problemas1

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Mecânica Física 
Série de Problemas – 1ª Parte Sem. Inverno 2005/06 
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1 A aceleração de um ponto material que se move num plano é, num dado referencial S[OXY] 
)SI(ĵa 2−= . Sabendo que a velocidade e a posição da partícula no instante t=0 s são, )SI(ĵîv o += e 
0=or respectivamente. Determine: 
1.1 os vectores posição e velocidade em qualquer instante;. 
1.2 a aceleração normal e a aceleração tangencial em qualquer instante; 
1.3 o instante em que a aceleração tangencial se anula e o raio de curvatura da trajectória nesse mesmo 
instante; 
1.4 os troços da trajectória em que o movimento é acelerado e aqueles em que é retardado. 
(6-1-04) 
 
 
2 As equações paramétricas do movimento de uma partícula num plano OXY entre os 
instantes t = 0 s e t = 2 s são: 
x = t 
y = sen (πt) (SI) 
 
Determine: 
2.1 A velocidade e a aceleração da partícula em qualquer instante deste movimento e a 
equação da trajectória. 
2.2 A aceleração normal e o raio de curvatura no instante t = 0,5 s. 
2.3 Os instantes em que o movimento é acelerado e aqueles em que é retardado. 
(4-11-04) 
 
 
 
3 Uma partícula tem movimento plano no refrencial S[OXYZ] que se inicia em Po(0,2; -5; 0) 
m. A componente da velocidade segundo xx é constante e igual a 0,2 ms-1. Sabendo que a 
equação da trajectória é 
x
y 1−= (SI), responda às seguintes questões: 
3.1 Determine as equações finitas do movimento e verifique que tipo de aceleramento tem o 
movimento. 
3.2 Em t = 2 s calcule as componentes intrínsecas da aceleração em módulo, e o raio de curvatura. 
(23-4-04) 
 
 
 
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4 Considere uma partícula a descrever um movimento circular, sendo a velocidade linear 
determinada num referencial S[OXYZ] pela seguinte expressão rv ∧ω= . 
4.1 Caracterize cinematicamente os vectores ω e r e calcule o produto ωv , interpretando o 
resultado. 
4.2 Deduza a partir da expressão dada a aceleração linear, exprimindo as suas componentes 
em função dos vectores fundamentais da trajectória (versores de Frenet).. 
(5-1-05) 
 
5 
5.1 Mostre que para uma partícula com movimento curvílineo o vector velocidade angular tem 
a seguinte expressão: 
2v
av ∧
=ω 
5.2 Considere uma partícula com movimento circular no plano xy com velocidade 
)SI(ĵ)ctcos(bî)ctsen(bv +−= , sendo b e c constantes e t o tempo. 
Determine em função de b e c o vector velocidade angular e o raio da trajectória. 
Caracterize o movimento. 
(4-11-04) 
 
6 Uma partícula descreve uma trajectória circular no plano [OXY] centrada em O(0;0), com 1 
m de raio e velocidade angular k̂)t3( 2−=ω rad/s. No instante t=1s a partícula ocupa a posição 
P(0,5; 0,5 3 ) m. 
6.1 Determine no instante referido os vectores velocidade e aceleração lineares, expressos 
em componentes cartesianas, representando-os na trajectória. 
6.2 Determine os instantes em que o movimento é acelerado e aqueles em que é retardado. 
(2/2/04) 
 
7 Uma partícula descreve um movimento em que o o espaço é medido a partir da origem 
dos tempos. O valor álgebrico da aceleração tangencial é constante e igual a 2 m.s-2 e o valor 
álgebrico da velocidade inicial é 1 m.s-1. 
7.1 Diga, justificando, qual a natureza do movimento e se é acelerado ou retardado. 
7.2 Determine a equações dos valores algébricos da velocidade e espaço. 
7.3 Calcule o raio da trajectória em t=1 s se o módulo da aceleração nesse instante for 
3 m.s-2. 
 
