fisica_quantica_II

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AN02FREV001/REV 4.0 
 18 
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA 
Portal Educação 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE 
FÍSICA QUÂNTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: 
 
EaD - Educação a Distância Portal Educação 
 
 
 
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CURSO DE 
FÍSICA QUÂNTICA 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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dados aos seus respectivos autores descritos nas Referências Bibliográficas. 
 
 
 
 
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MÓDULO II 
 
 
2 SIMETRIAS E GRUPOS DE LORENTZ E POINCARÉ 
 
 
Vamos iniciar o Módulo II mostrando a busca incessante das simetrias. 
 
 
FIGURA 3 - SIMETRIAS 
 
FONTE: Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_caos>. 
Acesso em: 13 maio 2013, 12:00:00. 
 
 
Definimos simetria quando um sistema físico sofre mudanças e permanece 
inalterado. 
 Mudança de sistema: operação ou transformação de simetria. 
 Sistema inalterado: invariante sob esta transformação. 
 
 
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2.1 EXEMPLOS DE SIMETRIA 
 
 
FIGURA 4 - BORBOLETA 
 
FONTE: Disponível em: <http://www.minirecados.com/imagens_de_borboleta/>. 
Acesso em: 10 maio 2013, 02:00:00. 
 
 
FIGURA 5 - CORPO HUMANO 
 
FONTE: Disponível em: <http://www.grupoescolar.com/pesquisa/leonardo-da-vinci-1452--1519.html>. 
Acesso em: 15 maio 2013, 03:00:00. 
 
 
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FIGURA 6 - SIMETRIA 
 
FONTE: Disponível em: <http://umlar.blogspot.com.br/2009_01_01_archive.html>. 
Acesso em 15 maio 2013, 02:00:00. 
 
 
Perceba que temos vários tipos de simetria, por exemplo, a figura a seguir. 
 
 
FIGURA 7 - TIPOS DE SIMETRIAS 
 
FONTE: Disponível em: <http://www.lambrequim.net/textos.php?textos09>. 
Acesso em: 13 maio 2013, 12:00:00. 
http://www.lambrequim.net/textos.php?textos09
 
 
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2.2 EVOLUÇÃO DO ESTUDO DAS SIMETRIAS 
 
 
Conforme o site Sprace: 
 1956: Johannes Kepler. 
Em Mysterium Cosmographicum sugere que as órbitas dos planetas fossem 
definidas pelos sólidos platônicos. 
 1600 até 1800 
Vários trabalhos sobre simetria dos cristais. 
 1687: Newton 
Em Principia, estabelece a lei da conservação do momento 
(homogeneidade do espaço). 
 1860: Pasteur 
Descobriu ligação entre ótica e estrutura das moléculas. 
 1878: Cayley 
Formulou o conceito abstrato de grupo. 
 1893: Sophus Lie e Fredrick Engel 
Publicaram a Theorie der Transformations. 
 1886: Fitzgerald, Lorentz, Larmor e Poincaré. 
Criam as transformações de Lorentz (deixam as equações de Maxwell 
invariante). 
 1905: Einstein 
Cria a Teoria da Relatividade Especial. 
 1918: Emmy Noether 
Prova que as simetrias estão relacionadas com as Leis de conservação. 
 1918: Hermann Weyl 
Discute a teoria de unificação clássica – inclui a invariância de gauge que 
estabelece a conservação da carga elétrica. 
 1927: Fritz London e Weyl 
Incluem transformação de gauge na teoria quântica. 
 1929: Hans Bethe 
Cria a separação dos níveis atômicos que vem da simetria dos cristais 
 1930: Eugene Wigner 
Discute os efeitos da simetria das configurações moleculares – espectro de 
vibração. 
 1931: Linus Pauling 
Inclui a simetria dos orbitais nas ligações químicas. 
 1935: V. Fock 
Usa a simetria para estudar o espectro do átomo de hidrogênio. 
 1936: Werner Heisenberg 
Estuda partículas e antipartículas. 
 1939: Eugene Wigner 
Estabelece a classificação de todas as equações de onda relativista. 
 1954: C.N.Yang e Millis 
Criam as transformações locais de isospin como simetrias internas. 
 1956:C.N.Yang e T.D;Lee 
Dizem: interações fracas quebram a paridade. 
 1959: Heisenberg, Goldstone e Nambu. 
Sugiram que estado de baixa simetria possa quebrar simetria. 
 1961 :Murray Gell-Mann e Yuval Neeman 
Propõe os quarks – um novo conjunto de partículas. 
 1964: J.W.Cronin e W.L.Fitch 
 
