizmente sabiam pouca
matemática (triste realidade destacada pelo autor) e por outro lado estudantes de
matemática que sabiam pouca filosofia (infelizmente outra triste realidade) e alunos de
outras áreas com problemas similares.
Assim como o Silva, aqui também acreditamos que todos são inteligentes e embora
uns saibam muita matemática e pouca filosofia, e outros ao contrário disso, como acredito
que seja um caso bem geral, todavia isso não é uma regra e nem será um impeditivo para
podermos juntos entender a obra e nos complementarmos dentro das nossas intersecções de
conhecimento, pois, a obra exigirá que façamos um percurso histórico da evolução das
filosofias da matemática, sem dúvidas será uma viagem rica, cheia de descobertas e para
cada descoberta, espero que outras dúvidas possam surgir, pois, estas nos guiarão.
De antemão, cabe avisar-lhes que o autor não pressupõe qualquer conhecimento
seja de filosofia, seja de matemática, sendo a obra uma introdução de fato. Com isso,
podemos esperar que o autor sempre se dê ao trabalho de explicar termos e conceitos, seja
de um dado campo do conhecimento, seja de outro.
Silva é categórico ao afirmar que filosofia da matemática é um campo que pode
causar muita confusão e isso se dá muito por conta de certos autores que fazem questão de
obscurecer tais conteúdos, seja lá por qual motivo de que essa “obscuridade teórica” se dê,
temos boas razões para acreditar que o autor não fará o mesmo nesta obra, já que ele
comenta “As grandes filosofias como as de Platão e Kant podem ser difíceis, mas nunca
obscuras”.
(D.A)
1.1 apresentação:
Questões sobre a natureza dos objetos da matemática e o caráter do conhecimento
matemático têm uma longa história no decorrer da filosofia ocidental. Entre os filósofos
que mais influenciaram essas discussões estão Platão, Aristóteles, Leibniz e Kant. Mas foi
somente no século 19, com a formulação do programa logicista (empirismo lógico) de
fundamentação da matemática por Frege, Dedekind e Peano, que a filosofia da matemática
chegou à maturidade. As dificuldades que surgiram no início do século 20, com a
descoberta dos paradoxos da lógica e da teoria de conjuntos, afetando diretamente o projeto
logicista, levaram um grupo notável de matemáticos e filósofos a propor diversos
programas filosóficos de fundamentação da matemática. Surgem assim uma versão
renovada de Logicismo, formulada principalmente por Russell, várias versões de
Construtivismo formuladas por Poincaré, Brouwer, Weyl e outros, e uma importante versão
do formalismo formulada por Hilbert.
O presente livro, ``Filosofias da Matemática'', de Jairo José da Silva, professor com
invejável formação tanto em matemática quanto em filosofia - é a primeira apresentação
sistemática em português das posições tradicionais e atuais daquela problematização
filosófica sobre a matemática. Baseado em um curso introdutório ministrado por Jairo na
Unicamp, o livro vem preencher uma importante lacuna editorial e será uma referência
indispensável tanto com o texto para cursos de graduação e pós-graduação em Filosofia da
Matemática como para leitores independentes, com alguma formação filosófica e
matemática. É um grande prazer para mim apresentá-lo e também poder passar a utilizá-lo
em meus cursos de Filosofia da Matemática.
(C.P)
Como podem ter notado, o conteúdo do livro do Silva (2007), não é propriamente
dito um livro de filosofia da matemática em si, mas sim um livro acerca da história das
filosofias da matemática, com isso, o autor é obrigado a fazer um percurso histórico e ao
mesmo tempo que o faz, levanta problemas e questões já existentes e para isso ele faz sua
remontagem, digo, seu percurso, na seguinte ordem: Platão..., Aristóteles..., Leibniz...,
Kant ...Frege, Dedekind, Peano … entre outros.
Contudo, há um ponto em especial em 1920 que, ao que parece, a matemática entra
em crise, e alguns conceitos começam a ser revistos.