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8 Considere o sistema figurado em que os corpos A e B são 
abandonados do repouso. 
Relacione entre si as velocidades e acelerações dos dois corpos. 
 (28-1-05) 
 
 
9 No sistema da figura o elevador E é elevado através do motor 
M. No instante em que o ponto P se movimenta com velocidade 1m.s-1 
e aceleração 1 m.s-2, quais são as velocidades e acelerações do 
elevador E e da carga C?. 
 (23-4-04) 
 
 
 
 
 
10 A esfera de raio R) rola sem escorregar na superficie 
horizontal. O seu centro de massa C tem velocidade v 
constante. Determine em função dos dados (R, v), a velocidade 
e aceleração dos pontos O e D expressas nas componentes do 
referencial S[OXYZ]. 
(5-1-05) 
 
 
11 Considere o movimento da barra figurada de 
comprimento num plano horizontal sem atrito. 
Num determinado instante a sua configuração e as 
velocidades dos pontos extremos estão representadas na 
figura. Se o módulo da velocidade em B for igual a “b”, 
determine em função de “b e θ” a velocidade angular da 
barra e, ainda, o módulo da velocidade Av . 
(4-11-04) 
 
 
 
A B 
mA=2 mB 
3 m 
y 
v 
C 
O 
x 
D 
E 
M C
Bv
O≡ A x 
y 
B 
θ
Av
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12 Num hemicilindro oco de raio (R), uma barra de comprimento ( ) igual a R, tem movimento sem atrito 
no plano [OXY] vertical, conforme figurado. 
Responda às seguintes questões: 
12.1 Indique as coordenadas do C.I. (centro instantâneo de 
rotação). 
12.2. Determine, vectorialmente, a velocidade em B, em função 
de vA e θ; verifique que em módulo vA=vB. 
(2/2/04) 
 
 
13 A roda de um automóvel de 40 cm de raio está representada 
esquematicamente na figura, movendo-se num troço rectilíneo no 
plano horizontal, com rolamento sem deslizamento. 
13.1 Que significado cinemático é atribuído ao ponto A de contacto 
da roda com a superfície? Justifique. 
13.2 Calcule o espaço percorrido pelo automóvel no intervalo de tempo em que a roda descreve 
meia volta. 
13.3 Se a velocidade angular da roda for constante com o sentido indicado e o valor de 
8 rad.s-1 calcule a velocidade do automóvel e a aceleração dos pontos A e B da roda. 
(23-4-04) 
 
 
 
14. Na figura a placa rectangular tem uma 
velocidade angular de 2 rad.s-1 no sentido dos 
ponteiros do relógio. No instante em que a 
configuração do sistema é a indicada, o ponto 
A tem uma velocidade de vA = 10 m.s-1 
Determine no instante dado: 
14.1 as coordenadas do centro instantâneo de rotação da placa; 
14.2 as velocidades vectoriais dos pontos B, C e O da placa. 
 (4-9-02) 
 
 
 
Av 
R = 
O 
A 
B 
y 
x 
R 
θ 
A x 
y 
z 
O 
v 
ω 
B 
vA 
C 36,87
o A 
X 
Y 
O B 
m5OB
m4OA
=
=
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15 Num plano inclinado, aplica-se a mesma 
força F no deslocamento dos dois corpos de massas 
m e 2m, ligados por um cabo inextensível e de massa 
desprezável, conforme a figura. Sendo o atrito entre 
os corpos e o plano desprezável, determine em qual 
das situações suportará maior tracção o cabo? 
(5-1-05) 
 
 
 
16 No sistema da figura o elevador E é elevado a partir do repouso 
através do motor M que exerce uma força constante de 3 kN no cabo a 
que está ligado. 
16.1 Calcule a aceleração da carga E e a força de tracção no cabo 
que sustenta o contrapeso C. 
16.2 No instante em que o elevador se eleva de 4,82 m, calcule a 
velocidade do elevador e a potência desenvolvida pelo motor (potência 
de entrada), se o seu rendimento for 75% 
mE = 600 kg; mC = 180 kg; 
(23-4-04) 
 
