Teoria_Estruturas_II_Aula3

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

1
Teoria de Estruturas II
Prof. Marcelo Lopes Martins Borges
08/fevereiro/2015
Centro Universitário do Leste de Minas Gerais
UNILESTE
2
3 – Métodos das forças
   método da força unitária
Coeficientes de flexibilidade (ou deslocamentos)  obtido pelo 
método da força unitária  obtido pelo teorema das forças 
virtuais  obtido pelo teorema dos deslocamentos virtuais.
3
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Se aplica à análise de estruturas em forma geral e é também 
 conhecido como princípio dos deslocamentos virtuais.
Por deslocamento virtual entende-se um deslocamento hipotético infinitesimal de um ponto ou sistema de pontos materiais. 
O deslocamento é suposto infinitesimal de modo a não alterar a configuração estática e geométrica do sistema e das forças que nele agem, não violando as condições de equilíbrio a que tais forças obedecem. 
4
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Jean d’Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e trabalho virtual, estudando o seguinte caso:
5
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Seja um ponto material m em equilíbrio, isto é, submetido a um conjunto de forças Pi tais que a sua resultante R é nula, conforme figura anterior. 
Imagine seja dado a este ponto um deslocamento  sem a introdução de nenhuma força no sistema, isto é, mantendo-se R = 0. 
Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois para haver deslocamento real do ponto, seria necessária a introdução de uma nova força ao sistema que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. A este deslocamento dá-se o nome de deslocamento virtual.
6
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças Pi (forças reais) que atuam sobre o ponto m quando ele sofre deslocamento virtual  : 	
Princípio de d’Alembert: “Para um ponto material em equilíbrio (R = 0 ), o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é nulo”.
7
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Seja a estrutura da FIG. 1 submetida ao carregamento indicado. 
Em se tratando de um corpo elástico, ela se deformará devido às 
cargas, adquirindo a configuração esquematizada em pontilhado.
Duas seções distantes de ds
terão deformações relativas
devido aos esforços simples
M, N e Q.
8
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Deformações denominadas: d (rotação relativa de duas seções 
devido a M); Δds (deslocamento axial relativo de duas seções 
devido a N); dh (deslocamento relativo de duas seções devido a 
Q).
9
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Suponha que se queira calcular o deslocamento do ponto m na 
direção Δ, ao qual chamará  .
Seja a FIG. 2, onde a configuração 
da estrutura após a aplicação 
da carga P=1 é a indicada em traço
cheio e que coincide com o 
eixo da estrutura da FIG. 1.
10
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Dando-se a todos os pontos da estrutura os deslocamentos 
virtuais exatamente iguais aos provocados pelo carregamento 
indicado na FIG. 1, esta assumirá a configuração deformada 
(virtual) indicada em pontilhado.
Aplicando à estrutura da FIG. 2 o teorema de trabalhos virtuais 
aplicado aos corpos elásticos, que diz ser o trabalho virtual das 
forças externas igual ao trabalho virtual das forças internas, tem-
se:
11
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
Trabalho virtual das forças externas (cargas e reações):
Trabalho virtual das forças internas (Wint):
12
3 – Métodos das forças
  Teorema dos Deslocamentos Virtuais
No caso mais geral (estruturas no espaço), deve-se acrescentar o 
momento de torção:
							 Sussekind, vol. 2
13
3 – Métodos das forças
   Teorema das Forças Virtuais
O Teorema das Forças Virtuais é apenas uma forma alternativa 
de se escrever o Teorema dos Deslocamentos Virtuais.
14
3 – Métodos das forças
   método da força unitária
Essencial para o desenvolvimento do Método das Forças, refere-
se às seguintes ações atuantes sobre a estrutura: 
forças externas;
temperatura;
deslocamento prescrito (recalques de apoio);
apoio elástico.
15
3 – Métodos das forças
   método da força unitária
Efeito de forças externas
Objetiva determinar o deslocamento, em determinada direção, 
de um ponto qualquer de uma estrutura em barras sob ações 
quaisquer. 
Para isso, na mesma estrutura, considera-se como novo caso de 
carregamento uma força virtual unitária no ponto e direção do 
deslocamento desejado. 
16
3 – Métodos das forças
   método da força unitária
Exemplo: pórtico plano
17
3 – Métodos das forças
   método da força unitária
A partir do Teorema das Forças Virtuais expresso pela equação abaixo:
Escreve-se a equação do Método da Força Unitária:
18
3 – Métodos das forças
   método da força unitária
onde: 
Nu , Mu , Vu e Tu representam os esforços seccionais na estrutura com a força unitária; 
N , M , V e T representam os esforços seccionais na estrutura 
com o carregamento original; 
a integral é ao longo do comprimento de todas as barras da 
estrutura.
19
3 – Métodos das forças
   método da força unitária
A equação anterior (método da força unitária) expressa o 
método da força unitária ou método de Maxwell-Mohr, em 
homenagem a James Clerk Maxwell e Otto Mohr que o 
desenvolveram em trabalhos independentes em 1864 e 1874, 
respectivamente.
Para determinar uma rotação, em lugar de um deslocamento 
linear, aplica-se um “momento virtual unitário adimensional” no 
ponto e direção da rotação desejada.
20
3 – Métodos das forças
   método da força unitária
Como as forças virtuais são independentes das condições de apoio da 
estrutura, desde que equilibradas, a estrutura em que se deseja calcular 
deslocamentos pode ser hiperestática, e o modelo com a força unitária pode 
ser isostático, obtido pela retirada dos vínculos superabundantes da 
estrutura hiperestática.
O método da força unitária utiliza o: 
teorema de Pasternak;
procedimento de Vereshchagin;
para calcular o coeficiente de flexibilidade (ou deslocamento)  .
Exemplos de aplicação do teorema de Pasternak.
 Soriano