SENAC - noções básicas de estatística_ medidas de posição e dispersão

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TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO
Noções básicas de estatística: medidas de
posição e dispersão
Até o momento, vimos apenas a parte conceitual da estatística. Vimos o que
é a estatística e quais são as suas áreas. Aprendemos como são feitas as coletas
e a exposição de dados e também o que são os modelos estatísticos e suas
representações por fórmulas matemáticas.
Neste material, abordaremos os cálculos matemáticos utilizados na
estatística para medir os dados. Esses cálculos fornecem diversas informações
sobre os dados.
Antes de entendermos os cálculos, é importante salientar que os dados
podem ser apresentados de duas maneiras: agrupados ou não agrupados.
Os dados não agrupados são os valores que aparecem de maneira individual.
Suponhamos, por exemplo, que você vá medir os alunos de uma turma para
verificar a altura de cada um. Os dados obtidos podem ser expostos de forma não
agrupada, como mostra a figura 1.
Altura (em metros) Quantidade
0,96 2
0,98 1
1,00 1
1,05 2
1,09 1
1,10 1
1,11 2
Figura 1 – Altura dos alunos
Os dados agrupados são os valores que são agrupados em classes. Veja na
figura 2 como os dados da altura das crianças podem ser agrupados dessa
maneira.
Altura (em metros) Quantidade
0,96 |– 1,00 3
1,00 |– 1,04 1
1,04 |– 1,08 2
1,08 |– 1,12 4
Figura 2 – Altura dos alunos, em classes
Atenção - Os conteúdos trabalhados nos tópicos a seguir abordarão as
medidas de posição e dispersão somente para dados não agrupados.
Medidas de posição para dados não agrupados
As medidas de posição indicam a localização de dados.
Para que os conceitos das medidas fiquem bem claros, trabalharemos com
eles de forma prática. Partiremos de um caso hipotético para ilustrar as funções
de um auxiliar de recursos humanos.
Imagine a seguinte situação: você é auxiliar de recursos humanos em uma
empresa, e seu chefe pediu que você fizesse o levantamento do salário dos dez
funcionários que trabalham no setor de logística. Você deverá determinar os
valores em salários-mínimos. 
 
Salário de cada funcionário: Arnaldo recebe 2 salários-mínimos; Bernardo recebe 2
salários-mínimos; Carlos recebe 5 salários-mínimos; Daniel recebe 4 salários-
mínimos; Evandro recebe 8 salários-mínimos; Filipe recebe 9 salários-mínimos;
Guilherme recebe 7 salários-mínimos; Horácio recebe 2 salários-mínimos; Ivan
recebe 1 salário-mínimo; e João, 6 salários-mínimos.
De modo organizado, podemos apresentar os dados da seguinte forma:
Funcionário
Valor do salário em
salários-mínimos (Xi)
Arnaldo 2
Bernardo 2
Carlos 5
Daniel 4
Evandro 8
Filipe 9
Guilherme 7
Horácio 2
Ivan 1
João 6
Figura 3 – Salário dos funcionários do setor de logística
Xi é uma variável aleatória que indica os salários dos funcionários do setor de
logística. As observações assumiram os valores 2, 2, 5, 4, 8, 9, 7, 2, 1 e 6 salários-
mínimos.
Rol
O rol é a forma de organizar os dados e de apresentá-los em ordem crescente
ou decrescente.
Funcionário
Valor do salário em
salários-mínimos (Xi)
Ivan 1
Arnaldo 2
Bernardo 2
Horácio 2
Daniel 4
Carlos 5
João 6
Guilherme 7
Evandro 8
Filipe 9
Figura 4 – Salários dos funcionários em ordem crescente
A determinação do rol crescente, na forma de conjunto, fica assim:
X = {1, 2, 2, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A variável Xi assume oito valores.
Logo, pode-se determinar que N = 10 (número de observações).
Moda (Mo)
Moda (Mo) é o dado que mais vezes aparece na amostra. Isso significa que
tem a maior frequência absoluta f (número de repetições) entre as N observações.
Observando a figura 4, pode-se perceber que a moda do conjunto é 2, pois
esse é o valor que mais se repete no conjunto (f = 3) (Arnaldo, Bernardo e
Horácio).
A determinação de Mo = 2 mostra que é maior o número de funcionários que
recebem 2 salários-mínimos.
Se a maior frequência estiver associada a mais de um valor de Xi , então a
distribuição terá mais de uma moda. Ela poderá ser bimodal (dois valores de Xi
apresentam a maior frequência); trimodal (três valores de Xi apresentam a maior
frequência); ou multimodal (vários valores apresentam a maior frequência). Ainda
pode ser amodal, sem moda, sem valores repetidos.
Para observar mais facilmente o dado que mais aparece, devem-se ordenar
os dados em rol.
Média (X̅)
A média é uma medida de tendência central cujo objetivo é determinar uma
possível localização, o espaço do conjunto que deu origem à média.
A média X é representada pelo símbolo X̅, tal que:
x maiúsculo com barra em cima é igual ao somatório de cada X multiplicado pela sua
respectiva frequência, dividido pela população. Na equação, efe i é o número de repetições da
observação, e X i são as observações. Podemos então chamar efe i de frequência absoluta de
X i. N é o total de elementos do rol.
A letra grega sigma (∑) representa um somatório.
Na equação, fi é o número de repetições da observação; e Xi são as
observações. Podemos então chamar fi de frequência absoluta de Xi. N é o total
de observações do rol.
Vamos agora calcular a média do exemplo.
Equação: x maiúsculo com barra em cima é igual a, 1 multiplicado por 1, mais 2 multiplicado
por 3, mais 4 multiplicado por 1, mais 5 multiplicado por 1, mais 6 multiplicado por 1, mais 7
multiplicado por 1, mais 8 multiplicado por 1, mais 9 multiplicado por 1, dividido por 10. x
maiúsculo com barra em cima é igual a 46 dividido por 10. x maiúsculo com barra em cima é
igual a 4,6.
Em média, cada trabalhador recebe 4,6 salários-mínimos.
De acordo com a fundamentação teórica, a média é um fator de localização
do conjunto, fazendo com que 4,6 salários-mínimos sejam, mesmo que
simbolicamente, a melhor representação de salário por trabalhador.
Mediana (Md)
Mediana (Md) é a medida que ocupa a posição central do rol. Ela divide o
conjunto original em dois conjuntos de mesmo tamanho. Geram-se dois
subconjuntos de mesmo número de observações, ou seja, 50% dos dados são
superiores à mediana, e 50% são inferiores.
Para calcular a mediana, devemos seguir estes passos:
1.º Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente.
2.º Encontrar a posição central da amostra por meio da equação (n + 1) / 2.
Funcionário
Valor do salário em
salários-mínimos (Xi)
Posição
Ivan 1 1º
Arnaldo 2 2º
Bernardo 2 3º
Horácio 2 4º
Daniel 4 5º
Carlos 5 6º
João 6 7º
Guilherme 7 8º
Evandro 8 9º
Filipe 9 10º
Figura 5 – Posição dos funcionários por salário
No nosso exemplo, as dez observações já estão em ordem crescente.
Para encontrarmos a posição central, devemos usar esta equação:
Posição é igual a, abre parênteses, 10 mais 1, fecha parênteses, dividido por 2. Posição é igual
a 5,5.
A posição 5,5 está entre a 5.ª e a 6.ª posições. Portanto, calcula-se a média
entre os valores que ocupam essas posições, desta maneira:
4 mais 5 dividido por 2 é igual a 4,5 salários-mínimos.
Desses dados, 50% são inferiores a 4,5 (1, 2, 2, 2, 4); e 50% são superiores a
4,5 (5, 6, 7, 8, 9).
Medidas de dispersão de dados não agrupados:
variância (var) e desvio-padrão (dp)
Na estatística, há ferramentas que permitem conferir se os valores de um
conjunto de dados estão espalhados ou mais agrupados, bem como averiguar a
distância entre esses valores. Tais ferramentas são conhecidas como medidas de
dispersão, sendo as principais a variância e o desvio-padrão.
E o que cada uma delas representa?
Variância (var)
Variância (var) é uma medida de dispersão que resulta da média dos
quadrados dos desvios. Os desvios (di) são as distâncias entre a média do
conjunto e os valores das observações.
As expressões para calcular as variâncias populacionais são estas:
variância é igual sigma, abre parênteses, d i, fecha parênteses, ao quadrado, dividido por total
de observações.
d i é igual ao valor de x i menos x com barra em cima.
Quando se quer calcular a variância a partir de uma amostra, é necessário
substituir N por (n - 1), em que n é igual ao tamanho da amostra utilizada.
A variável aleatória Xi determina o número salários-mínimos por trabalhador.Dez trabalhadores foram consultados, e as observações assumiram os valores 1,
2, 2, 2, 4, 5, 6, 7, 8, e 9 salários-mínimos.
Sabendo que a média X̅ = 4,6, podemos calcular os desvios, pois estes são
resultado de Xi menos a média dos dados.
Vamos agora calcular o quadrado dos desvios:
Agora, podemos calcular a variância:
variância é igual a 12,96 mais 6,76 mais 6,76 mais 6,76 mais 0,36 mais 0,16 mais 1,96 mais
5,76 mais 5,76 mais 11,56 mais 19,36, dividido por 10. Variância é igual a 7,24.
Quanto menor for a variância, mais próximos os valores estarão da média; e
quanto maior ela for, mais os valores estarão distantes da média.
Desvio-padrão (dp)
O desvio-padrão é representado pelas letras dp. O dp é a raiz quadrada da
variância.
Como os valores originais não são quadráticos, é preciso retirar a raiz
quadrada da variância como fator de correção. O desvio-padrão tem a mesma
unidade de medida da variável de estudo.
Temos, então:
O valor que define um desvio-padrão para mais ou para menos em torno da
média (dispersão) é 2,69 salários-mínimos por trabalhador. Como esse número
representa uma expectativa de variabilidade em torno da média, então sua
interpretação pode assumir valores decimais.
O número médio de salários-mínimos por trabalhador entre os dez
consultados é de 4,6 salários-mínimos, com 2,69 salários-mínimos para mais ou
para menos.
Quanto menor for o desvio-padrão, mais os valores da variável se
aproximarão de sua média, ou seja, os dados estarão mais agrupados.
Quanto maior for o desvio-padrão, mais significativa será a heterogeneidade
entre os elementos de um conjunto, ou seja, os dados estarão mais espalhados ou
dispersos.
No nosso caso, quanto menor for o desvio-padrão, mais homogêneos serão
os salários dos funcionários, ou seja, os funcionários receberão salários mais
parecidos. E, quanto maior for o desvio-padrão, maior será a diferença salarial
entre os funcionários da empresa.
Referências bibliográficas
CRESPO, Antônio A. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2002.
IGNÁCIO, Sérgio Aparecido. Importância da estatística para o processo de
conhecimento e tomada de decisão. Nota Técnica Ipardes, Curitiba, n. 6, out. 2010.
15 p.
TAVARES, Marcelo. Estatística aplicada à administração. Florianópolis:
Departamento de Ciências da Administração / UFSC; [Brasília]: CAPES: UAB, 2011.
222 p.
WALTER, Maria Inez Machado Telles. Estatística Básica. Brasília: MSD, 2000.
v. 1. 72 p.