O Oswaldo (autor do prefácio do livro) é categórico ao citar que o projeto logicista
foi afetado por duas coisas em especial, a teoria de conjunto e a outra é o paradoxo da
lógica, temos boas razões para no decorrer da leitura desta obra nos atentarmos ao que
ocorreu nos anos 20 e esclarecermos melhor o que seja o paradoxo da lógica e porquê a
teoria de conjunto “feriu de morte” o movimento logicista.
Dessa crise nos anos 20 e a partir do movimento logicistas surgem dois “ramos”
que propuseram as suas próprias fundamentações da matemática, seus programas, surgindo
assim uma versão renovada do logicismo encabeçada por Russell e outras versões como a
construtivista que tem nomes importantes a frente como Poincoré, Brouwer e por último e
não menos importante a versão formalista com um nome como o de Hilbert.
Para os interesses práticos dessa obra é de fundamental importância entender o que
significa o movimento logicista, o que é a teoria de conjunto e o que é o paradoxo da lógica
e acredito que isso seja feito no decorrer da obra, contudo vai um spoiler:
● Logicismo:https://webpages.ciencias.ulisboa.pt/~ommartins/seminario/fregerussel/l
ogica.htm#Logicismo
● Teoria dos conjuntos:
http://www.conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/vi/paper/viewFile/1271/911
● Paradoxo da lógica: https://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo
Portanto, o que podemos esperar dessa obra é que o autor destaque em que sentido esses
pensadores contribuíram para a filosofia da matemática e de que forma? Qual a diferença
entre um problema de matemática e um de filosofia da matemática? Através de quais
problemas esse novo campo foi se desenvolvendo? Do quê se trata a natureza desses
problemas?
E aqui vale lembrar que o ponto máximo dessa leitura é chegarmos em Frege (nosso
objeto de pesquisa geral), para com isso tentar responder coisas do tipo: Em que sentido
Frege contribuiu para a filosofia da matemática? O que ele se propôs a fazer? Seu trabalho
foi influenciado por quem? influenciou a quem e de que forma? Em que medida seu
trabalho divide ou não divide águas? Como outros grandes pensadores dialogam com
Frege e porque o seu trabalho foi tão importante para este a filosofia da matemática? O que
se seguede Frege em diante tem relação com o seu trabalho? E antes de Frege? São estas
perguntas que esperamos que no capítulo 3 que é central, nos responda.
(D.A)
https://webpages.ciencias.ulisboa.pt/~ommartins/seminario/fregerussel/logica.htm#Logicismo
https://webpages.ciencias.ulisboa.pt/~ommartins/seminario/fregerussel/logica.htm#Logicismo
http://www.conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/vi/paper/viewFile/1271/911
1.1.2 Prólogo:
Desde os gregos antigos, que praticamente a inventaram , até hoje, a matemática dá origem
a problemas que ela mesma não pode resolver. Eu não me refiro àqueles famosos, como a
duplicação do cubo ou a quadratura do círculo por régua e compasso, a solução da equação
do quinto grau por radicais, ou o último teorema de Fermat que desafiaram a inteligência
de matemáticos por séculos, mas que foram resolvidos (o último da lista) ou dissolvidos
pela demonstração da impossibilidade de sua resolução (os outros), nem àqueles problemas
que ainda, neste momento, estão à espera de solução, como a hipótese de Riemann.
(C.P)
Problemas como os resolução de equações, seja de que grau for, o da duplicação da
quadratura de um cubo, a hipótese de Riemann, o problema de Fermat, estes são de
natureza matemática, são problemas lógico-matemáticos que por mais que desafiem a
nossa inteligência durante anos, eles não amalgamam estritamente um problema de caráter
filosófico (epistêmico, metodológico e ontológico), o autor deixa bem claro que problemas
de tal natureza tratam da essência das coisas e não das formas, e que por isso são
problemas às vezes subestimados e deixados de lado e é o tipo de problema que será
tratado aqui, na verdade, uma demonstração do percurso histórico desses problemas já que
o livro se propõe a isso.
