Afinal o que é Lógica

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Afinal o que é Lógica? Essa palavra é utilizadacotidianamente, às vezes até de forma demasiada . Mas será que as pessoas sabem o que ela representa? O objetivo é entender isso antes de ver os demais assuntos.
O primeiro registro escrito sobre Lógica é um conjunto de textos de Aristóteles (considerado o pai da Lógica). Suas ideias sobre o assunto tiveram grande aceitação em todo o mundo. Tanto é que durante a Idade Média teve gente usando Aristóteles para explicar a fé cristã.
A Lógica aristotélica usa a linguagem para expressar os juízos que são formulados pelo pensamento. Ela estuda os formatos que um argumento pode tomar para assim sabermos quais desses formatos podem ser considerados plausíveis ou não. Em suma, é um esforço para desvendar qual é a melhor maneira de se elaborar o nosso raciocínio.
Em outras palavras, a Lógica aristotélica tem como objetivo estudar as relações do pensamento com a verdade. Ela vai prenunciar a possibilidade de alcançarmos determinadas conclusões partindo de certas noções a respeito do assunto. Funciona como uma ferramenta para alcançarmos um argumento válido.
De acordo com Aristóteles, para que nosso argumento tenha uma Lógica consistente, precisamos respeitar algumas “paradas” definidas por ele (Aristóteles) incluindo três princípios básicos que são:
O Princípio da Identidade: Declara que uma coisa só é igual a ela mesma. (A=A). Isso quer dizer que você é especial igual a todo mundo! Isto é, só existe um de você. Ainda que você tenha um clone ele será apenas semelhante, mas não igual a você.
Imagina que você “tá de boas” na rua e avista aquela moto dos seus sonhos (a minha é a DucatiPanigale V4) logo atrás vem outra moto do mesmo modelo. Você poderia dizer que elas são iguais certo? Mas, segundo nos postulou Aristóteles, nesse tal princípio da identidade, você estaria errado em afirmar que elas são iguais.
O que ocorre é a semelhança entre as motos, mas não igualdade. Assim, nunca existirá duas coisas exatamente idênticas ao mesmo tempo.
O Princípio da não contradição: Declara que dois enunciados contraditórios não podem ser verdadeiros ao mesmo tempo, isto é, eu não posso surfar e não surfar ao mesmo tempo. (A é A e não -A).
O Princípio do Terceiro Excluído: Declara que toda afirmação ou é verdadeira ou é falsa, e não há um terceiro caso possível. Ou seja, se um vestido é (inteiro) branco ele não pode ser azul. (A é x ou não-x, não há terceira possibilidade).
É assim que Aristóteles conseguiu montar esse sistema de Lógica, simplificando as afirmações de um argumento para atribuir aos enunciados o valor de verdade ou falsidade. Com isso ele deu seguimento ao que chamou de Silogismo, um tipo de argumento lógico que extrai uma conclusão de dois ou mais enunciados, que se supõe verdadeiros.
Veja, então, que a forma básica do Silogismo é composta por no mínimo três termos que, por sua vez, nos proporcionam três proposições distintas: uma premissa maior, uma menor e uma conclusão que deriva dessas premissas. Exemplo:
O raciocínio lógico matemático ou quantitativo é o raciocínio usado para a resolução de alguns problemas e exercícios matemáticos. Esses exercícios são frequentemente usados no âmbito escolar, através de problemas matriciais, geométricos e aritméticos, para que os alunos desenvolvam determinadas aptidões.
Consideramos que, não apenas em Matemática, mas em todas as disciplinas o
raciocínio está presente. Desenvolver o raciocínio lógico é também desenvolver a
autoconfiança, a organização e a concentração. A utilização de jogos de raciocínio lógico
como recurso didático cria situações mais desafiadoras, contextualizadas e motivadoras
que favorecem a autonomia na criança
Consideramos que o raciocínio lógico não é um facilitador na aprendizagemapenas no ensino de Matemática, mas mesmo que esta associação seja feita largamente, ainda vemos nela pontos positivos, pois em todos os componentes curriculares ela teria uma contribuição, como está em destaque em Brasil (1997, p. 15), conforme o texto abaixo:
(...) Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais eprofissionais ganham novos contornos, todas as áreas requerem alguma competência em Matemática e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos é necessária tanto para tirar conclusões e fazer argumentações, quanto para o cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e profissional.