 
17 Considere o sistema figurado em que os corpos A e B são 
abandonados do repouso. O plano inclinado tem 6 m de 
comprimento. Despreze o atrito e as massas dos cabos e roldanas. 
17.1 Relacione entre si as velocidades e acelerações dos dois 
corpos. 
17.2 Calcule a aceleração do corpo B. 
17.3 Calcule a velocidade do corpo A quando o corpo B se deslocou 2m sobre o plano 
inclinado. 
Sugestão: Use o teorema da variação da energia cinética.17.4 Determine a força de tracção no cabo, se a massa do corpo B for 3 kg. 
(28-1-05) 
 
 
A B 
mA=2 mB 
3 m 
F
m 
2m 
I 
F 
m 
2m II 
E 
M C 
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18 Se desprezar a força de resistência do ar, justifique a conservação 
da energia mecânica durante o movimento do pêndulo de comprimento e 
massa m. Baseando-se nessa conservação, mostre que a tensão no fio é 
3mgsenθ . Calcule a velocidade angular do pêndulo quando atinge a posição 
vertical. 
(6-1-04) 
 
 
 
 
19 O pêndulo simples de massa “m” e comprimento “ “ adquire 
movimento no plano vertical em torno do ponto O, quando largado da 
posição horizontal. 
19.1 Estabeleça em função dos parâmetros g, “ “, “θ” e “m” as expressões dos módulos das 
seguintes grandezas: 
- componentes intrínsecas da aceleração; 
- aceleração; 
- força de tracção no fio. 
19.2 Para que valores de θ é máximo o valor de cada uma das grandezas referidas em 
1.1?Justifique. 
(28-1-05) 
 
 
 
20 Uma partícula descreve uma trajectória circular, no sentido horário, no plano xy, centrada 
em O(0;0;0) e de raio R = 20 cm, com aceleração angular constante, tendo partido do repouso. No 
instante t = 1 s a partícula tem a velocidade angular ω = 2 rads-1 e o momento linear tem o módulo 
0,02 kgms-1. 
20.1 Determine o momento de inércia da partícula relativamente ao centro da trajectória e em t=1 
s: 
- o momento angular da partícula relativamente a O; 
- a energia cinética da partícula; 
- o momento das forças actuantes na partícula em relação a O. 
20.2 Se em t=0s a partícula se encontrar no ponto de coordenadas (0,2; 0)m, represente 
esquematicamente em s
4
t π= , sobre a trajectória, os vectores posição, momento linear e 
aceleração, indicando os módulos respectivos. 
(16-2-05) 
θ 
 
m 
 
θ 
m 
O 
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21. Indique dois exemplos de movimentos de uma partícula pontual em que o momento 
angular relativamente a um determinado ponto seja constante. Justifique. 
(4-11-04) 
 
 
 
22 Uma partícula de massa m descreve um movimento circular de raio R. 
22.1 Mostre que neste movimento o momento angular e o momento das forças exteriores em 
relação ao centro O da trajectória são expressos, respectivamente por: 
ω= ILO e α= IM
ext
O 
(I é o momento da partícula em relação a O; ω a velocidade angular e α a aceleração angular) 
22.2 Se o momento das forças exteriores for constante e de módulo b, exprima a velocidade 
angular em função de b, velocidade angular inicial ωo, tempo, m e R. Que valor deveria ter OM 
para que o momento angular fosse um invariante? Classifique o movimento nessas condições. 
(23-4-04) 
 
23 Um corpo de massa m, parte do repouso e realiza um movimento circular de raio R sob a 
acção de uma força F . Sabendo que a componente tangencial desta força é constante e igual a b, 
mostre que: 
 
23.1 O trabalho realizado pela força depois de o corpo realizar n voltas é igual a 2πRnb. 
23.2 A velocidade angular do corpo ao fim de uma volta é 
mR
b4π 
(2/2/04) 
 
 
 
24 Uma partícula de masa m encontra-se num plano [OXY] sob a acção da seguinte força: 
jxiyF ˆˆ += (SI) 
24.1 Mostre que esta força é conservativa e determine a energia potencial que lhe está 
associada sabendo que é nula no ponto O. 
24.2 Suponha que a partícula passa pelo ponto O com uma velocidade de módulo v0. Descreva 
o movimento subsequente da partícula, indicando o modo como vai variar a distância da partícula a 
O, no caso em que esta segue as seguintes trajectórias: 
 
 24.2.1 y = x ; 
 24.2.2 y = -x. 
(16-2-05) 
 
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25 Uma partícula move-se no plano xy de um referencial S[OXYZ], num campo de forças 
conservativo sendo a energia potencial expressa por: 
.)I.S(yx5E 24p = 
25.1 Calcule a variação da energia cinética quando a partícula se desloca do ponto A(1; 0,6) m 
ao ponto B(0; 1) m. 
25.2 Determine a expressão da força que actua a partícula e o momento das forças exteriores 
em relação a O quando passa no ponto A. 
25.3 Calcule o módulo da velocidade da partícula no ponto A(1; 0,6) m, sabendo que a energia 
mecânica é 4 J e a massa da partícula 1 kg. Determine a região da recta x=1, onde é possível o 
movimento. 
(5-1-05) 
26 Um campo de forças com a expressão )N(ĵxyî
2
yF
2
+= é responsável pelo movimento de 
uma partícula de massa 1Kg no plano [OXY]. 
26.1 Mostre que neste sistema a energia mecânica é invariante. 
26.2 Determine a expressão da energia potencial assumindo que é nula no ponto O(0,0) m. 
26.3 Qual a variação da energia cinética sofrida pela partícula quando se move do ponto A(2;2) 
para o ponto B(3;3)m. 
26.4 Se a velocidade da partícula em O for 1s.m)ĵî( −+ determine quais os pontos da recta y= -1 
m em que é possível o movimento. 
(4-11-04) 
 
 
27 O cursor de 3 Kg de massa, ligado à 
mola de constante de rigidez 200 N/m e 
comprimento livre 0,4 m, é libertado a 
partir do repouso da posição P, movendo-
se no plano vertical sem atrito. Mostre que 
as forças que actuam o cursor são 
conservativas e use o princípio da 
conservação da energia mecânica para 
calcular a velocidade do cursor em Q. O 
troço da trajectória de P a R é ¼ de 
circunferência. 
 
0,8 m 
P 
Q 
0,6 m 
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28 Um corpo encontra-se em queda livre na proximidade da 
superfície da Terra. No instante representado no esquema, a 
sua velocidade, para um observador ligado à Terra, é 
( )ĵ sinˆ cos αα −= ivv , sendo v o módulo da velocidade e α a 
latitude. 
Supondo que o movimento de translacção da Terra pode ser 
desprezado e que o movimento de rotação é uniforme: 
28.1 calcule e represente esquematicamente a aceleração de Coriolis e a aceleração de transporte 
do corpo nesse instante; 
28.2 qual é o efeito das grandezas referidas na alínea anterior sobre o movimento deste corpo 
relativamente a um observador ligado à Terra? Justifique 
Nota:nos cálculos que efectuar, considere a distância do corpo a O como igual a RT 
(23-4-04) 
y 
ω 
α 
xO 
RT 
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SOLUÇÕES 
 
1.1) ( )SI ˆ)21(ˆ jtiv −+= ; ( )SI ˆ)sin()(ˆ 2 jtttitr π−+= 
 
1.2) ( )SI )ˆ)21(ˆ(
42
24
2 jtitt
ta −+
+−
−
=τ ; ( )SI )ˆ)21(ˆ(42
24ˆ2 2 jtitt
tjaN −++−
−
−−= 
 
1.3) m 5,0 ; s 5,0 == ρt 
 
1.4) Retardado para [ [ (m) 5,0;0∈x ; acelerado para ] [ (m) ;5,0 +∞∈x 
 
 
2.1) ( )SI ˆ)cos(ˆ jtiv ππ+= ; ( )SI ˆ)sin(2 jta ππ−= ; ) sin( xy π= 
 
2.2) (m) );(ms 2-22 −== πρπNa 
 
2.3) É acelerado entre os instantes: 0,5 s e 1,0 s; 1,5 s e 2,0 s. É retardado entre os instantes: 0 s 
e 0,5 s; 1,0 E 1,5 s. 
 