Para sabermos um pouco mais sobre tais problemas matemáticos recomenda-se as
seguintes pesquisas :
● Problema da duplicação da quadratura do cubo:
http://www.educacional.com.br/articulistas/outrosOutros_artigo.asp?artigo=artigo0
057
● Problema de Fermat:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resolu%C3%A7%C3%A3o_do_%C3%BAltimo_teor
ema_de_Fermat#:~:text=O%20%C3%9Altimo%20Teorema%20de%20Fermat,mai
or%20que%202%20que%20satisfa%C3%A7a&text=Por%20conta%20disso%2C%
20o%20%C3%9Altimo,teorema%20matem%C3%A1tico%20de%20seu%20tempo.
● A hipótese de Riemann:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tese_de_Riemann
Portanto, qualquer um desses três problemas acima, ou qualquer outro dessa
natureza, constitui um problema não de filosofia da matemática, mas sim de matemática.
Mas então o que seria um problema de filosofia da matemática? Vamos adiante...
(D.A)
http://www.educacional.com.br/articulistas/outrosOutros_artigo.asp?artigo=artigo0057
http://www.educacional.com.br/articulistas/outrosOutros_artigo.asp?artigo=artigo0057
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resolu%C3%A7%C3%A3o_do_%C3%BAltimo_teorema_de_Fermat#:~:text=O%20%C3%9Altimo%20Teorema%20de%20Fermat,maior%20que%202%20que%20satisfa%C3%A7a&text=Por%20conta%20disso%2C%20o%20%C3%9Altimo,teorema%20matem%C3%A1tico%20de%20seu%20tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resolu%C3%A7%C3%A3o_do_%C3%BAltimo_teorema_de_Fermat#:~:text=O%20%C3%9Altimo%20Teorema%20de%20Fermat,maior%20que%202%20que%20satisfa%C3%A7a&text=Por%20conta%20disso%2C%20o%20%C3%9Altimo,teorema%20matem%C3%A1tico%20de%20seu%20tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resolu%C3%A7%C3%A3o_do_%C3%BAltimo_teorema_de_Fermat#:~:text=O%20%C3%9Altimo%20Teorema%20de%20Fermat,maior%20que%202%20que%20satisfa%C3%A7a&text=Por%20conta%20disso%2C%20o%20%C3%9Altimo,teorema%20matem%C3%A1tico%20de%20seu%20tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resolu%C3%A7%C3%A3o_do_%C3%BAltimo_teorema_de_Fermat#:~:text=O%20%C3%9Altimo%20Teorema%20de%20Fermat,maior%20que%202%20que%20satisfa%C3%A7a&text=Por%20conta%20disso%2C%20o%20%C3%9Altimo,teorema%20matem%C3%A1tico%20de%20seu%20tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tese_de_Riemann
A resposta óbvia: a matemática trata de números, figuras, e outros objetos abstratos do
gênero; mais que uma solução, é fonte de novos questionamentos, pois o que são, afinal, os
números, as figuras e os outros objetos matemáticos; que realidade atribuir-lhes, são meras
invenções nossas ou existem independentemente de nós e, em caso afirmativo, que lugar
habitam, já que não são objetos espaço-temporais? Em geral, que tipo de objeto é um
objeto abstrato da matemática? Há também problemas com caráter mais local que
aparecem no contexto de determinadas práticas e teorias matemáticas. Por exemplo, é
correto usarmos, com o os geômetras gregos da antiguidade, uma linguagem construtiva
em matemática (por exemplo, construa um triângulo eqüilátero dado um dos seus lados,
com o pede o primeiro problema proposto nos Elementos de Euclides)? Platão, como
veremos, achava que não (porque para ele os objetos matemáticos, triângulos, por exemplo,
preexistem e são independentes de nossas atividades). Ou então, é lícito o uso, como
método de demonstração matemática, do chamado reductio ad absurdum, em que a
veracidade de uma asserção é demonstrada mostrando-se a falsidade de sua negação
(extensamente usado, por exemplo, por Arquimedes, embutido em seu método de
exaustão)? Aristóteles e, cerca de 24 séculos depois, Brouwer, como também veremos,
achavam que não (Aristóteles porque demonstrações desse tipo não são causais, elas
demonstram um fato, mas não dão a sua causa; nós sabemos que algo é verdadeiro, mas
não sabemos por quê. Brouwer porque demonstrações por redução ao absurdo lançam mão
de leis lógicas cuja validade incondicional ele não reconhecia).