Conforme está registrado nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN
(BRASIL, 1997, p. 30), a contextualização do saber tem como característica fundamental,
o fato de que todo conhecimento envolve uma relação entre sujeito e objeto, ou seja,
quando se trabalha o conhecimento de modo contextualizado a escola está retirando o
aluno da sua condição de expectador passivo.
Quais foram as contribuições de Aristóteles para o desenvolvimento da Lógica?
Aristóteles fundamentou as primeiras noções da Lógica Clássica, baseada na argumentação e na Retórica. Em seus estudos, que buscavam algumas noções metafísicas, como a divisão das categorias do que se fala, ele buscou uma forma de linguagem que fosse formalmente válida e que buscasse argumentos que fossem fundamentados em premissas. Surgiu aí a noção de silogismo.
https://mundoeducacao.uol.com.br/filosofia/aristoteles.htm
Qual a estrutura da lógica formal e a sua relação com a linguagem cotidiana?
A Lógica Formal, também chamada de Lógica Simbólica, preocupa-se, basicamente, com a estrutura do raciocínio. A Lógica Formal lida com a relação entre conceitos e fornece um meio de compor provas de declarações. Na Lógica Formal os conceitos são rigorosamente definidos, e as orações são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas. As letras minúsculas p, q e r, em fonte itálica, são convencionalmente usadas para denotar proposições:
p: 1 + 2 = 3
Esta declaração define que p é 1 + 2 = 3 e que isso é verdadeiro.
http://www.filosofia.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=402&evento=6
O que são deduções e como são elaboradas?
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/logica---deducao-partindo-do-geral-para-chegar-ao-particular.htm
Podemos raciocinar ou argumentar logicamente de três modos diferentes, fazendo uso da dedução, da indução ou da analogia. Vamos examinar aqui o primeiro tipo de raciocínio, que mereceu uma atenção toda especial dos lógicos, desde Aristóteles.https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/logica---deducao-partindo-do-geral-para-chegar-ao-particular.htm?cmpid=copiaecola
A dedução é um tipo de raciocínio que parte de uma proposição geral (referente a todos os elementos de um conjunto) e conclui com uma proposição particular (referente a parte dos elementos de um conjunto), que se apresenta como necessária, ou seja, que deriva logicamente das premissas. Veja dois exemplos:... –
Todo metal é dilatado pelo calor. (Premissa maior) Ora, a prata é um metal. (Premissa menor) Logo, a prata é dilatada pelo calor. (Conclusão)Todo brasileiro é sul-americano. (Premissa maior) Ora, todo paulista é brasileiro. (Premissa menor) Logo, todo paulista é sul-americano. (Conclusão... - Veja mais em https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/logica---deducao-partindo-do-geral-para-chegar-ao-particular.htm?cmpid=copiaecola
Veja mais em https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/logica---deducao-partindo-do-geral-para-chegar-ao-particular.htm?cmpid=copiaecola
Que tipos de provas (demonstrações) matemáticas são aplicadas dentro dos conteúdos
Matemáticos?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) evidenciam que o ensino de Matemática
na Educação Básica deve garantir o desenvolvimento de certas capacidades aos alunos, tais
como: observação, estabelecimento de relações, comunicação (diferentes linguagens),
argumentação, validação de processos e o estímulo às formas de raciocínio como intuição,
indução, dedução, analogia, estimativa, visando o eixo norteador dos PCN: a construção da
cidadania (BRASIL, 1998a, p. 56-57).
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetroscurriculares nacionais:
matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998a. Disponível
em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf>. Acesso em: 21 ago. 2018.
