ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - CALCULO VETORIAL - Joao Batista

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CAMPO VETORIAL CONSERVATIVO 
 
 
Na disciplina de cálculo vetorial estudarmos os campos vetoriais conservativos. 
Esse tipo de campo tem uma particularidade, o trabalho realizado por uma 
partícula nesse campo não depende do caminho entre os pontos inicial e final, é 
dizer, o trabalho será o mesmo. Dessa forma, nesta atividade será aplicado os 
conceitos de campo vetorial conservativo, integral de linha e trabalho de uma 
partícula em uma indústria hipotética com o objetivo de produzir mercadorias 
com base em uma determinada matéria-prima. 
 
Em uma hipotética indústria, seu superior lhe apresenta duas propostas de 
campos vetoriais a serem escolhidos: 
 
 
 
A partícula faz uma trajetória apresentada pela curva parametrizada no espaço 
r(t) = cos(t)î + sen(t)ĵ + tk̂. Ela é representada na figura abaixo: 
 
 
 
 
Essa partícula se movimenta a partir do ponto inicial A(1,0,0) até o ponto final B(-
1,0,4π). 
 
 
Vamos escolher o campo vetorial e calcular o trabalho da partícula: 
 
 
 
Campo F1: 
 
 
 
Seja a curva parametrizada r(t) = cos(t)î + sen(t)ĵ + tk̂ , então: 
 
 
 
Derivando a curva: 
 
r(t) = cos(t)î + sen(t)ĵ + tk̂ 
 
r′(t) = −sen(t)î + cos(t)ĵ + k̂ 
 
 
Substituindo na equação do trabalho: 
 
 
 
 
Campo F2: 
 
F2(x,y, z) = xî + 2yĵ + zk̂ 
 
Seja a curva parametrizada r(t) = cos(t)î + sen(t)ĵ + tk̂ , então: 
F2(r(t)) = cos (t)î + 2sen(t)ĵ + tk̂ 
 
 
Derivando a curva: 
 
r(t) = cos(t)î + sen(t)ĵ + tk̂ 
 
r′(t) = −sen(t)î + cos(t)ĵ + k̂ 
 
 
Substituindo na equação do trabalho: 
 
 
 
 
O trabalho da partícula no campo F1 é menor que o trabalho feito no campo F2. 
Portanto, vamos trabalhar com o campo F1 por ter um menor trabalho. 
 
 
SEGUNDA SITUAÇÃO: 
 
A segunda sugestão dada por um colega é mudar a trajetória da partícula 
realizada entre o ponto A e ponto B para conseguir um menor trabalho. No 
enunciado da atividade se está considerando trabalhar em um campo vetorial 
conservativo, o trabalho da partícula nesses campos é independente da trajetória 
da partícula, depende somente do ponto inicial e final. Portanto, usando outra 
trajetória o valor do trabalho não vai mudar. 
Como exemplo, podemos observar na figura abaixo, um campo vetorial 
conservativo onde uma partícula está fazendo diferentes trajetórias entre dois 
pontos fixos A e B. O trabalho dessa partícula será sempre a mesma. 
 
 
 
 
 
 
Referências bibliográficas 
 
 
Curso de Cálculo 3. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO 
DE CIENCIAS EXATAS E DA NATUREZA. Disponível em: 
<http://www.univasf.edu.br/~felipe.wergete/ensino/c3/coutinho.pdf >. Acesso 
em: 30 de abr. de 2022. 
 
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo B: Funções de 
várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 2 ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
 
PINTO, D; MORGADO, M. C. F. Cálculo Diferencial e Integral de Funções de 
Várias Variáveis. 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2008. 
 
	r′(t) = −sen(t)î + cos(t)ĵ + k̂
	r′(t) = −sen(t)î + cos(t)ĵ + k̂