Essas questões extrapolam os domínios da matemática, elas não podem ser objetos de
teorias matemáticas. São questões de metodologia, ontologia, epistemologia, ou seja,
questões filosóficas que só podem ser objeto de reflexão filosófica (e tanto a crítica de
Platão ao "construtivismo" da linguagem matemática de seus contemporâneos quanto a
recusa, por parte de Aristóteles e Brouwer, do método de reductio ad absurdum só podem
ser compreendidas no interior de suas filosofias).
A matemática é fonte constante de questionamentos que transbordam os seus limites e
requerem um contexto propriamente filosófico para serem adequadamente tratados.
(C.P)
Em tese, o papel que a filosofia exerce sobre a matemática neste caso é um papel reflexivo
em torno de sua prática, digo, por exemplo, como garantir que o postulado da soma interna
dos ângulos de um triângulo se dá como um conhecimento objetivo sempre do mesmo
modo, ou seja, infalível? Esse teorema é uma verdade indiscutível? Como eu garanto isso?
E se por exemplo eu encontrasse um "triângulo" cujo a soma interna dos ângulos fosse
maior que 180 graus, estaria o teorema posto em xeque? Teria eu medido errado? ou o meu
"triângulo" não seria um triângulo? Esse sim é um típico problema de filosofia da
matemática. Discutir esse tipo de coisa pode com certeza trazer esclarecimento ao
conhecimento matemático, e ter-se então, como resultado dessas reflexões um
conhecimento justificado e esclarecido.
Um outro tipo de problema é se por exemplo as formas matemáticas preexistem na
natureza, ou nós é quem damos significado e construímos essas ideias de figuras e elas
existem na nossa mente, daí o autor levante argumentos de partidários de ambas as partes e
como exemplo faz a clássica confrontação entre Aristóteles e Platão, onde o primeiro
destes achava que demonstrações do tipo reductio ad absurdum não constitui uma prova,
pois elas não são causais, elas podem até demonstrar um fato, mas não sua causa e dessa
forma o porquê das coisas não poderia ser demonstrada por esse tipo de argumento.
Platão por exemplo lançava sérias críticas ao construtivismo da linguagem
matemática, de todo modo, a matemática ao que parece é incapaz de lidar com esses
problemas, somente a filosofia. No entanto, é bem difícil ver um problema filosófico que
não tenha sido atacado por mais dispensador ou escolas de pensamento, sendo portanto,
muito difícil de se chegar a um consenso, por isso não é ciência como destacao autor, de
toda forma, desde que haja coerência lógica várias filosofias podem co-existirem mesmo
que incompatíveis, com isso se justifica o uso de filosofias da matemática no plural, pois
são justamente elas que se confrontarão no decorrer da leitura dessa obra a fim de nos
elucidar, de nos esclarecer, trazer compreensão e aqui vale dizer que o autor trata a
compreensão como uma crença justificada.
(D.A p.15)
Mas, se esperamos que problemas científicos sejam resolvidos de modo consensual, isso
quase nunca acontece em filosofia. Não há problema filosófico que não tenha recebido
muitas respostas entre si incompatíveis. Para piorar a situação, nem sempre todos os
filósofos estão de acordo sobre os problemas que têm interesse filosófico, além de
raramente aceitarem os mesmos métodos para abordar aqueles que compartilham. A causa
dessa situação, em parte pelo menos, é que não há em filosofia um tribunal supremo de
decisão, como o teste empírico no caso das ciências naturais - a não ser, claro, a coerência
lógica. Várias teorias filosóficas em si consistentes - e boas mas entre si incompatíveis,
podem coexistir. Por isso a filosofia não é uma ciência. Mas isso não quer dizer que ela não
seja útil e mesmo imprescindível. A filosofia talvez não nos forneça conhecimento, se por
isso entendemos a crença verdadeira e justificada, mas ela pode nos oferecer compreensão,
se por isso entendemos a crença justificada, mas a veracidade não pode ser avaliada.