De acordo com Nasser e Tinoco (2003), após o Movimento da Matemática Moderna
houve o abandono do raciocínio dedutivo e das demonstrações nas aulas da Educação Básica. Segundo as autoras, a maioria das escolas adota um modelo de ensino em que o aluno é levado a resolver extensivas listas de exercícios repetitivos, que para ele não têm significado algum, os quais consistem em aplicações diretas de fórmulas ou na repetição de técnicas apresentadas pelo professor. Elas destacam que o aluno não é questionado ou levado a pensar sobre a resposta do problema, ou seja, se de fato ela é plausível e coerente com a pergunta, e constatam que “os jovens não estão habituados a pensar e comunicar suas ideias” (p. 1).
alguns estudos mostram que os alunos explicitam melhor seus argumentos matemáticos quando são colocados em contato com atividades, currículo e docentes preparados para a construção dessa habilidade. Entretanto, como observado por Aguilar Júnior (2012), de modo geral, os professores não estão inclinados ao desenvolvimento de atividades que possibilitem a construção de tal habilidade em sala de aula.
Pietropaolo (2005) também defende o uso de demonstração nos cursos de formação inicial sob uma perspectiva mais ampla. Para ele, as provas não devem ser utilizadas somentepara a compreensão da Matemática, mas também para refletir sobre a “evolução” do pensamento matemático, por meio de uma perspectiva didática, curricular e histórica.
PIETROPAOLO, R. C. (Re) significar a demonstração nos currículos da educação básica
e da formação de professores de Matemática. 2005. 388 f. Tese (Doutorado em Educação
Matemática) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, 2005.
NASSER, L.; TINOCO, L. A. A. Argumentação e provas no ensino de Matemática. 2 ed. Rio de Janeiro: UFRJ/Projeto Fundão, 2003. 109 p.
Caldato, João Argumentação, prova e demonstração: uma investigação sobre as concepções de ingressantes no curso de licenciatura em matemática / João Caldato. -- Rio de Janeiro, 2018. 218 f.
ARGUMENTAÇÃO, PROVA E DEMONSTRAÇÃO:
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE AS CONCEPÇÕES DE
INGRESSANTES NO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997.
A LÓGICA NO COTIDIANO E A LÓGICA NA MATEMÁTICA
Flávia Soares1
PUC – Rio
fsoares.rlk@terra.com.br
Introdução
Em Matemática estamos sempre tentando descobrir coisas novas e querendo
saber se uma afirmação é verdadeira ou falsa. Em muitos casos, a intuição nos mostra a
verdade, mas em outros ela pode nos pregar um peça. Nesses momentos, somos levados
a buscar um recurso mais eficiente que nos permita afirmar com certeza o que
queremos.
A lógica formal surge com Aristóteles. Como indica o termo grego Órganon,
nome dado ao conjunto dos escritos lógicos de Aristóteles, a lógica é um instrumento do
pensamento para pensarmos corretamente. A Lógica não se refere a nenhum ser, a
nenhuma coisa, ou a algum objeto em particular, nem a nenhum conteúdo, mas à forma
do pensamento.
Ainda segundo Aristóteles a Lógica é o que devemos estudar e aprender antes de
iniciar uma investigação filosófica ou científica, pois somente ela pode indicar qual o
tipo de proposição, de raciocínio, de demonstração, de prova, e de definição que uma
determinada ciência deve usar (Chauí, 1994). A Lógica é uma disciplina que fornece as
leis ou as regras ou normas ideais de pensamento e o modo de aplicá-las para
demonstrar a verdade.
A Lógica também estabelece os fundamentos necessários para as demonstrações
pois dada uma certa hipótese, a lógica permite verificar quais são as suas conseqüências;
dada uma certa conclusão, a lógica permite verificar se é verdadeira ou falsa (Chauí,
1994).
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 Mestre em Matemática e doutoranda do Departamento de Educação da PUC – RIO.
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A Lógica no cotidiano e a Lógica no Ensino de Matemática
Freqüentemente usamos expressões “é lógico que sim”, ou “é lógico que vai
chover”, etc. Mas será que é realmente lógico? Em que nos baseamos para fazer tais
afirmações?