 
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Demonstra que as interações fracas podem quebrar a conjugação de carga 
e paridade. 
 1968: S. L. Glashow, S. Weinberg e A. Salam. 
Definem que as interações eletro fracas podem ser escritas usando teoria 
do grupo SU (2) X U (1). (Disponível em: 
<http://www.sprace.org.br/novaes/files/file/documents/100Anos.pdf>. 
Acesso em: 15 jun. 2013, 14:00:00.) 
 
Dizemos que um objeto é simétrico se pudermos fazer certa transformação 
e ele permanecer invariável. 
 
Em 1934, Amália Noether postulou o seguinte teorema: “A toda simetria 
deve corresponder uma lei de conservação. A toda Lei de Conservação deve 
corresponder uma simetria continua.” 
 
 
2.3 ÁLGEBRA DE LIE 
 
 
Grupo é uma estrutura algébrica (G,*). Tem que satisfazer às seguintes 
propriedades: a operação * tem identidade G; a operação é associativa; todos os 
elementos de G são invertíveis. 
 
 
QUADRO 1 - GRUPO DE LIE 
 
FONTE: Disponível em: <http://www.powershow.com/view1/56637-
NmMwY/Lie_Algebras_and_their_Representations_powerpoint_ppt_presentation>. 
Acesso em: 14 jun. 2013, 13:00:00. 
 
 
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QUADRO 2 - EXEMPLOS DE GRUPOS DE LIE 
 
FONTE: Disponível em: <http://www.powershow.com/view1/56637-
NmMwY/Lie_Algebras_and_their_Representations_powerpoint_ppt_presentation>. 
Acesso em: 1 maio 2013, 03:00:00. 
 
 
2.4 TRANSFORMAÇÕES 
 
 
A adesão de Einstein à concepção atômico-molecular foi de tal forma 
convicta, que se propôs aplicá-la à própria luz. 
Foi o que fez no artigo intitulado “Sobre um ponto de vista heurístico a 
respeito da produção e transformação da luz”. 
Vale a pena transcrever alguns trechos da curta introdução de Einstein a 
este seu artigo (disponibilizado no site da Universidade Federal de Santa Catarina): 
 
Há uma profunda diferença formal entre os conceitos teóricos que os físicos 
formaram a respeito dos gases e de outros corpos ponderáveis e a teoria de 
Maxwell dos processos eletromagnéticos no assim chamado espaço vazio. 
De acordo com a teoria de Maxwell, a energia é considerada uma função 
espacial contínua para todos os fenômenos puramente eletromagnéticos, e, 
portanto, também para a luz, enquanto, de acordo com o ponto de vista 
atual dos físicos, a energia de um corpo ponderável deve ser representada 
 
 
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 26 
como uma soma sobre os átomos e elétrons. A energia de um corpo 
ponderável não pode ser dividida em um número arbitrariamente grande de 
partes arbitrariamente pequenas, mas, de acordo com a Teoria de Maxwell, 
[...] a energia de um raio de luz, emitido de uma fonte puntiforme, espalha-
se continuamente sobre um volume sempre. 
crescente. 
De acordo com a hipótese aqui considerada, na propagação de um raio de 
luz emitido por uma fonte puntiforme, a energia não é continuamente 
distribuída sobre volumes cada vez maiores de espaço, mas consiste em 
um número finito de quanta de energia, localizados em pontos do espaço, 
que se movem sem se dividir e que podem ser absorvidos ou gerados 
somente como unidades integrais. 
A teoria ondulatória da luz [...] provou-se sobremaneira adequada. 
Na descrição de fenômenos puramente ópticos e provavelmente nunca será 
substituída por outra teoria. (Disponível em: 
<http://www.fsc.ufsc.br/cbef/port/22-2/artpdf/a1.pdf>. Acesso em: 12 jun. 
2013, 14:00:00.) 
 
