cap07_prot_NOVO2009[1]

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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO 
CAP. 7 – Verificação dos Estados Limites de Serviço 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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CAPÍTULO 7 – VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS LIMITES DE 
SERVIÇO: VERIFICAÇÃO DA FISSURAÇÃO 
 
7.1 – Introdução 
 Quando se calcula uma peça de concreto armado ou protendido, deve-se 
garantir a segurança no estado limite último assim como verificar as condições de 
utilização. Então além das verificações no estado limite último é preciso verificar a 
estrutura em seu funcionamento, ou seja, em serviço ou uso. Essas verificações 
correspondentes aos estados limites de serviço de fissuração e deformação excessiva. 
Não basta uma estrutura ter um segurança à ruptura é preciso que funcione 
adequadamente e que tenha durabilidade compatível ao que foi projetada. 
A fissuração excessiva de uma peça em concreto protendido (pode haver 
fissuração como será visto na protensão parcial) pode comprometer 
significativamente sua durabilidade. Embora não seja a única causa, ou condição 
necessária, pode-se dizer que, quando de sua ocorrência, há grande risco de haver uma 
degradação rápida do concreto superficial e da armadura. Outros fatores, como: 
porosidade do concreto, cobrimento insuficiente da armadura, presença de produtos 
químicos, agentes agressivos etc., contribuem ou podem ser determinantes na 
durabilidade da estrutura. Examinados esses fatores, o projetista deve evitar que a 
peça sofra fissuração excessiva, devida à flexão, detalhando adequadamente a 
armadura na seção transversal e, se for o caso, aumentando a sua quantidade. 
Assim, em relação à questão de fissuração, em geral, deseja-se evitar situações 
em amesma possa causar uma diminuição na vida útil da estrutura, principalmente 
provocando a deterioração da armadura por corrosão. Como será visto nos próximos 
itens o uso de fator água cimento (A/C) adequado, cobrimentos mínimos adequados 
para armadura também fazem parte das prescrições de se evitar a corrosão da 
armadura e portanto a diminuição da vida útil da estrutura. Portanto, a adoção de 
resistência mínima de concreto, cobrimento mínimo para armadura e verificação de 
estados de fissuração se complementam dando condições, junto com as boas técnicas 
de detalhamento e de confecção da estrutura, para que haja garantia de uma vida útil 
mínima. 
A questão do estado limite de deformação excessiva está ligada realmente as 
questões de estética e funcionamento adequado. Deformação excessiva em um piso 
pode ser uma questão estética para quem consegue perceber este defeito, mas pode 
ser, no caso de piso industrial, uma impossibilidade de se montar máquinas que 
toleram um pequeno desnível entre seus apoios. Também uma peça do tipo calha não 
pode ao longo do tempo perder sua declividade de forma que acumule água (exemplo 
do capítulo 1, mostrada em 1.2a). 
Finalmente, embora tenha se colocado como verificação dos estados limites 
de serviço, os estados limites relativos à fissuração podem, no caso de concreto 
protendido, serem usados como procedimentos de dimensionamento da armadura 
longitudinal, conforme é visto nos exemplos no final do capítulo. 
 
7.2 Definições de estados limites 
 No seu item a NBR6118:2003 define uma série de estados limites que são 
empregados neste e nos próximos capítulos: 
 
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• estado limite último (ELU): Estado limite relacionado ao colapso, ou a 
qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso 
da estrutura. 
• estado limite de formação de fissuras (ELS-F): Estado em que se inicia a 
formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a 
tensão de tração máxima na seção transversal for igual a fct,inf =0,21. 3 2ckf 
• estado limite de abertura das fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras 
se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados nos próximos 
itens. 
• estado limite de descompressão (ELS-D): Estado no qual em um ou mais 
pontos da seção transversal a tensão normal é nula, não havendo tração no 
restante da seção. Verificação usual no caso do concreto protendido. 
• estado limite de descompressão parcial (ELS-DP): Estado no qual garante-
se a compressão na seção transversal, na região onde existem armaduras 
ativas. Essa região deve se estender até uma distância ap da face mais próxima 
da cordoalha ou da bainha de protensão (ver figura 3.1 e tabela 13.3). 
• estado limite de compressão excessiva (ELS-CE): Estado em que as tensões 
de compressão atingem o limite convencional estabelecido. Usual no caso do 
concreto protendido na ocasião da aplicação da protensão (ver 17.2.4.3.2.a). 
• estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): Estado em que as 
deformações atingem os estabelecidos para a utilização normal fixados. 
Assunto que será estudado no capítulo 12. 
 