Quando usamos essas expressões quase sempre estamos nos referindo a algo que
nos parece evidente ou quando temos uma opinião muito fácil de justificar (Machado,
2000). Fazemos afirmações e suposições de vários tipos e tiramos conclusões sobre os
acontecimentos do dia a dia o tempo todo. A grande maioria delas é baseada em nossa
intuição, em nossa experiência ou através de comparações. Mas nem sempre isso é
suficiente. Para provar alguma coisa, sustentar uma opinião ou defender um ponto de
vista sobre algum assunto, é preciso argumentar. Ou seja, é preciso apresentar
justificativas convincentes e corretas que sejam suficientes para estabelecer, sem deixar
nenhuma dúvida, se uma afirmação é falsa ou verdadeira.
Segundo Aristóteles, a lógica estuda a razão como instrumento da ciência ou
meio de adquirir e possuir a verdade. E o ato próprio da razão é o ato de raciocinar (ou
argumentar). O raciocínio ou argumentação é um tipo de operação do pensamento que
consiste em encadear logicamente idéias para delas tirar uma conclusão. Essa operação
vai de uma idéia a outra passando por um ou vários intermediários e exige o uso de
palavras. Portanto é uma dita uma inferência mediata, isto é, procede por mediação, por
meio de alguma coisa (Chauí, 1994).
 A Matemática necessita da lógica para suas definições, postulados, além de ser
fundamental para julgar se um teorema é verdadeiro ou falso, e a partir disso tirar outras
conclusões, propor outras conjecturas, provar outros teoremas...
Compartilhamos da opinião de Druk (1998) quando a autora afirma que o estudo
da lógica no Ensino Fundamental e Médio não deve ser um ponto localizado em algum
momento específico do currículo escolar, mas antes, uma preocupação metodológica
presente sempre que algum ponto do programa permitir.
Ainda segundo Druk (1998) a Lógica é um tema com conotações
interdisciplinares e que se torna mais rico quando se percebe que ela está presente nas
conversas informais, na leitura de jornais e revistas e em nas diversas disciplinas do
currículo, não sendo portanto um objeto exclusivo da Matemática.
No sistema escolar e na vida em sociedade, um certo domínio da lógica é
necessário ao desenvolvimento da capacidade de distinguir entre um discurso correto e 
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um incorreto, na identificação de falácias, no desenvolvimento da capacidade de
argumentação, compreensão e crítica de argumentações e textos.
Em seu livro Matemática e Língua Materna, Machado (2001), diz ser a
afirmação “A Matemática desenvolve o raciocínio” a frase que, entre outros tantos
mitos que envolvem a Matemática, parece mais solidamente estabelecida no senso
comum. O autor lembra ainda que, historicamente, e em todas as épocas, muitos
filósofos contribuíram para a legitimar uma associação entre Matemática e a Filosofia,
onde o papel da Lógica seria fundamental.
O autor não discute a veracidade da afirmação de que a Matemática desenvolve
raciocínio, mas sim o superdimensionamento ou a exclusividade do papel que a
Matemática teria em tal tarefa, pois que, qualquer assunto poderia apresentar situações
igualmente profícuas nesse sentido.
Mas mesmo estando presente no seu discurso e mesmo que eles acreditem nessa
capacidade da Matemática, a maior parte dos professores muitas vezes não compreende
explicitamente o que isso significa e nem sabe como proporcionar situações para que os
alunos realmente raciocinem bem.
Os livros didáticos por muitos anos excluíram os alunos da construção dos
conteúdos, abandonando o raciocínio dedutivo e as demonstrações, e enfatizando o uso
de algoritmos e fórmulas nem sempre bem compreendidas pelos estudantes.
No ensino da Matemática, pensar por meio de algoritmos,tem uma desvantagem
sobre o pensamento lógico. Os alunos aprendem um enorme quantidade de fórmulas e
em que situações devem aplicá-las. Assim, quando o estudante se depara com uma
situação similar ele pode resolvê-la facilmente, entretanto não pode resolver qualquer
tipo de problema desconhecido, mesmo se ele tem todo o conhecimento para isso.
Problemas em Geometria tem uma característica comum: eles não podem ser resolvidos
com o mesmo padrão. Nesses casos não é suficiente substituir um dado em uma
fórmula, mas sim combinar e aplicar os teoremas conhecidos. Isto é problemático para
os estudantes o que torna o desempenho deles fraco em Geometria mesmo que sejam
bons em outros assuntos da Matemática.