 
2.5 MECÂNICA QUÂNTICA RELATIVISTA 
 
 
O estado de um sistema mecânico em um determinado momento na física 
clássica pode ser entendido se construirmos um sistema de referência. 
Se conhecermos as massas das partículas e examinarmos todas as forças 
que agem sobre elas, as equações de Newton podem ser usadas com sucesso para 
chegar a alguns resultados. 
Frequentemente é desejável que, após o cálculo, especifiquemos o estado 
do sistema que esteja transladando,em relação ao primeiro referencial, com 
velocidade constante. 
Podemos interrogar: 
 Como transformar a nossa descrição do sistema referencial antigo para 
o novo? 
 E o que acontecerá com as equações já determinadas? 
Vamos detalhar... 
Einstein estava desorientado, pois as Leis de Newton eram independentes 
do estado de movimento do observador. 
Já as Leis de Maxwell não eram independentes. 
As Leis de Newton sugerem que não existem coisas como, por exemplo, 
movimento absoluto, apenas importando o movimento relativo. As de Maxwell 
sugeriam que o movimento era absoluto. 
 
 
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Com 26 anos de idade, Einstein mostrou que as leis poderiam ser 
interpretadas como independente do estado de movimento de um observador, desde 
que fosse feita uma revolução total na maneira de conhecer espaço e tempo. 
 O movimento é relativo, pois depende do referencial adotado. 
Chamamos de sistema de referência o local a partir do qual o movimento é 
observado e medido. 
 
 
2.5.1 O experimento de Michelson-Morley 
 
 
Existe algum sistema de referência que esteja em repouso? 
Michelson e Morley tentaram, em 1887, responder a esta pergunta. 
A luz caminha como onda – a vibração desta onda gerou a presença de um 
espaço denominado Éter. 
Eles usaram um interferômetro muito sensível. Nele, um feixe de luz 
monocromático era dividido em dois, seguindo caminhos em ângulo reto um com 
outro. O interferômetro foi colocado de forma que um dos caminhos fosse paralelo 
ao movimento de órbita da Terra. Este fato se tornou intrigante até que o físico G. F. 
Fitz Gerald propôs o encurtamento na direção em que estava se movendo. 
O valor do encurtamento foi obtido por Lorentz: 
 
 1-v2/ c2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.6 EQUAÇÕES DE KLEIN-GORDON 
 
 
A equação de Klein-Gordon é de segunda ordem no tempo. 
 
 
 
Ela cria dificuldades com o postulado básico da Mecânica Quântica, que diz 
que o estado de um sistema está completamente determinado se se conhece a 
função de onda em um instante qualquer. 
Além disso, a conservação da probabilidade, expressa pela equação da 
continuidade 
 
 
 
é satisfeita para 
 
 
 
 
 
 
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2.7 O PARADOXO DE KLEIN: EQUAÇÃO DE DIRAC 
 
 
QUADRO 3 - O PARADOXO DE KLEIN: EQUAÇÃO DE DIRAC 
Procura-se: equação relativista de primeira ordem no tempo. Uma 
expressão geral é: 
 
 
 
onde , , e são matrizes quadradas 4x4, e é uma matriz 
coluna de 4 elementos. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Em termos dos elementos de matriz a equação é: 
 
 
 
 
 
 
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 30 
Todos os elementos das 's e de devem ainda ser determinados. 
Para isso vamos impor a condição que, para cada componente , valha a 
equação de Klein-Gordon, ou seja, 
 
 
 
Interpretação probabilística 
Preliminarmente precisamos de uma interpretação probabilística. 
Gostaríamos de ter 
 
 
por ser esta uma quantidade positiva e que generaliza o da 
teoria de Schroedinger. Como 
 
 
 
(se a integral é sobre todo o espaço), teremos ·. 
 
