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C U R S O D E E N G E N H A R I A Q U I M I C A APOSTILA DERIVADAS Disciplina: Cálculo I Professor(a): Andréa Lacerda Aluno(a): Data: Turma: Derivadas Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Taxa de Variação Média e Instantânea Exemplos de aplicação: • Um microbiologista pode estar interessado na taxa segundo a qual o número de bactérias em uma colônia varia com o tempo; • Um economista pode estar interessado na taxa segundo a qual o custo de produção varia com a quantidade de produtos manufaturados; • Um pesquisador em medicina pode estar interessado na taxa segundo a qual o raio de uma artéria varia com a concentração de álcool na correntes sanguínea. Definição: Se y = f ( x ) , então a taxa de variação média de y em relação à x no intervalo [x0 ,x] é a inclinação m sec da reta secante ao gráfico de f que passa pelos pontos P= (x0 , f ( x0 )) e Q = (x , f ( x )), isto é: 0 0 sec )()( xx xfxf m (Ver figura abaixo) Equação da reta tangente Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu domínio. Seja y = f (x) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P=( xo , yo) , sendo y o = f( xo) , um ponto fixo e Q(x, y) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg(β ) se aproximará da tg(α ). Usando a notação de limites, é fácil perceber que )()(lim tgtg PQ pois quando Q → P temos que x → xo logo, )( )()( limlim)(lim 00 00 tg xx xfxf xx yy tg o xx o xxPQ Considerando o triângulo retângulo PTQ, assim podemos obter o coeficiente angular da reta s . Poderemos agora definir o coeficiente (m) da reta tangente ao gráfico de f no ponto P como o limite, , )()( lim 0 0 xx xfxf m o xx caso este limite exista. Podemos agora determinar a equação da reta tangente (t), pois já conhecemos o seu coeficiente angular e um ponto do seu gráfico P=( xo , yo). A equação da reta tangente t é: a) ( y − yo) = m ( x − xo) , se o limite que determina (m) existir (conhecida por equação dado um ponto e o coeficiente angular) ; b) A reta vertical o x = xo se 0 )()( lim 0 xx xfxf m o xx for infinito, isto é o90 logo a )(tg não está definida. Equação da reta normal Definição: Seja y = f (x) uma curva e P=( xo , yo) um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n) ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular a reta tangente (t), cujo coeficiente angular é o inverso simétrico da reta t, isto é t n m m 1 . Derivada de uma função num ponto Seja y = f (x) uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f no ponto xo e denota- se f ' (xo) (lê-se f linha de o x ), o limite f ' (xo) = 0 )()( lim 0 xx xfxf o xx , quando este existe. Outra forma de se representar a derivada é dada pelo limite abaixo, onde oxxx f ' (x) = x xfxxf oo x )()( lim 0 Outras notações para a derivada da função y = f (x): )(',, xyfD dx dy x Derivadas laterais Lembre-se que o limite de uma função num ponto somente existe se os limites laterais existem e são iguais. Como a derivada de uma função num ponto é um limite, esta derivada somente existirá em condições análogas. Definição: Seja y = f (x) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à direita de f em xo , denotada por f+'( xo ) é definida por f +'( xo ) = 0 )()( lim 0 xx xfxf o xx . Analogamente se define derivada à esquerda como sendo f −'( xo ) = 0 )()( lim 0 xx xfxf o xx . Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda) existem e são iguais neste ponto. Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto. A equação da reta normal é 0, ) x- x ( m 1- )y -y ( o t o tm Se mt = 0 , então a equação da reta normal é a reta vertical x = xo . Se 0 )()( lim 0 xx xfxf o xx for infinito, então a reta normal é horizontal e tem equação y = yo Derivadas de funções elementares: 1. 0)(')( xfcxf , c IR 2. cxfcxxf )(')( 3. 1)(')0(,)( nn xnxfnxxf 4. e x xfxxf aa log 1 )('log)( * x xfxxf 1 )('ln)( 5. aaxfaaxf xx ln)(')10()( * xxx eeexfexf ln)(')( 6. senxxfxxf )('cos)( 7. xxfsenxxf cos)(')( 8. xxftgxxf 2sec)(')( Regras de derivação: 1. )(')(')()( xcfxhxcfxh 2. )(')(')(')()()( xgxfxhxgxfxh 3. )(')()().(')(')().()( xgxfxgxfxhxgxfxh 4. )( )(').()()(' )(' )( )( )( 2 xg xgxfxgxf xf xg xf xh Derivadas Sucessivas ou de ordem superior Seja f a derivada de uma função f num intervalo aberto I. Se f e derivável em I podemos considerar f a derivada de f em I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I . De modo análogo podemos definir as derivadas terceira, quarta, etc., de f em I. Estas derivadas serão indicadas por uma das notações: df dy f y dx dx - derivada de primeira (ou derivada de primeira ordem). 2 2 (2) 2 2 d f d y f f y dx dx - derivada segunda (ou derivada de segunda ordem). 3 3 (3) 3 3 d f d y f f y dx dx - derivada terceira (ou derivada de terceira ordem). )()( n n n n n n y dx yd dx fd f - derivada de ordem n (ou n - ésima derivada) . Derivada na forma implícita Percebemos que até agora as funções eram expressas na forma y = f (x) e assim calculávamos a derivada y’. Agora estudaremos uma maneira de derivar expressões que não tenham a variável y isolada (explicitada) em um dos membros. São exemplos dessas expressões x2 + y2 = 1, xy2 + log(y) = 4 , etc. Em algumas situações é inconveniente ou até mesmo impossível de explicitar a variável y nessas expressões. O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma expressão desta forma, sem a necessidade de explicitá-la. Uma função na forma y = f (x), onde a variável y aparece isolada no primeiro membro é chamada de função explícita. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas por equações nas quais a variável y não está isolada chamada de função implícita. Por exemplo 2y + x2 y + 1 = x não está na forma explícita y = f (x) está na forma implícita. Mesmo assim, esta equação ainda define y como uma função de x, pois podemos escrevê-la na forma explícita como 2 22 2 1 1-x)xy(2 x 1 y x2y x x y , eassim poderíamos calcular y’. ] Definção: Função implícita é a função definida por uma equação da forma F( x, y) = 0. A derivada dx dy é obtida do seguinte modo: 1. Derivamos F( x, y ) em relação a x, tomando y como função de x; 2. Igualamos dx d F( x, y ) = 0 3. Isolamos dx dy na igualdade anterior. Exemplo: 2y + x2 y + 1 = x Exercícios 1. Aplicando a definição, calcule a derivada da função f(x) = x 2 + x no ponto de abscissa: a) x = 3 b) x = –2 2. Dada a função f(x) = x 2 – 5x + 6. Calcule: a) f ’(1) b) f ’(– 4) 3. Ache a derivada f’(x) das seguintes funções: a) 473)( 2 xxxf b) 234 2510)( xxxxf c) 42 4310)( tttf d) 12)( 23 ssssf e) 127)( 23 xxxxf f) 4 1 2 1 3 2 2 1 )( 234 xxxxf g) xxxf 2)( h) xxxf cos32)( i) xxxxf cossen)( j) f(x) = 3x . sen x k) f(x) = sen x . cos x 4. Calcule a derivada das funções: a) f(x) = cos 6x b) f(x) = sen (3x + 1) c) f(x) = sen 3x – cos 2x d) f(x) = sen 2x + sen 4x
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