AD1-ALII-2014-2-aluno

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – A´lgebra Linear II – 2014/2
AVISO: E´ obrigato´rio, nas resoluc¸o˜es de sistemas lineares, reduzir por linhas a` forma em escada a matriz
associada ao sistema.
Questa˜o 1 (1,6 pontos) Seja A ∈ M3(R) com polinoˆmio caracter´ıstico p(λ) = λ2(λ − 1) e
autoespac¸os
E(λ1 = 1) = {(x, y, z) ∈ R
3; x+ y + z = 0 e x− y − 2z = 0}
E(λ2 = 0) = {(x, y, z) ∈ R
3; x− y + 2z = 0}.
a) (1,2 pts) Determine as multiplicidades alge´brica e geome´trica dos autovalores e bases para os
autoespac¸os.
b) (0,4 pt) A e´ diagonaliza´vel? Justifique a sua resposta.
Questa˜o 2 (1,0 ponto) Seja A ∈ M2(R) tal que A
(
2
4
)
=
(
6
12
)
e A
(
2
−1
)
=
(
−2
1
)
.
a) (0,6 pt) Deˆ exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os seus autova-
lores.
b) (0,4 pt) Deˆ exemplos de uma matriz invers´ıvel P que diagonaliza A e sua correspondente matriz
diagonal D semelhante a A.
Questa˜o 3 (3,0 pontos) Seja Seja A =

 1 0 00 3 −2
0 1 0


a) (1,8 pts) Calcule os autovalores e determine bases para seus autoespac¸os.
b) (0,6 pt) Deˆ uma base do R3 formada por autovetores de A, indicando seus autovalores.
c) (0,6 pt) Determine uma matriz invers´ıvel P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP−1.
Questa˜o 4 (2,0 pontos) Diga se a afirmac¸a˜o e´ falsa ou verdadeira, justificando a sua resposta:
a) (1,0 pt) Existe uma matriz A ∈ M4(R) diagonaliza´vel tal que A tem dois autovalores λ1, λ2, sendo
que λ1 tem multiplicidade geome´trica 2 e λ2 tem multiplicidade geome´trica 1.
b) (1,0 pt) Seja A uma matriz quadrada. Se A conte´m uma linha ou coluna nula, enta˜o 0 e´ autovalor
de A.
Questa˜o 5 (2,4 pontos) Em cada item fac¸a o que se pede:
a) (1,4 pts) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, A ∈ Mn(R) tal que A
2 = A. Mostre que se λ
e´ um autovalor de A, enta˜o λ = 0 ou λ = 1.
b) (1,0 pt) Sabendo que o polinoˆmio caracter´ıstico de B ∈ M4(R) e´ p(λ) = (λ + 2)(λ − 3)
3 e que
B na˜o e´ diagonaliza´vel, determine os poss´ıveis valores das multiplicidades geome´tricas de seus
autovalores.