lista P2 - Patricia Desidere

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LISTA 2 - MAT 011 - maio/2013
(Profa. Patrícia)
PARTE A - EQUAÇÕES DA RETA
1) Seja r a reta determinada pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3,−2, 3).
(a) Obtenha equações de r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica.
(b) Verifique se o ponto P = (−9, 10,−9) pertence a r.
(c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B.
2) Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto (1, 4,−7) e é paralela à reta de
equações paramétricas
x = 200− λ
y =
√
3− 3λ
z = 0 (λ ∈ R)
3) Mostre que as equações
2x− 1
3
=
1− y
2
= z + 1
descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas como equações na
forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor dessa reta.
4) Sejam A = (3, 6,−7), B = (−5, 2, 3) e C = (4,−7,−6).
(a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo.
(b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C.
5) Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta
←→
AB tal que
||
−→
PB || = 3||
−→
PA ||.
PARTE B - EQUAÇÕES DO PLANO
1) Seja pi o plano que contém o ponto A = (3, 7, 1) e é paralelo a
→
u= (1, 1, 1) e
→
v= (1, 1, 0).
(a) Obtenha duas equações vetoriais de pi.
(b) Obtenha equações paramétricas de pi.
(c) Verifique se o ponto (1, 2, 2) pertence a pi.
2
(d) Verifique se o vetor
→
w= (2, 2, 5) é paralelo a pi.
2) Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao
plano
pi :

x = 1 + λ+ 2µ
y = 2λ+ µ
z = −λ
3) Obtenha uma equação geral do plano pi descrito em cada caso:
(a) pi contém o ponto A = (9,−1, 0) e é paralelo aos vetores →u= (0, 1, 0) e →v= (1, 1, 1).
(b) pi contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 0, 1) e C = (2, 1, 2).
4) Verifique se
→
u= (1, 2, 1) e
→
v= (3, 2, 3) são paralelos ao plano
pi : 2x− 3y + 4z − 600 = 0.
5) Obtenha uma equação geral do plano que tem equações paramétricas:
pi :

x = −1 + 2λ− 3µ
y = 1 + λ+ µ
z = λ− µ (λ, µ ∈ R)
6) Obtenha as equações paramétricas do plano
pi : x+ 2y − z − 1 = 0.
PARTE C - INTERSEÇÃO ENTRE RETAS
1) Dados os pontos A = (1, 2, 1) e B = (3, 0,−1), verifique se são concorrentes as retas
←→
AB e
r : (x, y, z) = (3, 0,−1) + λ(1, 1, 1). Se forem, obtenha o ponto de interseção.
2) As equações
(x, y, z) = (0, 0, 0) + tα(1, 2, 4) e (x, y, z) = (1, 0,−2) + t(−1,−1,−1),
t ∈ R, descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja
colisão. Em que instante ela ocorre?
3) Verifique se r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção:
(a) r :

x = −4λ
y = 1 + 8λ
z = 1− 2λ
e s : x− 1 = y − 4 = z.
3
(b) r :
x− 2
2
=
y − 3
3
= z e s : x =
y
3
=
1 + z
2
.
(c) r : (x, y, z) = (3,−1, 2) + λ(−2, 3, 1) e s : (x, y, z) = (9,−10,−1) + λ(4,−6,−2).
4) A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas, respectiva-
mente, em r : (x, y, z) = (−6, 0, 3) + λ(3, 2, 0) e s : (x, y, z) = (0, 0, 3) + λ(3,−2, 0). Sendo
C = (4,−1, 3), determine A e B.
PARTE D - INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
1) Obtenha a interseção da reta r com o plano pi:
(a) r : (x, y, z) = (0, 0, 1) + α(2, 1,−3) e pi : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 1).
(b) r :
x
3
=
y − 1
2
=
z − 3
8
e pi : 2x+ y − z − 6 = 0.
(c) r : (x, y, z) = (2, 3, 1) + α(1,−1, 4) e pi : (x, y, z) = (−4,−6, 2) + λ(2, 1, 3) + µ(3, 3, 2).
(d) r : (x, y, z) = (1, 0, 1) + α(2, 1, 3) e pi : x+ y + z = 20.
PARTE E - INTERSEÇÃO ENTRE DOIS PLANOS
1) Determine a interseção dos planos pi1 e pi2. Quando se tratar de uma reta, descreva-a por
equações paramétricas.
(a) pi1 : x+ 2y + 3z − 1 = 0 e pi2 : x− y + 2z = 0.
(b) pi1 : x+ y + z − 1 = 0 e pi2 : x+ y − z = 0.
(c) pi1 : x+ y + z − 1 = 0 e pi2 : 2x+ 2y + 2z − 1 = 0.
(d) pi1 : x+ y + z − 1 = 0 e pi2 : 3x+ 3y + 3z − 3 = 0.
2) Sendo: pi1 : (x, y, z) = (1, 0, 0)+λ(1, 1, 1)+µ(−1, 0, 2) e pi2 : (x, y, z) = (2, 0,−1)+α(1, 2, 1)+
β(0, 1, 1), mostre que pi1 ∩ pi2 é uma reta e obtenha uma equação vetorial para ela.
PARTE F - POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS
1) Estude a posição relativa entre as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) e s nos casos:
(a) s : (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 1)
(b) s : (x, y, z) = (1, 3, 6) + λ(0, 2, 6)
(c) s :
{
x+ y + z = 6
x− y − z = −4
4
2) Calcule m em cada caso, usando a informação dada sobre as retas
r :
{
x−my + 1 = 0
y − z − 1 = 0
s : x =
y
m
= z
t :
{
x+ y − z = 0
y + z + 1 = 0
(a) r e s são paralelas;
(b) r, s e t são paralelas a um mesmo plano;
(c) r e t são concorrentes;
(d) s e t são coplanares;
(e) r e s são reversas.
PARTE G - POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E PLANO
1) Estude a posição relativa entre r e pi:
(a) r :

x = 1 + λ
y = 1− λ
z = λ
e pi : x+ y − z + 2 = 0.
(b) r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(1,−1, 1) e pi : x+ y − 2 = 0.
(c) r : x− 2y = 3− 2z+ y = 2x− z e pi : (x, y, z) = (1, 4, 0)+λ(1, 1, 1)+µ(2, 1, 0).
2) Calcule m para que r seja paralela a pi:
r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2,m, 1),
pi : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(1, 0, 1).
PARTE H - POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PLANOS
1) Estude a posição relativa entre os planos:
(a) pi1 : 2x− y + z − 1 = 0 e pi2 : 4x− 2y + 2z − 9 = 0
(b) pi1 : x+ 10y − z − 4 = 0 e pi2 : 4x+ 40y − 4z − 16 = 0
(c) pi1 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 3) e
pi2 : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 1, 0).
(d) pi1 é determinado pelos pontos A = (1, 4, 0), B = (2, 2, 1) e C = (0, 1, 1), e pi2 é
determinado pelo ponto P = (1, 1, 1) e pela reta r : x− y = 2x+ z = 1− 3x− y.
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PARTE I - EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Resolva os seguintes exercícios do livro Vetores e Geometria Analítica (Paulo Winterle):
• Capítulo 5 (A Reta) - p.118: 13, 21, 24, 25, 27, 32 e 34.
• Capítulo 6 (O Plano) - p.141: 17, 18, 19, 20, 32, 34, 36, 40, 41, 43, 45 e 46.
• Capítulo 7 (Distâncias) - p.157: 1, 2, 3, 4, 6, 10, 11, 15, 16, 17, 20, 22 e 25.