Seja ax+ by + cz + d = 0 a equação de um plano π que não passa pela origem e corta os três eixos. a) Determine a interseção de π com os eixos...

a) Para encontrar a intersecção do plano π com os eixos, basta substituir os valores de x, y e z por zero na equação do plano. Assim, temos: - Intersecção com o eixo x: ax + d = 0 => x = -d/a - Intersecção com o eixo y: by + d = 0 => y = -d/b - Intersecção com o eixo z: cz + d = 0 => z = -d/c b) Sabendo que os pontos de intersecção do plano π com os eixos são P1 = (p1, 0, 0), P2 = (0, p2, 0) e P3 = (0, 0, p3), podemos substituir esses valores na equação do plano e obter: ap1 + d = 1 bp2 + d = 1 cp3 + d = 1 c) Para encontrar a intersecção do plano 2x + y - z - 3 = 0 com os eixos, basta seguir o mesmo raciocínio do item a) e substituir os valores de x, y e z por zero na equação do plano. Assim, temos: - Intersecção com o eixo x: 2x - 3 = 0 => x = 3/2 - Intersecção com o eixo y: y - 3 = 0 => y = 3 - Intersecção com o eixo z: -z - 3 = 0 => z = -3 d) Para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0) e C = (0, 0, 3), podemos utilizar o produto vetorial. Primeiro, encontramos dois vetores que estão no plano, por exemplo, AB e AC: AB = (-1, 2, 0) AC = (-1, 0, 3) Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores: N = AB x AC = (6, 3, 2) Assim, a equação do plano é dada por: 6x + 3y + 2z + d = 0 Para encontrar o valor de d, basta substituir as coordenadas de um dos pontos do plano, por exemplo, A: 6(1) + 3(0) + 2(0) + d = 0 d = -6 Portanto, a equação do plano que passa pelos pontos A, B e C é: 6x + 3y + 2z - 6 = 0