SLIDE-Cálculo Diferencial e Integral

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Disciplina:
Cálculo Diferencial e Integral
Docente:
Luiz Carlos Pitzer
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
Esta unidade está dividida em quatro tópicos:
 Tópico 1 – Limite de uma função
 Tópico 2 – Limites indeterminados e laterais
 Tópico 3 – Mais um pouco de limites
 Tópico 4 – Continuidade
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é:
Poderíamos perguntar:
“O que acontece com a função, quando x assume valores próximos do zero?”
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é:
Se aproximando pela direita, ou seja, números um pouco maiores que zero, e cada vez mais próximos, podemos notar que a função se aproxima do número 1.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é:
Se aproximando pela esquerda, ou seja, números um pouco menores que zero, e cada vez mais próximos, podemos notar que a função também se aproxima do número 1.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
CONCEITO DE LIMITE
Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é:
Assim, concluímos que quando x tende para 0 pela direita e pela esquerda, a função f(x) tende para 1. 
Representamos a situação da seguinte forma:
“Limite da função f com x tendendo a 0 é 1”
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
DEFINIÇÃO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Definição 1.1.1 Seja definida em um intervalo aberto em torno de
, exceto possivelmente em . Dizemos que tem limite quando tende para e escrevemos se, para cada número , existir um número correspondente tal que, para todos os valores de com ⇒ .
Esta definição é uma maneira técnica de expressar a ideia de limite que vimos no exemplo anterior.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Teorema 1.1.1 (Unicidade do limite) 
Se e , então .
Esse teorema apresenta uma importante informação:
“Que o limite quando existente é único”
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Propriedades 
Se e são números reais e e , então:
a) 
O limite de uma constante é a própria constante.
Exemplo:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
b) 
O limite da soma ou subtração de duas funções, é igual 
a soma ou subtração do limite individual de cada função.
Exemplo:
c) 
O limite de uma função multiplicada por uma constante, é igual 
ao limite da função multiplicada pela constante.
Exemplo:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
d) 
O limite da multiplicação de duas funções, é igual 
a multiplicação do limite individual de cada função.
Exemplo:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
O limite da divisão de duas funções, é igual
a divisão do limite individual de cada função.
Exemplo:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Segue a mesma analogia para as próximas propriedades:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Segue a mesma analogia para as próximas propriedades:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Agora a pergunta é:
“Como resolvemos o limite de uma função?”
De uma maneira direta, poderíamos aplicar a definição, porém, além de ser extenso, há situações muito complexas.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Em primeiro momento, tentamos substituir o valor do limite na função para encontrar a resposta.
Uma das três situação irá acontecer
Testar o Ponto do Limite na Função
Manipulações Matemáticas
Aplicação dos Limites Fundamentais
Solução
Indeterminação Exemplo 0/0
Impossibilidade Exemplo 5/0
Limites Laterais
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Ou encontramos a solução, ou uma impossibilidade, ou uma indeterminação.
Em limites, a indeterminação é um situação em que a solução não é clara no momento da simples substituição, porém, pode existir uma solução.
Testar o Ponto do Limite na Função
Manipulações Matemáticas
Aplicação dos Limites Fundamentais
Solução
Indeterminação Exemplo 0/0
Impossibilidade Exemplo 5/0
Limites Laterais
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Ou encontramos a solução, ou uma impossibilidade, ou uma indeterminação.
Para o caso da impossibilidade ou indeterminação, segue a orientação do que devemos fazer
Segue os sete casos de indeterminações:
Testar o Ponto do Limite na Função
Manipulações Matemáticas
Aplicação dos Limites Fundamentais
Solução
Indeterminação Exemplo 0/0
Impossibilidade Exemplo 5/0
Limites Laterais
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Limites laterais, manipulações matemáticas e limites fundamentas, serão abordadas no próximo tópico.
Testar o Ponto do Limite na Função
Manipulações Matemáticas
Aplicação dos Limites Fundamentais
Solução
Indeterminação Exemplo 0/0
Impossibilidade Exemplo 5/0
Limites Laterais
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Exemplo: 
Determine o limite de cada uma das situações a seguir
a) 
Resolução:
Logo, o limite da função para tendendo a 2 é 12.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Exemplo: 
Determine o limite de cada uma das situações a seguir
b) 
Resolução:
Logo, o limite da função para tendendo a é .