(C.P)
De tal forma como descrito acima, é também de se esperar que em filosofia da matemática
os pensadores não entrem em consenso, quem dirá nós estudantes, e isso justifica o termo
filosofias da matemática no plural, o percurso histórico será o dessas filosofias que se
contrapõe e co-existem, isso para que no decorrer do seu desenvolvimento, nas suas
contraposições possamos por meio da história converter o que pudermos em aprendizagem.
E já que a filosofia tem o importante papel de esclarecer, é de se esperar que a filosofia da
matemática esclareça e nos elucide acerca do que ela se propõe, embora haja discordância
em tantos outros pontos que jamais possamos dissolver em prol de uma ou outra narrativa
já que os problemas são de natureza tal.
“Em muitos casos uma teoria filosófica pode também ser um programa de trabalho”p.15
Por exemplo:Alguns filósofos nominalistas acreditam que a referência a entidades
matemáticas podem ser eliminadas das teorias físicas. Se essa tese for verdadeira, isso
implica em eliminar concomitantemente as possibilidades de existirem de fatos os entes
matemáticos.
Um outro exemplo: A teoria formalista de Hilbert, apesar de não possível de ser levado em
diante tal como foi concebida, no entanto, elucidou alguns pontos acerca da matemática e
das teorias científicas.
(D.A p.16)
Creio que o teste crucial para uma teoria filosófica é o papel articulador e coordenador que
desempenha no contexto global do conhecimento e das práticas humanas e o poder de
esclarecimento dos conceitos e idéias que manipula. A metafísica de Schopenhauer, por
exemplo, em que o teatro trágico do mundo é dirigido dos bastidores por uma Vontade
cega, apesar de irremediavelmente imune ao teste da experiência, é uma teoria fascinante
precisamente à medida que fornece uma perspectiva a partir da qual é possível entrelaçar
domínios aparentemente tão díspares como a estética, a psicologia e a biologia, entre
outros. A teoria de Frege sobre a natureza dos números, que como veremos foi tão
falsificada como uma teoria pode ser, nos moldes em que foi proposta, mesmo assim
esclarece de modo tão cogente a íntima relação entre lógica e aritmética que, apesar do seu
fracasso, não falta quem a queira ressuscitar em forma corrigida e atualizada. Além disso, a
filosofia de Frege gerou como subproduto a lógica matemática moderna, o que não é pouca
coisa.
A filosofia, além de interessante, é inevitável. M esm o que alguns filósofos, como
Wittgenstein, tenham querido relegá-la à condição subalterna de uma espécie de exorcismo
para os enfeitiçamentos da linguagem (Wittgenstein acreditava que todo pretenso problema
filosófico era apenas o resultado indesejável do uso incorreto da linguagem, a ser
dissolvido, antes que resolvido, por cuidadosa análise lingüística) e os positivistas lógicos
tenham procurado infatigavelmente desterrar questões metafísicas para o limbo das
perguntas sem sentido, o retorno do reprimido é irrefreável. Os problemas filosóficos
simplesmente recusam -se a, graciosamente, se retirar de cena; o seu fascínio sobre nós é
inextinguível. (A propósito, tanto Wittgenstein quanto os positivistas lógicos foram
contestados, ainda no auge da influência de suas idéias, por pensadores que, como Karl
Popper, insistiram na existência real de problem as filosóficos.)
