Integrais_06_Integrais_Trigonometricas_Exs_Resolvidos

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Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
Cálculo de Integrais de potências pares de senos e cossenos. 
Sabe-se que 
{ 𝑠𝑒𝑛
2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = cos 2𝑥
 
Somando e subtraindo membro a membro 
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∴ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
 
E também 
2𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∴ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
 
 
1) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
∫(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 
Resolvendo as integrais 
1
2
∫ 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 + 𝐶 
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 
Mudança de variável: 
𝑢 = 2𝑥 
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫ cos 𝑢 
𝑑𝑢
2
=
1
4
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
4
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 =
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 
Finalizando o exercício 
1) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶 
 
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pnacaratti@hotmail.com 
2) ∫ 𝑠𝑒𝑛23𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1 − cos 6𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
∫(1 − cos 6𝑥)𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ cos 6𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolvendo as integrais 
1
2
∫ 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 + 𝐶 
1
2
∫ cos 6𝑥 𝑑𝑥 
Mudança de variável: 
𝑢 = 6𝑥 
𝑑𝑢 = 6𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
6
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
1
2
∫ cos 6𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫ cos 𝑢 
𝑑𝑢
6
=
1
12
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
12
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
12
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 =
1
12
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 𝐶 
Finalizando o exercício 
2) ∫ 𝑠𝑒𝑛23𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1 − cos 6𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ cos 6𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 −
1
12
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 𝐶 
 
 
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3) ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠2𝑥)2𝑑𝑥
= ∫ (
1 + cos 2𝑥
2
)
2
𝑑𝑥
=
1
4
∫(1 + 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠22𝑥)𝑑𝑥
=
1
4
∫ 𝑑𝑥 +
1
4
∫ 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
4
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 𝑑𝑥 = 
3) ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
∫ 𝑑𝑥 +
1
4
∫ cos 2𝑥 (2𝑑𝑥) +
1
4
∫
1 + cos 4𝑥
2
𝑑𝑥
=
1
4
𝑥 + 𝐶 +
1
4
∫ cos 2𝑥 (2𝑑𝑥) +
1
4
∫
1
2
𝑑𝑥 +
1
4
∫
1
2
cos 4𝑥 𝑑𝑥
=
1
4
𝑥 + 𝐶 +
1
4
∫ cos 2𝑥 (2𝑑𝑥) +
1
8
∫ 𝑑𝑥 +
1
8
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 
3) ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = 
1
4
𝑥 + 𝐶 +
1
4
∫ cos 2𝑥 (2𝑑𝑥) +
1
8
𝑥 + 𝐶 +
1
8
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 
Resolvendo as integrais 
1
4
∫ cos 2𝑥 (2𝑑𝑥) 
Mudança de variável 
𝑢 = 2𝑥 
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 
Substituindo 
1
4
∫ cos 2𝑥 (2𝑑𝑥) =
1
4
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
4
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 =
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 
 
1
8
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑢 = 4𝑥 
𝑑𝑢 = 4𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
4
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
1
8
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 = 
1
8
∫ cos 𝑢 
𝑑𝑢
4
=
1
32
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
32
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 =
1
32
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝐶 
Concluindo o exercício 
3) ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = 
1
4
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
8
𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝐶 
 
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4) ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 
Resolvendo as integrais 
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = 
1
4
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
8
𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝐶 (𝑣𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑜 3). 
 
∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠2𝑥)3𝑑𝑥 = ∫ (
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
)
3
𝑑𝑥 =
1
8
∫(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)3𝑑𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
∫(1 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠22𝑥 + 𝑐𝑜𝑠32𝑥)𝑑𝑥
=
1
8
∫ 𝑑𝑥 +
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 +
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 +
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠32𝑥𝑑𝑥 
Resolvendo as integrais 
1
8
∫ 𝑑𝑥 =
1
8
𝑥 + 𝐶 
 
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 
Mudança de variável: 
𝑢 = 2𝑥 
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 =
3
8
∫ cos 𝑢 
𝑑𝑢
2
=
3
16
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
3
16
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 =
3
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 
 
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 =
3
8
(
1
2
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥) + 𝐶 =
3
16
𝑥 +
3
32
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 
 
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 =
3
8
∫ (
1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥
2
) 𝑑𝑥 =
3
16
∫(1 + cos 4𝑥) 𝑑𝑥
=
3
16
∫ 𝑑𝑥 +
3
16
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 =
3
16
𝑥 + 𝐶 +
3
16
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 
 
Mudança de variável: 
𝑢 = 4𝑥 
𝑑𝑢 = 4𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
4
= 𝑑𝑥 
 
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Substituindo 
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 =
3
16
𝑥 + 𝐶 +
3
16
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 =
3
16
𝑥 + 𝐶 +
3
16
∫ cos 𝑢 
𝑑𝑢
4
 
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 =
3
16
𝑥 + 𝐶 +
3
64
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
3
16
𝑥 + 𝐶 +
3
64
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 = =
3
16
𝑥 +
3
64
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝐶 
 
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠32𝑥𝑑𝑥 =
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
∫(1 − 𝑠𝑒𝑛22𝑥) cos 2𝑥 𝑑𝑥 
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠32𝑥𝑑𝑥 =
1
8
∫(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑥𝑜𝑠 2𝑥)𝑑𝑥 =
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 −
1
8
∫ 𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 
Temos mais duas integrais para resolver 
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ? 
Mudança de variável: 
𝑢 = 2𝑥 
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
∫ cos 𝑢 
𝑑𝑢
2
=
1
16
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
16
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 =
1
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 
 