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Exemplo: 
Determine o limite de cada uma das situações a seguir
Resolução:
Logo, uma indeterminação. 
(veremos posteriormente como resolver).
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Exemplo: 
Determine o limite de cada uma das situações a seguir
Resolução:
Logo, uma impossibilidade matemática.
(veremos posteriormente como resolver).
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 1 – Limite de uma função
Agora é hora de praticar: 
Resolvam os exercícios de 6 a 12, apontando quais propriedades estão sendo utilizadas.
Compartilhem os resultados e compare-os com seus colegas.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Limites indeterminados e laterais
INDETERMINAÇÃO
Até agora, calculamos limites do quociente entre duas funções aplicando o ponto do limite diretamente. 
Mas existem situações em que você encontre situação do tipo:
Neste caso, o que fazer? 
Neste tópico é visto artifícios algébricos de como sair destas indeterminações.
Ao todo são sete os símbolos de indeterminação
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Limites indeterminados e laterais
INDETERMINAÇÃO
Quando tratamos de polinômios, um bom artifício é a fatoração. Veja um exemplo:
Aplicação
Uma importante estratégia é utilizar da decomposição de um polinômio, pelo método de Briot-Ruffini, já que uma das raízes do polinômio é conhecida na indeterminação do tipo 0/0.Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Limites indeterminados e laterais
INDETERMINAÇÃO
Situações que envolvam raízes, há um artifício de multiplicar o numerador e denominador pelo conjugado da parte que contém a raiz.
Exemplo:
seu conjugado será
Isso possibilita modificar a estrutura da função, possibilitando eliminar a indeterminação.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Limites indeterminados e laterais
LIMITES LATERAIS
Ao considerarmos o cálculo do , estamos interessados no comportamento da função nos valores próximos de . 
Vimos no tópico anterior que para calcular o limite é preciso analisar o comportamento da função por valores menores do que e por valores maiores do que , isto é, nos valores de pertencentes a um intervalo aberto contendo , porém diferentes de . 
Ainda, nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que .
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 2 – Limites indeterminados e laterais
LIMITES LATERAIS
O intuito deste tema, é estudar o comportamento da função pela esquerda (um pouco menor denotado por ) e pela direita (um pouco maior denotado por ) no ponto em questão.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Mais um pouco de limites
LIMITES NO INFINITO
São limites em o ponto de análise é o infinito.
Em geral, o símbolo (infinito) não representa nenhum número real e não pode ser empregado na aritmética na maneira usual.
Por isso, precisamos definir um teorema para nos dar suporte, podendo assim, resolver alguns casos de limites.
Teorema 1.3.1 Se é um número natural positivo, então:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Mais um pouco de limites
LIMITES INFINITOS
São limites em que o resultado é o infinito, ou seja, o comportamento da função nas proximidades de um ponto, tenda ao infinito.
Isso acontece normalmente, nos pontos de descontinuidade das funções, onde a função não está definida.
A estratégia é utilizar dos limites laterais para a resolução.
Teorema 1.3.2 Se é um número natural, então:
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Mais um pouco de limites
LIMITES FUNDAMENTAIS
São teoremas que facilitam o cálculo de alguns casos particulares de limites.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 4 – Continuidade
DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE
Intuitivamente, gostaríamos de dizer que uma função definida num intervalo é contínua quando seu gráfico é constituído por um traço, isto é, quando seu gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel. 
Essa ideia intuitiva, apesar de não ser precisa, poderá ser útil em muitas situações.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 4 – Continuidade
DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE
Definição 1.4.1 Uma função f(x) é contínua no ponto x = a se as seguintes condições forem satisfeitas:
está definida no ponto ;
existe;
 .
Quando uma ou mais destas condições não é satisfeita, dizemos que a função é descontínua em x = a.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 4 – Continuidade
DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Continuidade
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Teorema 1.4.4 (Teorema do Valor Intermediário – TVI) Se f(x) é uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e k é um número qualquer tal que f(a) ≤ k ≤ f(b), então existe no mínimo um número c ∈[a, b] tal que f(c) = k.
Unidade 1: Limite e Continuidade de uma Função
 Tópico 3 – Continuidade
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta horizontal y = k interceptando o eixo y entre os números f(a) e f(b) interceptara a curva y = f(x) pelo menos uma vez no intervalo [a,b].
Bons estudos!
“