7.3- Tipos de protensão quanto aos estados de fissuração 
 Em função do tipo de protensão (pós e pré-tração) e da condição de 
agressividade ambiental fica definida um tipo de protensão quanto à intensidade. Para 
cada tipo de protensão (em relação a intensidade) pode ser necessário verificar as 
tensões normais no concreto, nas seções transversais, para uma certa combinação de 
esforços solicitantes, ou ainda verificar a abertura máxima de fissuras, conforme será 
visto logo em seguida. Na prática o tipo de protensão exigido, quando a condição de 
fissuração for preponderante, conduz a uma armadura de protensão maior ou menor a 
ser empregada. Pode-se inclusive, teoricamente, definir o concreto armado como mais 
um item na classificação dada pela norma, em que não se tem armadura de protensão 
e as verificações de fissuração se restringem ao controle da abertura de fissuras. 
 Os níveis de protensão estão relacionados com os níveis de intensidade da 
força de protensão que por sua vez é função da proporção de armadura ativa utilizada 
em relação à passiva. Só para que fique bem claro o avanço e as modificações que 
ocorreram em relação a fissuração apresenta-se aqui como a norma NBR 71979 de 
1982 e a nova de NBR6118:2003 abordam a questão 
 
7.3.1Níveis de protensão segundo a NBR 71979[ ] 
 Segundo a NBR 71979 [1982], a antiga norma de protendido, os tipos de 
protensão relacionam-se com os estados limites de utilização referentes à fissuração. 
Os tipos de protensão definidos são: protensão completa, protensão limitada e 
protensão parcial. A escolha do tipo de protensão é feita em função do tipo de 
construção ou da agressividade do meio ambiente, conforme podia ser visto no item 
4.2 dessa norma. A classificação para o nível da agressividade do meio ambiente era a 
 
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seguinte: a) não agressivo, como o interior dos edifícios, em que uma alta umidade 
relativa somente pode ocorrer durante poucos dias por ano, e em estrutura 
devidamente protegida; b) pouco agressivo, como no interior de edifícios, em que 
uma alta umidade relativa pode ocorrer por longos períodos, e nos casos de contacto 
da face do concreto próximo à armadura protendida com líquidos, exposição 
prolongada a intempéries ou a alto teor de umidade; c) muito agressivo, como nos 
casos de contacto com gases e líquidos agressivos ou com solo ambiente marinho. 
 Uma vezdefinido o ambiente em que se executaria a obra protendida, se não 
houver nenhuma outra norma mais rigorosa ou específica deveria-se empregar a 
tabela 7.1 dada a seguir. 
 
TABELA 7.1- Níveis de protensão segundo a NBR 71979 
Nível de Agressividade Exigência mínima quanto ao tipo de protensão. 
meio agressivo protensão completa 
pouco agressivo protensão limitada 
não agressivo protensão parcial 
 Acrescenta-se às exigências anteriores as restrições de uso do item 4.3 dessa 
Norma, em que se determina em que para estruturas de pontes ferroviárias ou vigas de 
ponte rolantes só é admitida protensão com aderência. O concreto protendido sem 
aderência só pode ser empregado em casos especiais e sempre com protensão 
completa. 
 
7.3.2- Níveis de protensão segundo a NBR 6118:2003 
 A Norma NBR6118:2003 acaba sendo mais precisa nas definições da 
intensidade de protensão definindo inicialmente as condições de agressividade 
ambiental dados na tabela 7.2. A agressividade do meio ambiente está relacionada às 
ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, 
independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem 
térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento. 
 