 
 
Da equação de Dirac se tira 
 
 
 
 
 
 
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Inserindo esta na penúltima, 
 
 
ou seja, e as 's são hermiteanas. 
 
Mais precisamente, temos que, com 
 
 
 
 
onde é o ``vetor'' de componentes , vale 
 
 
 
Determinação das matrizes de Dirac 
Reescrevendo a equação de Dirac como 
 
(
866) 
 
(onde o primeiro termo representa uma soma sobre ) e multiplicado à 
esquerda pelo operador 
 
 
 
 
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temos, após alguns cancelamentos, 
 
 
Para que isto se reduza a 
 
 
 
devemos ter: 
 
 
Uma solução para essas equações pode ser construída da seguinte 
maneira: sejam 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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As matrizes de Dirac são matrizes 4x4 definidas, em termos das 
anteriores, assim: 
 
 
 
 
 
ou, mais explicitamente, 
 
 
 
e assim por diante. 
 
Formulação covariante da equação de Dirac 
Queremos colocar a equação de Dirac numa forma em que o tempo e as 
coordenadas apareçam simetricamente. Notação: 
 
 
 
Assim, o invariante relativístico é 
escrito , ou , que é a mesma coisa que 
 
 
 
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A equação de Dirac é: 
 
 
 
onde é uma abreviação para 
 
 
 
 
Multiplicando a equação de Dirac à esquerda por e introduzindo 
a notação 
 
 
 
para , temos 
 
 
ou 
 
 
 
 
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 35 
com 
 
 
Corrente de Probabilidade 
Seja uma solução da equação de Dirac. Definindo 
 
 
 
 
Então se obtém, da equação de Dirac, 
 
 
 
 
O quadrivetor densidade de corrente de probabilidade, é 
tal que 
 
 
que é a forma 4-dimensional da equação da continuidade. 
 
Soluções especiais: partícula em repouso 
Para uma partícula em repouso, 
 
 
onde é o operador ``componente do momento ''. 
Equivalentemente, 
 
 
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para . Logo, para a partícula em repouso, 
 
 
Com isso, a equação de Dirac fica: 
 
 
 
Explicitamente, temos 
 
 
Autoestados da energia têm a forma 
 
 
Logo, para essas funções, 
 
 
Cancelando as exponenciais reduz-se a 
 
 
 
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Logo, 
 
 
 
ou seja, as soluções são 
 
 
 
Todas estas podem ser escritas como combinações lineares de 
 
e 
 
 
Soluções de energia negativa 
Surpreendentemente, porém, a equação 
 
 
 
admite a classe de soluções 
 
 
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como se verifica facilmente. Logo, temos ainda como soluções as 
combinações lineares 
 
 
e 
 
 
Note que se trata de soluções correspondentes a partículas livres e em 
repouso. Além das soluções esperadas, com energia , encontramos 
outras, totalmente inesperadas, com energia de repouso dada por ! 
 
Interação com o campo eletromagnético 
Usando, na equação de Dirac 
 
 
 
o acoplamento mínimo, 
 
(veja <http://fma.if.usp.br/~fleming/eletromag/index.html>). 
 
 
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Como 
 
 
 
obtém-se: 
 
 
 
 
A antimatéria 
A proposta de Dirac para resolver o problema dos estados de energia 
negativa é: “Todos os estados de energia negativa estão preenchidos, e esta 
situação é o que chamamos vácuo. Isto faz sentido porque os elétrons são 
férmions, e, como se sabe, só cabe um férmion em cada estado.” Vivemos no 
meio dos estados de energia negativa, mas não os vemos. No entanto, quando 
um desses elétrons de energia negativa recebe energia suficiente para pular 
para um estado de energia positiva (esta energia é, no mínimo, ), deixa, no 
mar de estados de energia negativa'' um buraco, e este é observado (como uma 
partícula de energia positiva e carga positiva, isto é, oposta à do elétron). Logo, 
quando um elétron de energia negativa pula para um estado de energia positiva, 
aparecem duas coisas: o próprio elétron, agora “visível”, e o buraco: chama-se 
isso de produção de um par elétron-pósitron. O buraco deixado pelo elétron é 
um pósitron, o primeiro exemplo de antimatéria. 
 
As soluções de onda plana 
Estas soluções, que são estados de momento e energia definidos e 
arbitrários, podem ser obtidas das de repouso por transformações de Lorentz. 
Vamos nos limitar a apresentar uma tabela delas. É um exercício simples 
 
 
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verificar que as expressões a seguir efetivamente satisfazem as equações de 
Dirac. 
 
Energia positiva: 
 
 
 
 
 
 
 
Energia negativa: 
 
 
 
 
 
 
 
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A função de onda do buraco 
Dada à equação 
 
(
867) 
 
queremos mostrar que, para cada que a resolve, existe uma que 
é solução de: 
 
 
com a propriedade 
 
 
 
onde é antiunitário35. Vamos determinar . Tomando o complexo-
conjugado da equação de Dirac, temos 
 
 
 
Aplicando à esquerda, termo a termo, tomandoo complexo 
conjugado e aplicando, à esquerda, , obtemos 
 
 
 
Para que esta equação reproduza Eq devemos ter 
http://efisica.if.usp.br/moderna/mq/apendice_1/
 
 
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A solução é 
 
 
com . 
 
Logo, 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
e 
 
 
Assim, dada uma solução de energia negativa , é uma 
solução de energia , positiva, de momento , carga e spin no 
sentido oposto. Trata-se do buraco, que é um pósitron. Henrique Fleming 2003. 
FONTE: Disponível em <http://efisica.if.usp.br/moderna/mq/apendice_1/> Acesso em: 29 ago. 2013. 
 
 
 
 
 
 
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 43 
Aprimorando os conhecimentos: 
 No início do século, Rayleigh (e também Jeans) fez o cálculo da 
densidade de energia da radiação de cavidade (corpo negro). Ele mostrou 
uma grande distorção entre a física clássica e o resultado experimental. Este 
cálculo é análogo ao dos calores específicos dos sólidos. 
 Durante nossos estudos, a palavra coordenada é usada significando 
qualquer quantidade que descreva a condição instantânea do ente. 
 A energia do ente que obedece ao postulado de Planck é denominada 
quantizada. Os estados de energia possíveis são ditos estados quânticos e o 
inteiro é denominado número quântico. 
 Três processos (efeito fotoelétrico, efeito Compton e a produção de 
pares) envolvem o espelhamento ou a radiação pela matéria. 
 Em 1886, Heinrich Hertz, por meio de experiências, confirmou a 
existência de ondas eletromagnéticas. 
 Hertz descobriu que uma descarga elétrica entre dois eletrodos ocorre 
mais facilmente quando incidir sobre eles uma luz violeta. 
 A emissão de elétrons de uma superfície, devida à incidência de luz na 
superfície é denominada efeito fotoelétrico. 
 Einstein propôs que a energia radiante está quantizada em pacotes 
concentrados – fótons. 
 Em 1921, Einstein recebeu o Prêmio Nobel por ter previsto teoricamente 
a lei do efeito fotoelétrico. 
 A natureza corpuscular da radiação foi confirmada em 1923, por 
Compton. 
 O processo de espelhamento dos fótons no qual não há mudança em 
seu comprimento de onda é denominado espelhamento de Thomson. 
 Os raios X, descobertos por Roentgen, são radiações eletromagnéticas 
com comprimento de onda menor que 1,0 A. 
 O processo de bremsstrahlung ocorre não só nos tubos de raios X, mas 
sempre que elétrons rápidos colidem com a matéria. Exemplo: os raios 
cósmicos nos anéis de Van Allen que envolve a Terra. 
 Bremsstrahlung pode ser considerado como um efeito fotoelétrico às 
avessas. 
 
 
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 44 
 Bremsstrahlung: Brems = frenagem, desaceleração. 
 Strahlung = radiação. 
 No processo de produção de pares, os fótons perdem sua energia na 
interação com a matéria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIM DO MÓDULO II