Exercício de Cálculo II Centro Universitário de Maringá - Considerando que x,y seja a densidade de massa medida em unidade de área

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Considerando que seja a densidade de massa medida em unidades de massa porδ(𝑥, 𝑦)
unidade de área, então a massa total do objeto delimitada por uma região plana pode ser𝐷
calculada por meio da integral dupla da função densidade de massa sobre a região que
define a placa:
𝑀 = ∫
𝐷
∫ δ 𝑥, 𝑦( )𝑑𝐴
O primeiro momento é definido com a relação x é definido como na integral:
𝑀
𝑦
= ∫
𝐷
∫ 𝑥δ 𝑥, 𝑦( )𝑑𝐴
Analogamente, O primeiro momento sobre o plano y é como na integral:
𝑀
𝑥
= ∫
𝐷
∫ 𝑦δ 𝑥, 𝑦( )𝑑𝐴
O centro de massa é encontrado a partir dos primeiros momentos. Assim, a coordenada x
do centro de massa é dada por . E analogamente, a coordenada do centro de𝑥 =
𝑀
𝑦
𝑀 𝑦
massa é dada por . Sabendo disso, considere uma lâmina quadrada de densidade𝑦 =
𝑀
𝑥
𝑀
, cujos os lados são unitários e encontre o seu centro deδ 𝑥, 𝑦( ) = (− 𝑥 + 4𝑦) 𝐾𝑔/𝑚2
massa.
Resolução:
Gráfico da Área no plano :(𝑥 𝑚( ); 𝑦 𝑚( ))
Cálculo da Massa:
𝑀 = ∫
𝐷
∫ δ 𝑥, 𝑦( )𝑑𝐴
Definido como base no plano cartesiano os Limites de Integração:
;0 ≤ 𝑥 ≤ 1 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
Aplicando os dados do problema para o cálculo da massa
𝑀 =
0
 1
∫
0
 1
∫ − 𝑥 + 4𝑦( )𝑑𝑦𝑑𝑥
Integrando em função de y, temos:
𝑀 =
0
 1
∫ − 𝑥𝑦 + 4𝑦
2
2( )|01𝑑𝑥
𝑀 =
0
 1
∫ − 𝑥𝑦 + 2𝑦2( )|0
1𝑑𝑥
𝑀 =
0
 1
∫ − 𝑥 × 1 + 2 × 12 − − 𝑥 × 0 + 2 × 02( )( )𝑑𝑥
𝑀 =
0
 1
∫ − 𝑥 + 2( )𝑑𝑥
Integrando em função de x, temos:
𝑀 = − 𝑥
2
2 + 2𝑥( )|01
𝑀 = − 1
2
2 + 2 × 1 − −
02
2 + 2 × 0( )( )
𝑀 = 32 𝑘𝑔
Calculando o momento da massa em relação y:
𝑀
𝑦
=
0
 1
∫
0
 1
∫ 𝑥 − 𝑥 + 4𝑦( )𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑀
𝑦
=
0
 1
∫
0
 1
∫ − 𝑥2 + 4𝑦𝑥( )𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑀
𝑦
=
0
 1
∫ − 𝑥2𝑦 + 4𝑥 𝑦
2
2( )|01𝑑𝑥
𝑀
𝑦
=
0
 1
∫ − 𝑥2 × 1 + 4𝑥 1
2
2 − (− 𝑥
2 × 0 + 4𝑥 0
2
2( )𝑑𝑥
𝑀
𝑦
=
0
 1
∫ − 𝑥2 + 2𝑥( )𝑑𝑥
𝑀
𝑦
= − 𝑥
3
3 +
2𝑥2
2( )|01
𝑀
𝑦
= − 1
3
3 +
2×12
2 − −
03
3 +
2×02
2( )( )
𝑀
𝑦
=− 13 + 1
𝑀
𝑦
= 23 𝐾𝑔. 𝑚
Calculando o momento da massa em relação x:
𝑀
𝑥
=
0
 1
∫
0
 1
∫ 𝑦 − 𝑥 + 4𝑦( )𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑀
𝑥
=
0
 1
∫
0
 1
∫ − 𝑦𝑥 + 4𝑦2( )𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑀
𝑥
=
0
 1
∫ − 𝑥 𝑦
2
2 + 4𝑥
𝑦3
3( )|01𝑑𝑥
𝑀
𝑥
=
0
 1
∫ − 𝑥 × 1
2
2 + 4𝑥
13
3 − − 𝑥
2 × 0
2
2 + 4𝑥
03
3( )( )𝑑𝑥
𝑀
𝑥
=
0
 1
∫ − 𝑥2 + 
4
3( )𝑑𝑥
𝑀
𝑥
= − 𝑥
2
4 +
4𝑥
3( )|01
𝑀
𝑥
= − 1
3
4 +
4×1
3 − −
03
4 +
4×0
3( )( )
𝑀
𝑥
=− 14 +
4
3
𝑀
𝑥
= 1312 𝐾𝑔. 𝑚
Centro de massa eixo :𝑥
𝑥 =
𝑀
𝑦
𝑀 =
2
3
3
2
= 23 ×
2
3 =
4
9 𝑚
Centro de massa eixo :𝑦
𝑦 =
𝑀
𝑥
𝑀 =
13
12
3
2
= 1312 ×
2
3 =
13
18 𝑚
Gráfico do centro de massa: