Cálculo Diferencial e Integral III Equações Diferenciais Ordinárias

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Teleaula: 03 
 
Título: Equações Diferenciais Ordinárias 
 
Prezado(a) tutor(a), 
 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e 
conteúdos relacionados à Unidade de Ensino: Equações Diferenciais Ordinárias. Oriente 
os alunos seguindo todas as orientações indicadas e estimule-os a tirar as dúvidas que 
surgirem. 
 
Bom trabalho! 
 
 
 
Resolução de exercícios 
 
Questão 1 
A determinação de soluções para as equações diferenciais ordinárias é fundamental 
para a resolução de problemas modelados por esses tipos de equações. 
Em relação a esse tema, para cada um dos itens a seguir, verifique se a função 𝑓 
corresponde à solução da equação diferencial ordinária correspondente: 
a) 2𝑦′ + 𝑦 = 0 e a função 𝑓(𝑥) = 𝑒−
𝑥
2 
b) (𝑦′)3 + 𝑥𝑦′ = 𝑦 e a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) 
c) 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 e a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
Gabarito: 
a) Tomando a função 𝑓 temos que: 
𝑓(𝑥) = 𝑒−
𝑥
2 → 𝑓′(𝑥) = −
1
2
𝑒−
𝑥
2 
Desse modo, substituindo 𝑦 = 𝑓(𝑥) no primeiro membro da EDO obtemos: 
 
 
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2(𝑓′(𝑥)) + 𝑓(𝑥) = 2 (−
1
2
𝑒−
𝑥
2) + 𝑒−
𝑥
2 = −𝑒−
𝑥
2 + 𝑒−
𝑥
2 = 0 
Logo, a função 𝑓 é solução da EDO. 
b) Considerando a função 𝑓 temos que: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = ln(𝑥) + 𝑥 ⋅
1
𝑥
= ln(𝑥) + 1 
Substituindo 𝑦 = 𝑓(𝑥) no primeiro membro da EDO obtemos: 
(𝑓′(𝑥))
3
+ 𝑥(𝑓′(𝑥)) = (ln(𝑥) + 1)3 + 𝑥(ln(𝑥) + 1) = (ln(𝑥) + 1)3 + 𝑥 ln(𝑥) + 𝑥
≠ 1 + 𝑥 ln(𝑥) 
Assim, a função 𝑓 não é solução da EDO. 
c) Considerando a função 𝑓 temos que: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 → 𝑓′(𝑥) = 1 
Assim, substituindo 𝑦 = 𝑓(𝑥) no primeiro membro da EDO obtemos: 
𝑥(𝑓′(𝑥)) − 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 1 − (𝑥 + 1) = 𝑥 − 𝑥 + 1 = 1 ≠ 𝑥 
Portanto, a função 𝑓 não é solução da EDO. 
 
Questão 2 
Um dos procedimentos necessários para a resolução de uma equação diferencial 
ordinária consiste na classificação da equação, visto que a identificação do método de 
resolução adequado envolve a identificação das principais características da equação 
em estudo. 
Em relação a esse tema, classifique as seguintes equações quanto à ordem e à 
linearidade: 
a) 𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = cos(𝑥) 
b) 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑡2𝑧 = 0 
c) 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒𝑥+𝑦𝑦 = 0 
d) 
𝑑4𝑤
𝑑𝑢4
+ 2
𝑑2𝑤
𝑑𝑢2
− 3
𝑑𝑤
𝑑𝑢
= 𝑢 
 
 
 
 
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Gabarito: 
a) A equação diferencial ordinária 𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = cos(𝑥) pode ser classificada 
como linear e de 2ª ordem. 
b) A equação diferencial ordinária 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑡2𝑧 = 0 pode ser classificada como linear e de 
1ª ordem. 
c) A equação diferencial ordinária 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒𝑥+𝑦𝑦 = 0 pode ser classificada como não 
linear e de 3ª ordem. 
d) A equação diferencial ordinária 
𝑑4𝑤
𝑑𝑢4
+ 2
𝑑2𝑤
𝑑𝑢2
− 3
𝑑𝑤
𝑑𝑢
= 𝑢 pode ser classificada como 
linear e de 4ª ordem. 
 
Questão 3 
No estudo das equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, de acordo com as 
características da equação, podemos aplicar diferentes métodos de obtenção da 
solução, dentre os quais podemos destacar o método das equações separáveis, dos 
fatores integrantes e das equações exatas. 
Com base nesse tema, determine a solução geral para cada uma das seguintes equações, 
identificando em cada item o método que pode ser aplicado para esse fim: 
𝑎) 𝑦′ − 2𝑦 = 4 − 𝑡 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
1 − 𝑦2
 
c) 2𝑥 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑦′ = 0 
Gabarito: 
a) A EDO 𝑦′ − 2𝑦 = 4 − 𝑡 pode ser resolvida por meio do método dos fatores 
integrantes. Para esse caso, o fator integrante é dado por 𝜇(𝑡) = 𝑒−2𝑡, pois 𝑃(𝑡) = −2. 
Assim, 
𝑦′𝑒−2𝑡 − 2𝑦𝑒−2𝑡 = (4 − 𝑡)𝑒−2𝑡 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑦𝑒−2𝑡) = 4𝑒−2𝑡 − 𝑡𝑒−2𝑡 
Integrando a equação obtida em relação a 𝑡 obtemos: 
 
 
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𝑦𝑒−2𝑡 = ∫(4𝑒−2𝑡 − 𝑡𝑒−2𝑡) 𝑑𝑡 = −2𝑒−2𝑡 +
1
2
𝑡𝑒−2𝑡 +
1
4
𝑒−2𝑡
= −
7
4
𝑒−2𝑡 +
1
2
𝑡𝑒−2𝑡 + 𝐶 
𝑦 = −
7
4
𝑒−2𝑡 ⋅ 𝑒2𝑡 +
1
2
𝑡𝑒−2𝑡 ⋅ 𝑒2𝑡 + 𝐶 ⋅ 𝑒2𝑡 
Desta forma, a solução da EDO é dada por 
𝑦(𝑡) = −
7
4
+
1
2
𝑡 + 𝐶𝑒2𝑡 
em que 𝐶 ∈ ℝ. 
b) A EDO 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
1−𝑦2
 pode ser resolvida por meio do método das equações separáveis. 
Note que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
1 − 𝑦2
 → (1 − 𝑦2) 𝑑𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑥 
Integrando ambos os membros da última expressão obtida temos 
𝑦 −
1
3
𝑦3 =
1
3
𝑥3 + 𝑘 → 3𝑦 − 𝑦3 = 𝑥3 + 3𝑘 → −𝑥3 + 3𝑦 − 𝑦3 = 𝑐 
Desta forma, a solução da EDO é dada implicitamente por 
−𝑥3 + 3𝑦 − 𝑦3 = 𝑐 
em que 𝑐 ∈ ℝ. 
c) A EDO dada por 2𝑥 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑦′ = 0 pode ser resolvida por meio do método das 
equações exatas. Da equação: 
(2𝑥 + 𝑦2) + (2𝑥𝑦)𝑦′ = 0 
temos 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦2 e 𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦, as quais são contínuas. Nesse caso, observe 
que: 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
o que justifica o emprego do método das equações exatas. 
Assim, teremos que a solução 𝐹 = 𝐹(𝑥, 𝑦) é tal que: 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 𝑦2 e 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 2𝑥𝑦 
Integrando 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 em relação à 𝑥 obtemos: 
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫(2𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥𝑦2 + ℎ(𝑦) 
 
 
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Derivando 𝐹 em relação à 𝑦 e comparando com 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 segue que: 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2 + 𝑥𝑦2 + ℎ(𝑦)) = 2𝑥𝑦 + ℎ′(𝑦) = 2𝑥𝑦 
Sendo ℎ′(𝑦) = 0 então ℎ(𝑦) = 𝐶1. Desta forma, 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦2 + 𝐶1 → 𝐶 = 𝑥
2 + 𝑥𝑦2 + 𝐶1 → 𝑥
2 + 𝑥𝑦2 = 𝐾 
Desta forma, a solução da EDO é dada implicitamente por 
𝑥2 + 𝑥𝑦2 = 𝐾 
em que 𝐾 ∈ ℝ. 
 
Questão 4 
(Adaptado de ZILL, 2016, p.66) Um marca-passo cardíaco corresponde em um circuito 
elétrico no qual estão presentes uma chave, uma bateria de tensão constante 𝐸0, um 
capacitor com capacitância constante 𝐶 e, nesse sistema, o coração do paciente atua 
como um resistor com resistência constante 𝑅. Quando a chave é fechada, o capacitor 
se carrega, e quando a chave é aberta, o capacitor se descarrega, enviando um estímulo 
elétrico para o coração. Durante o tempo em que o coração é estimulado, a tensão 𝐸 
em todo o coração satisfaz a equação diferencial linear 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= −
1
𝑅𝐶
𝐸 
Determine a solução para a equação anterior considerando a condição 𝐸(4) = 𝐸0. 
Gabarito: 
Note que a equação 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= −
1
𝑅𝐶
𝐸 
consiste em uma equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem, visto que 𝑅 e 𝐶 são 
constantes associadas ao circuito elétrico em estudo. Devido às características da 
equação, podemos resolvê-la empregando o método das equações separáveis. Para 
isso, podemos reescrever a equação na forma: 
1
𝐸
⋅ 𝑑𝐸 = −
1
𝑅𝐶
⋅ 𝑑𝑡 
Integrando ambos os membros em relação às variáveis correspondentes obtemos: 
ln|𝐸| = −
1
𝑅𝐶
𝑡 + 𝑐1 
 
 
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Além disso, observe que: 
𝑒ln|𝐸| = 𝑒−
1
𝑅𝐶
𝑡+𝑐1 = 𝑒−
1
𝑅𝐶
𝑡 ⋅ 𝑒𝑐1 = 𝑒−
1
𝑅𝐶
𝑡 ⋅ 𝑐2 
𝐸(𝑡) = ±𝑐2𝑒
−
1
𝑅𝐶
𝑡 
𝐸(𝑡) = 𝐾𝑒−
1
𝑅𝐶
𝑡 
Considerando a condição 𝐸(4) = 𝐸0 obtemos: 
𝐸0 = 𝐾𝑒
−
4
𝑅𝐶 
𝐾 =
𝐸0
𝑒−
4
𝑅𝐶
 
𝐾 = 𝐸0𝑒
4
𝑅𝐶 
Logo, a solução para o problema é dada por: 
𝐸(𝑡) = 𝐸0𝑒
4
𝑅𝐶𝑒−
1
𝑅𝐶
𝑡 = 𝐸0𝑒
(
4
𝑅𝐶
−
1
𝑅𝐶
𝑡) 
𝐸(𝑡) = 𝐸0𝑒
(4−𝑡) 𝑅𝐶⁄ 
 
Questão 5 
Considere o problema de valor inicial definido a seguir: 
{
4𝑦′′ − 8𝑦′ + 3𝑦 = 0
𝑦(0) = 2
𝑦′(0) =
1
2
 
Note que esse problema envolve uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem com 
coeficientes constantes. Assim, para a obtenção da solução pode ser empregado o 
método envolvendo a identificação das raízes da equação característica. 
Diante desse tema, responda: 
a) Determine a solução geral para a EDO apresentada. 
b) Determine a solução particular para o problema de valor inicial, considerando as 
condições iniciais apresentadas. 
Gabarito: 
a) Considere a EDO: 
4𝑦′′ − 8𝑦′ + 3𝑦 = 0 
Supondo 𝑦 = 𝑒𝑟𝑡 soluçãoda EDO apresentada, temos: 
4(𝑟2𝑒𝑟𝑡) − 8(𝑟𝑒𝑟𝑡) + 3𝑒𝑟𝑡 = 0 → 𝑒𝑟𝑡(4𝑟2 − 8𝑟 + 3) = 0 
 
 
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Assim, obtemos a equação característica: 
4𝑟2 − 8𝑟 + 3 = 0 
cujas soluções são: 
𝑟 =
3
2
 e 𝑟 =
1
2
 
ou seja, duas raízes reais distintas. 
Desta forma, a solução geral da EDO em estudo é dada por 
𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑒
3𝑡 2⁄ + 𝐶2𝑒
𝑡 2⁄ 
b) Do problema de valor inicial sabemos que 𝑦(0) = 2 e 𝑦′(0) =
1
2
. 
Como: 
𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑒
3𝑡 2⁄ + 𝐶2𝑒
𝑡 2⁄ 
𝑦′(𝑡) =
3
2
𝐶1𝑒
3𝑡 2⁄ +
1
2
𝐶2𝑒
𝑡 2⁄ 
então: 
2 = 𝑦(0) = 𝐶1 + 𝐶2 
1
2
= 𝑦′(0) =
3
2
𝐶1 +
1
2
𝐶2 
Logo, das condições apresentadas temos o sistema de equações lineares: 
{
𝐶1 + 𝐶2 = 2
3
2
𝐶1 +
1
2
𝐶2 =
1
2
 
ou ainda, 
{
𝐶1 + 𝐶2 = 2
3𝐶1 + 𝐶2 = 1
 
o que implica em 𝐶1 = −
1
2
 e 𝐶2 =
5
2
. 
Portanto, a solução do problema de valor inicial é dada por 
𝑦(𝑡) = −
1
2
𝑒3𝑡 2⁄ +
5
2
𝑒𝑡 2⁄ 
 
Questão 6 
Seja o problema de valor inicial apresentado no que segue: 
 
 
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{
 
 
 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝜃2
+ 𝑦 = 0
𝑦(𝜋 3⁄ ) = 0
𝑦′(𝜋 3⁄ ) =
1
2
 