Ensinar lógica freqüentemente pode ser associado com o ensino de conectivos,
tabelas verdade e diagramas de Venn. Sendo assim, voltamos a ensinar mais uma vez
algoritmos e fórmulas. Estes algoritmos têm praticamente nenhuma aplicação no ensino
da Matemática no Ensino Fundamental e Médio, o que faz com que as escolas não
ensinem Lógica alguma. Acreditamos que deve-se ensinar lógica de uma forma 
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diferente, ajudando os alunos a perceber a existência de uma estrutura lógica do
pensamento matemático melhorando sua capacidade de resolver problemas. Aliado a
essas questões enfatizamos que é necessário ainda entender que, muito embora na
linguagem matemática as frases sejam construídas da mesma maneira que na linguagem
do cotidiano, as regras de entendimento, isto é, a Lógica pode diferir nos dois casos
(Malta, 2002)
Dessa forma algumas dessas atividades que acreditamos serem úteis para um
primeiro contato com a Lógica matemática são as atividades que envolvem a
argumentação lógica no cotidiano, enigmas lógicos e atividades lúdicas envolvendo o
raciocínio lógico (matemático ou não)
A Lógica é freqüentemente deixada de fora do ensino de matemática. Este fato
tem efeitos no entendimento da Matemática e em outras linguagens. Este minicurso
aponta para alguns tipos de atividades que podem ser realizadas para que a Lógica passe
a fazer parte do currículo de Matemática. Os principais tópicos abordados serão os
seguintes:
• Informações gerais sobre a História da lógica;
• O que é Lógica e qual a sua importância para o ensino e aprendizagem da
Matemática;
• Tipos de argumentos (argumentos válidos, inválidos, sofismas, estrutura de um
argumento, silogismos);
• Lógica simbólica (uso dos conectivos e e ou);
• Proposições do tipo “Se A então B” e sua importância nas demonstrações de
teoremas (reconhecimento de tese e hipótese, negação, recíproca)
• Exemplos mais comuns de demonstrações em Matemática (demonstração direta e
demonstrações por absurdo)
• Exercícios de Lógica envolvendo situações matemáticas e exemplos do cotidiano
(atividades recreativas envolvendo lógica, enigmas lógicos, exercícios de vestibulares
recentes e concursos);
• Sugestões de leitura para aprofundamento.
A maior parte das atividades foi retirada de Barros (2001, 2003); Silva (2000) e
Machado (2000); exames de Vestibulares e concursos públicos.
Palavras-chave: Lógica, Argumentação, Linguagem. 
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BIBLIOGRAFIA
BARROS, Dimas Monteiro de. Raciocínio lógico, matemático e quantitativo. São
Paulo: Novas Conquistas São Paulo, 2001. (Série Concursos Públicos).
BARROS, Dimas Monteiro de. Enigmas, Desafios, Paradoxos e outros divertimentos
matemáticos. Araçatuba: Novas Conquistas São Paulo, 2003.
CHAUÍ, Marilena. Introdução à história da filosofia: dos pré-socráticos a
Aristóteles, volume I. São Paulo: Brasiliense, 1994.
DRUK, Iole de Freitas. A linguagem Lógica. Revista do Professor de Matemática, 17,
p. 10 – 18, 1998.
MACHADO, Nílson José. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção
Vivendo a Matemática)
MACHADO, Nílson José. Matemática e Língua Materna. 5.ed. São Paulo, Cortez,
2001.
MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio; LOPES, Hélio. Cálculo a uma Variável – volume 1 –
Uma Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: Ed. PUC – Rio; São Paulo: Loyola,
2002.
SILVA, Josimar José da; LOPES, Luís. É divertido resolver problemas. Rio de
Janeiro: J. Silva, 2000.
Tarefa 2: Elaboração de conteúdo
Relações métricas no triângulo retângulo
319MINSMTNÉRIENSINO FUNDAMENTALUNIDADES TEMÁTICAS OBJETOS DE CONHECIMENTO HABILIDADES GeometriaRelações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstraçãoRetas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos