limites - 2015

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Cálculo Diferencial Integral II - Limites - Noção Intuitiva 
Definição de Limite 
Seja f definida num intervalo aberto I, contendo a exceto possivelmente no próprio a . Dizemos que o 
limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, indicando: 
 Lim 
Lxf )(
 se para todo 

(épsolon) >0, existe 

 (delta) >0 
ax
 tal que se 
 ax0
 , então 
 Lxf )(
. 
Obs.: pode ocorrer que a função esteja definida em a e que lim 
)()( afxf 
. 
 
ax
 
Unicidade do limite 
Demonstra-se que o limite de uma função é único (se esse existir), isto é, se: 
Lim 
1)( Lxf 
 e lim 
2)( Lxf 
 , então 
21 LL 
. 
ax
 
ax
 
 
Propriedades dos limites 
Consideremos as funções f(x)=f e g(x)=g de uma mesma variável real x; a um elemento do intervalo 
aberto de números reais I e que f(x) e g(x) sejam definidas no intervalo 
 aI 
. 
Admitamos que Lim 
Lxf )(
 e lim 
Mxf )(
 , sendo L e M números reais 
 
ax
 
ax
 
quaisquer. Seja K uma constante 
 RK 
 e n um número natural não nulo. 
Limite de uma função polinomial 
Como uma das conseqüências das propriedades dos limites acima citadas, demonstra-se que: 
“ O limite de uma função polinomial 
1
1
2
210 ...)(


n
n xaxaxaaxf
 para x tendendo a a, é igual ao 
valor numérico de f(x) para 
nax 
. 
Ou seja: lim 
)()( afxf 
 
 
ax
 
Limites sujeitos a determinações 
Quando calculamos o limite de uma função e obtemos 
0
0
, isto significa que estamos diante de uma 
indeterminação. 
Exemplos: 
a) lim 
1
12


x
x
 b) lim 
3
962


x
xx
 
 
1x
 
3x
 
Nos exemplos acima as expressões se anulam para os valores x = 1 e x = 3 , respectivamente. 
Atividades: 
1. Calcule os seguintes limites: 
a) 
 253 2
2
lim 

xx
x
 b) 
34
322
1
lim 

 x
xx
x
 
c) 22
1 23
12
lim 







 x
xx
x
 d) 
3
2
23
2 34
232
lim


 xx
xxx
x
 
 
2. Calcule os seguintes limites: 
a) 
 574 2
1
lim 

xx
x
 b) 
 342 23
1
lim 

xxx
x
 c) 
56
23
2
2
lim


 xx
x
x
 
d) 
12
453 2
1
lim 

 x
xx
x
 e) 
x
xx
x 35
322
3
lim 


 f) 3
2
2
2 43
523
lim 







 xx
xx
x
 
g) 2
2
23
4 292
523
lim 







 xx
xxx
x
 h) 
45
432 2
1
lim 

 x
xx
x
 i
3
23
2 34
253
lim 

 x
xxx
x
 
4. Calcule os limites: 
a) 
1
12
1
lim 

 x
x
x
 b) 
x
x
x 

 2
4 2
2
lim
 c) 
32
94 2
2
3
lim 


x
x
x
 
d) 
6
34
2
2
3
lim


 xx
xx
x
 e) 
252
352
2
2
2
1
lim



xx
xx
x
 f) 
1252
3116
2
2
2
3
lim



xx
xx
x
 
g) 
1
1
2
3
1
lim


 x
x
x
 h) 
2
3
2 4
8
lim
x
x
x 


 i) 
3
4
2 8
16
lim
x
x
x 


 
 
 
c) 
32
94 2
2
3
lim 


x
x
x
 
i) 
3
4
2 8
16
lim
x
x
x 