(C.P)
Talvez fique mais claro ainda, a respeito da importância de uma filosofia da matemática, o
fato de que ao fazermos a disciplina de cálculo 1 por exemplo e nos depararmos com
centenas de axiomas o tempo todo, isso não seja em si o mesmo que dizer de fato o que
seja um axioma, como já mencionado, a própria prática matemática possui limites e
somente uma reflexão em torno desta nos elucida, esclarece melhor a respeito dos seus
objetos e conceitos. “Não há um teorema matemático que nos diga o que é um
teorema”p.18
Pensemos agora a cerca dos axiomas da teoria de conjuntos e tratemos dos números reais
especificamente, quantos números reais existem? infinitos? Ao meu ver foi muito mais por
conta da filosofia da matemática que desenvolvemos o infinito como um conceito, cuja a
teoria de conjunto foi fundamental para isso, uma vez que podemos definir conjunto dentro
de conjuntos e assim sempre obtermos um conjunto tão grande queiramos ou pequeno o
quanto se deseje, ampliando o conceito de infinito para algo muito grande e algo tão
pequeno que se queira, um infinitesimal, isso nos permitiu elaborar uma nova matemática
que permitiu avançar em novas ciências, mas o que fez essa série de desenvolvimentos
acontecerem foi antes de tudo uma filosofia por de trás do quê propriamente dito a
matemática.
“Não há um infinito apenas, mas uma multiplicidade de infinitos maior que qualquer
quantidade infinita. Há uma totalidade absolutamente infinita portanto, maior que qualquer
infinito matematicamente mensurável - de infinitos matematicamente mensuráveis.” (Nota
5, p.18)
(D.A, p.19)
Nós poderíamos, trivialmente, juntar aos axiomas já existentes da teoria dos conjuntos a
resposta à questão que mais nos agrada que seja compatível com o que já sabemos sobre os
conjuntos, por exemplo: a quantidade de números reais é a menor quantidade infinita maior
que a infinidade dos números inteiros positivos (essa é a chamada hipótese do contínuo).
Qual é o problema com essa “solução"? Obviamente, o problema é que ela é
completamente arbitrária. Se um axioma não pode ser escolhido arbitrariamente, então
estamos de volta ao problema filosófico: como escolhê-lo? O que é, afinal, um axioma, e
com quais critérios selecioná-lo? Alguns filósofos torceriam o nariz para essa questão em
particular, mesmo que eles aceitassem a existência de problemas filosóficos reais. Popper é
um deles; ele crê que questões do tipo “o que é isso:...?", onde o espaço vazio pode ser
preenchido por praticamente qualquer coisa, não são boas questões. Isso porque, segundo
ele, essas questões perguntam pela essência de algo, ou pelo significado de uma palavra,
e ele não acata a existência nem de uma coisa nem de outra (mesmo que os diálogos de
Platão estejam cheios de questões desse tipo).
Não parece muito custoso aceitarmos que essências e significados não existam mesmo;
pois, afinal, se existissem , por que têm o péssimo hábito de se esconderem, requerendo
esforços imensos, nunca recompensados, para serem trazidos à luz (experimente buscar a
“essência" de não importa o quê, por exemplo, à maneira de Platão, a virtude, ou a verdade;
ou o “significado verdadeiro" de uma palavra absolutamente banal, por exemplo, “cadeira"
e verá o que quero dizer)? mas você temo direito de discordar, não importa, esse não é um
problema que nos ocupará aqui.
Mais alguns exemplos:
1- Uma definição nos dá um significado do termo, uma classificação do objeto, ou ainda, o
objeto ele mesmo?
2- O que distingue uma definição válida de uma inválida? Aqui acrescento, há tipos
diferentes de definições simultaneamente?
3- Que métodos de demonstrações são adequadas e porquê?
4- Quais relações existem entre uma verdade matemática e a sua demonstrabilidade? (Kurt
Godel 1931*, p.20)
(C.P)
Pensemos então em uma outra disciplina a filosofia da ciência, tal como a filosofia da
matemática os problemas que surgem dela são em torno da prática científica, o que pela
teoria de conjuntos podemos ver como sendo a prática científica incapaz de resolver
problemas de cunho filosófico por conta do seu sistema formal de linguagem precisar de
um sistema de linguagem maior e mais abrangente do que a que ela dispõe para dar uma
resposta filosófica a um problema filosófico e assim, elucidar uma episteme. Por isso,
questões deste tipo não podem ignorar teorias físicas acerca do espaço e do tempo, haja
visto que tais conhecimentos foram acumulados ao longo do tempo e fazem parte de um
universo de discurso tomado pela ciência moderna.