1
8
∫ 𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =? 
Produto de funções em que um fator é a derivada do outro 
Mudança de variável 
𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 
𝑑𝑡 = cos 2𝑥 (2𝑑𝑥) = 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑡
2
= 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 
1
8
∫ 𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
∫ 𝑡2
𝑑𝑡
2
=
1
16
∫ 𝑡2𝑑𝑡 =
1
16
𝑡3
3
+ 𝐶 =
1
48
𝑠𝑒𝑛32𝑥 + 𝐶 
Assim ficamos com 
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠32𝑥𝑑𝑥 =
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 −
1
8
∫ 𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
= 
1
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 −
1
48
𝑠𝑒𝑛32𝑥 + 𝐶 
 
 
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∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
∫(1 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠22𝑥 + 𝑐𝑜𝑠32𝑥)𝑑𝑥
=
1
8
∫ 𝑑𝑥 +
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 +
3
8
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 +
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠32𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
𝑥 +
3
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
3
16
𝑥 +
3
64
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 +
1
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 −
1
48
𝑠𝑒𝑛32𝑥 + 𝐶 
 
Terminando o exercício (que trabalhão!) 
4) ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 
4) ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
=
1
4
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
8
𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 +
1
8
𝑥 +
3
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
3
16
𝑥 +
3
64
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
+
1
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 −
1
48
𝑠𝑒𝑛32𝑥 + 𝐶 
 
5) ∫ 𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑑𝑥
= ∫
1 − 𝑐𝑜𝑠 4𝑥
2
𝑑𝑥
= ∫
𝑑𝑥
2
− ∫
cos 4𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 −
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolvendo a integral 
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑢 = 4𝑥 
𝑑𝑢 = 4𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
4
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢 
𝑑𝑢
4
=
1
4
∫ cos 𝑢 =
1
4
𝑠𝑒𝑛𝑢 =
1
4
𝑠𝑒𝑛4𝑥 
Terminando o exercício 
5) ∫ 𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑑𝑥 ==
1
2
𝑥 −
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 −
1
2
×
1
4
𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝐶 =
1
2
𝑥 −
1
8
𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝐶 
 
 
 
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6) ∫ 𝑐𝑜𝑠23𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥
2
𝑑𝑥
= ∫
𝑑𝑥
2
+ ∫
𝑐𝑜𝑠6𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑢 = 6𝑥 
𝑑𝑢 = 6𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
6
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢 
𝑑𝑢
6
=
1
6
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
6
𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶 =
1
6
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 𝐶 
Terminando o exercício 
6) ∫ 𝑐𝑜𝑠23𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 +
1
2
×
1
6
𝑠𝑒𝑛6𝑥 + 𝐶
=
1
2
𝑥 +
1
12
𝑠𝑒𝑛6𝑥 + 𝐶 
 
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7) ∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑎𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑠𝑒𝑛2𝑎𝑥)2𝑑𝑥
= ∫ (
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥
2
)
2
𝑑𝑥
= ∫
1 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥 + 𝑐𝑜𝑠22𝑎𝑥
4
𝑑𝑥
=
1
4
(∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑎𝑥𝑑𝑥) 
Resolvendo as integrais 
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
∫ 2𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑢 = 2𝑎𝑥 
𝑑𝑢 = 2𝑎𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
2𝑎
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
∫ 2𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑑𝑢
2𝑎
=
2
2𝑎
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶 =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛 2𝑎𝑥 + 𝐶 
 
 
∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑎𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
(∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑎𝑥𝑑𝑥) 
Resolvendo as integrais 
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑎𝑥𝑑𝑥 
 
Mudança de variável 
𝑢 = 4𝑎𝑥 
𝑑𝑢 = 4𝑎𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑢
4𝑎
= 𝑑𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢
𝑑𝑢
4𝑎
=
1
4𝑎
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =
1
4𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶 =
1
4𝑎
𝑠𝑒𝑛4𝑎𝑥 + 𝐶 
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∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫
1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑎𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
(∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑎𝑥𝑑𝑥) =
1
2
(𝑥 +
1
4𝑎
𝑠𝑒𝑛4𝑎𝑥) + 𝐶 
 
 
Concluindo o exercício 
7) ∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑎𝑥 𝑑𝑥
= ∫(𝑠𝑒𝑛2𝑎𝑥)2𝑑𝑥
= ∫ (
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥
2
)
2
𝑑𝑥
= ∫
1 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥 + 𝑐𝑜𝑠22𝑎𝑥
4
𝑑𝑥
=
1
4
(∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑎𝑥𝑑𝑥)
=
1
4
(𝑥 +
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛 2𝑎𝑥 +
1
2
(𝑥 +
1
4𝑎
𝑠𝑒𝑛4𝑎𝑥)) + 𝐶
=
1
4
𝑥 +
1
4𝑎
𝑠𝑒𝑛2𝑎𝑥 +
1
8
𝑥 +
1
32𝑎
𝑠𝑒𝑛4𝑎𝑥 + 𝐶
=
3
8
𝑥 +
1
4𝑎
𝑠𝑒𝑛2𝑎𝑥 +
1
32𝑎
𝑠𝑒𝑛4𝑎𝑥 + 𝐶