Resolva o problema de valor inicial apresentado, determinando uma solução particular 
obtida a partir do emprego das condições iniciais indicadas no problema. 
Observação: o estudo dos ângulos e das funções trigonométricas associadas deve ser 
realizado adotando a unidade de medida radiano. 
Gabarito: 
Considere a EDO 𝑦′′ + 𝑦 = 0, pois sabemos que 
𝑑2𝑦
𝑑𝜃2
 pode ser reescrito como 𝑦′′(𝜃). 
𝑦′′ + 0 ⋅ 𝑦′ + 𝑦 = 0 
Supondo 𝑦 = 𝑒𝑟𝑡 solução da EDO apresentada, temos: 
(𝑟2𝑒𝑟𝑡) + 0 + 𝑒𝑟𝑡 = 0 → 𝑒𝑟𝑡(𝑟2 + 1) = 0 
Assim, obtemos a equação característica 𝑟2 + 1 = 0, cujas soluções são complexas 
conjugadas na forma 𝑟 = ±𝑖 = 0 ± 𝑖. 
Desta forma, a solução geral da EDO em estudo é dada por: 
𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑒
0𝑡 cos(1 ⋅ 𝑡) + 𝐶2𝑒
0𝑡 sen(1 ⋅ 𝑡) 
isto é, 
𝑦(𝑡) = 𝐶1 cos(𝑡) + 𝐶2 sen(𝑡) 
Calculando a derivada de 𝑦 obtemos: 
𝑦′(𝑡) = −𝐶1 sen(𝑡) + 𝐶2 cos(𝑡) 
Aplicando as condições iniciais 𝑦 (
𝜋
3
) = 0 e 𝑦′ (
𝜋
3
) =
1
2
 segue que: 
0 = 𝑦 (
𝜋
3
) = 𝐶1 cos (
𝜋
3
) + 𝐶2 sen (
𝜋
3
) = 𝐶1 cos (
𝜋
3
) + 𝐶2 sen (
𝜋
3
) =
1
2
𝐶1 +
√3
2
𝐶2 
1
2
= 𝑦′ (
𝜋
3
) = −𝐶1 sen (
𝜋
3
) + 𝐶2 cos (
𝜋
3
) = −
√3
2
𝐶1 +
1
2
𝐶2 
Sendo assim, temos o sistema: 
{
 
 
 
 1
2
𝐶1 +
√3
2
𝐶2 = 0
−
√3
2
𝐶1 +
1
2
𝐶2 =
1
2
 
ou ainda, 
 
 
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{
𝐶1 + √3𝐶2 = 0
−√3𝐶1 + 𝐶2 = 1
 
cujas soluções são 𝐶1 = −
√3
4
 e 𝐶2 =
1
4
. 
Portanto, a solução para o problema é: 
𝑦(𝑡) = −
√3
4
cos(𝑡) +
1
4
sen(𝑡) 
 
 
 
Construindo um Padlet colaborativo 
 
As equações diferenciais ordinárias podem ser utilizadas para modelar diferentes tipos 
de fenômenos, desde os sistemas massa-mola até problemas envolvendo a relação 
predador-presa. Assim, elas se fazem presentes em diferentes áreas do conhecimento, 
mas principalmente no campo das Engenharias. 
Para contribuir com o estudo desse tema, faremos a construção de um Padlet 
colaborativo, de tal forma a enriquecer o aprendizado a respeito das equações 
diferenciais ordinárias, também referenciadas pela sigla EDOs. 
Inicialmente acesse o endereço: 
https://padlet.com/alessandra_barba/oif9ibxvsb68c40d (acesso em 21 jun. 2022). 
O Padlet também pode ser acessado via smartphones por meio do aplicativo 
correspondente. 
Nesse espaço você poderá compartilhar informações diversas a respeito das EDOs. 
Participe com a inclusão de curiosidades, aplicações das EDOs, propostas de exercícios, 
vídeos para estudo, entre outros materiais interessantes para o estudo das equações 
diferenciais ordinárias. 
Além disso, faça sua contribuição apresentando as resoluções para os exercícios 
propostos pelos colegas e/ou analisando as resoluções apresentadas e propondo 
correções, caso seja necessário. 
Vamos tornar esse Padlet um espaço colaborativo de estudos! Participe! 
https://padlet.com/alessandra_barba/oif9ibxvsb68c40d
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
Oriente os alunos a participarem ativamente da construção do Padlet, com a inserção 
de materiais interessantes e que estejam coerentes com a proposta, contribuindo 
positivamente para a aprendizagem individual e coletiva. 
Os alunos podem pesquisar materiais em diferentes fontes para a construção do Padlet, 
mas sugira a eles que utilizem fontes confiáveis, como livros, páginas de faculdades ou 
universidades, revistas e artigos científicos, entre outros, sempre indicando as fontes de 
pesquisa utilizadas conforme as normas da ABNT.