Desta forma, por exemplo, a ética não pode ignorar o acúmulo de conhecimento da
Biologia, sendo que esses problemas que permitiram que a biologia avançasse surgiram de
questões éticas.
Assim como a filosofia da ciência se nutre dos conhecimentos científicos, a filosofia da
matemática deve se nutrir de conhecimento matemático, mas não somente, esquecer o
papel didático que a história nos oferece é deletério aos propósitos desta obra ao que me
parece, explico melhor, a história da matemática é didática em si mesma, um percurso da
episteme, onde problemas foram abertos, fechados, ou até mesmo ainda estão em aberto,
mas que ao longo desse percurso eles foram aplicados a uma metodologia que permitiu o
desenvolvimento do conhecimento matemático, e essa forma de resolução nos ensina muito
porque nos indica um caminho já “trilhado” na qual podemos refazer e assim aprender.
Mais que isso, ao refazer estes caminhos podemos olhar para o “lado” e então descobrir um
novo caminho e é assim que nos propomos aqui a olhar por exemplo a obra de Frege.
E assim como o autor desta obra Silva (2007), eu, sujeito cognoscente quem vós escreve
entende a matemática como uma construção humana, passível de mudanças, reviravoltas, e
existem diferentes culturas matemáticas, e em desacordo com o autor por exemplo, acho
que ignorar a filosofia da matemática Afrikkana seja um tanto quanto deselegante, no
entanto, ao que se propõe o estruturalismo isso não parece um problema, para mim o é, já
que a matemática é um produto humano e até onde se sabe os Africanos ainda são seres
humanos, diferente do que pensa Hegel:
“A África propriamente dita, tão longe quanto a história registra,
conservou-se fechada, sem laços com o resto do mundo; é a terra
do ouro, debruçado sobre si mesma, terra da infância que além do
surgimento da história consciente, está envolvida na cor negra da
noite...[...] O que caracteriza os negros, é precisamente o fato de
que sua consciência não tenha ainda chegado à intuição de
nenhuma objetividade firme, como por exemplo Deus, a Lei, onde
o homem se sustentasse na sua vontade, possibilitando assim a
intuição do seu ser... Como já dito, o negro representa o homem
natural, em toda sua selvageria e sua petulância; é preciso fazer
abstração de qualquer respeito e qualquer moralidade, do que se
chama sentimento, se se deseja de fato conhecê-lo; não se pode
encontrar nada nesse caráter que possa lembrar o homem “
(HEGEL,G.H. ibidem, p. 75-76. A mesma descrição encontra-se na La Raison
dans l’ histoire. Paris: Christian Bourgois, 1991, p.245-250.)
voltando a obra do Silva(2007), que é estruturalista, aqui a trataremos da forma como a que
foi feita por ele, embora discorde profundamente, justamente pela matemática ser um
produto humano e não somente a Afrikka, bem como os árabes e os mesopotâmicos, entre
outros povos como os hindus terem feito parte sim da história do pensamento matemático.
(D.A, p.25)
Que a matemática seja um produto cultural, como a ciência, a arte, os sistemas de crença
etc., nos impede de prever com o ela será no futuro, o que talvez sugira ao filósofo
historicamente bem informado que é inútil buscar uma essência imutável da m atem ática, e
que as várias respostas dadas, por filósofos de várias épocas, sobre a natureza da m atem
ática, seus objetos e métodos, devam ser lidas à luz da m atem ática e da cultura à época em
que eles produziram suas filosofias. Ademais, a matemática tem muitas moradas (o que
justifica que seja chamada de matemática, no plural, como o fazem o Inglês e o Francês).
Isso, eu creio, explica o poder esclarecedor que múltiplas e díspares filosofias da
matemática parecem ter. Afinal, é possível que cada uma delas ilumine um recanto
particular desse domínio tão amplo e multiforme, ou então a matemática produzida na
época em que essa filosofia foi gestada.
Por tudo isso, eu procurei aqui, sempre que possível, complementar a discussão filosófica
com alguns dados históricos, buscando projetar uma filosofia contra o pano de fundo da
matemática do seu tempo.
Introdução
(continua...)