3.1) ;(SI) 1022,0 3−×+= tx ;(SI) )10(5 -12−+−= ty movimento retardado. 
 
3.2) m19,8;ms 192,0;ms 215,1 -2-2 === ρτ Naa 
 
 
5.2) (SI) (SI); ˆ
2
c
bRkc ==ω 
 
6.1) ( );ms ˆˆ3 -1jiv +−= ( )-2ms ˆˆ3 jia −= 
 
6.2) retardado até s 3=t ; acelerado a partir de s 3=t . 
 
 
7.2) v=2t+1 (SI); s=t2+t (SI) 
 
7.3) ρ=4,02 m 
 
8) ABAB aavv 2 ;2 == 
 
9) 2m/s 5,0 ;m/s 5,0 ==== CECE aavv 
 
10) ˆ );ˆˆ( ; ˆ ; 0
22
i
R
vajivvj
R
vav DDOO =+=== 
 
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11) 
θ
θω
cos
 ; tan bvb A == 
 
12) coordenadas CI. (0,0) ; ( )SI ˆ)
3
cos(ˆ)
3
sin( 




 +−+−= jivv AB
πθπθ13.2) s = 1,257 m 
13.3) )(ms ˆ6,25 );(ms ˆ4,6 );(ms ˆ6,25 ;0 -2-1-2 jaivjav BBAA −==== 
 
14.1) coordenadas CI: (3,0) m 
14.2) )(msˆ8 ˆ4),(ms ˆ6);(ms ˆ4 -1-1-1 ijvjvjv COB +−==−= 
 
15) Caso I: ;
3
FT = Caso II: ;
3
2FT = suporta maior tracção no caso II 
 
16.1) a = 2,41 ms-2; T = 1330 N 
16.2) vE = 4,82 ms-1; P = 38,56 kW 
 
17) aB = 3,27 ms-2; vA = 1,81 ms-1 ; T = 24,51 N 
 
18) 
g2
=ω 
 
19.1) θθθθτ sin3;sin31;sin2;cos
2 mgTgagaga N =+=== 
19.2) aTaN e , são máximos em θ = 0º; τa é máximo em θ = 90º 
 
20.1) -1-122 Nm ˆ004,0 J; 004,0 ;sm kg ˆ004,0 ;m kg 002,0 kMEkLI OCOE −==−== 
20.2) ; 745ms,0 ;s m kg 018,0 m; 2,0 -2-1 === apr 
 
 
21) Movimento rectilíneo e uniforme: momento angular relativamente a qualquer ponto é nulo. 
Movimento circular e uniforme: momento angular relativamente ao centro da trajectória é nulo. 
 
22.2) t
mR
b
O 2+= ωω 
 
24.1) Ep = -xy (SI) 
24.2.1) A partícula afasta-se sempre da origem. 
24.2.2) A partícula afasta-se da origem até atingir uma distância 2
1-J m×= Ovmd (SI); depois 
aproxima-se de O. Vai relaizar um movimento oscilatório em torno de O com amplitude d. 
 
25.1) ∆E = 1,8 J. 
25.2) (Nm) ˆ68,1 (N); ˆ6ˆ2,7 kMjiF O −=−−= 
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25.3) -1ms 098,2=Av ; movimento é possível para [ ]12,1;12,1−∈y 
 
26.2) (SI) 
2
2
P
xyE −= 
26.3) ∆E = 9,5 J. 
26.4) movimento é possível para [ ]2;2−∈x 
 
27) vQ= 1,54 ms-1 
 
28.1) kvaiRa COTtr ˆ cos2 ;ˆ cos
2 αωαω −== 
28.2) Relativamente a um observador na Terra, a aceleração de transporte provoca um desvio 
para Norte e a aceleração de Coriolis um desvio para Oeste.