 
TABELA 7.2- Classes de Agressividade Ambiental segundo a NB6118:2003 
Classe de 
Agressividade do 
Ambiente 
(CAA) 
Agressividade Classificação Geral do tipo 
de ambiente para projeto 
Risco de 
deterioração da 
estrutura 
I fraca Rural e Submersa insignificante 
II média Urbana 1) 2) pequeno 
III forte Marinha 1),2)e Industrial 1), 2) grande 
IV Muito forte Industrial 1), 3) 
Respingos de Maré 
elevado 
1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para 
ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos 
residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 
2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regi ões de 
clima seco, 
com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em 
ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 
3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em 
indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 
 
 
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Assim, conhecido o ambiente onde a estrutura será construída pode-se definir 
a intensidade da proteger a se usar sem o risco de ter a diminuída em relação aquilo 
que é esperado como normal.Para a norma NBR 6118:2003 os níveis de protensão 
permitidos são os listados na tabela 7.3 
TABELA 7.3- Exigências e níveis de protensão segundo a NB6118:2003 
TIPOS DE 
CONCRETO 
ESTRUTURAL 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTE 
EXIGÊNCIA COMBINAÇÃO 
DE AÇÕES A 
CONSIDERAR 
Concreto simples CAA I a CAA IV Não há - 
Concreto Armado 
(sem protensão) 
CAA I ELS-W ω ≤ 0,4 
mm 
Freqüente 
Concreto Armado 
(sem protensão) 
CAA II a III ELS-W ω ≤ 0,3 
mm 
Freqüente 
Concreto Armado 
(sem protensão) 
CAA IV ELS-W ω ≤ 0,2 
mm 
Freqüente 
Protensão parcial 
Nível 1 
Pré-tração CAA I 
Pós tração –CAA I e II 
ELS-W ω ≤ 0,2 
mm 
Freqüente 
Protensão limitada 
Nível 2 
Pré-tração CAA II 
Pós-tração CAA III e IV
(*) E.L.S-F. Fiss. 
(*) E.L.S-D. Fiss. 
Freqüente 
Quase 
permanente 
Protensão completa 
Nível 3 
Pré-tração – CAA III e 
IV 
 (*) E.L.F. Fiss. 
(*) E.L.S-D. Fiss. 
Rara 
Freqüente 
(*) As duas condições deverão ser verificadas simultâneamente Com ω abertura 
máxima de fissura; CAA refere-se às condições ambientais fornecidas no item 7.4.1. 
 Notar a diferença entre a nova norma e a anterior, principalmente no que diz 
respeito a protensão sem aderência que só era permitida com protensão completa. Na 
nova redação nenhuma restrição é feita quanto a este tipo de protensão. 
 Além da definição das intensidades de protensão de acordo com as condições 
ambientais a norma estipula ainda fatores água cimento máximos, resistência à 
compressão do concreto mínimos e finalmente cobrimentos mínimos de cobertura de 
na armadura. 
 Os valores dos fatores água cimento (A/C) máximos e as resistências à 
compressão do concreto mínimas estão indicados na tabela 7.4 
TABELA 7.4 – Correspondência entre a classe de agressividade e qualidade do 
concreto 
 
 
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 Na tabela 7.4 são apresentados os valores de cobrimento mínimo da armadura 
exigido pela NBR6118:2003 em função do tipo de elemento e a correspondente classe 
de agressividade ambiental. Maiores detalhes deste assunto são visto nos capítulos 
posteriores. 
 
TABELA 7.4 – Correspondência entre a classe de agressividade e cobrimentos 
mínimos com =10mm 
Tipos de Estrutura Componentes ou 
elementos 
Classe de agressividade ambiental 
I II III IV 
cobrimento nominal em mm 
Concreto Armado Laje 
Viga/pilar 
20 25 35 45 
25 30 40 50 
Concreto protendido Todos 30 35 45 55 
 
7.4 –Combinação de ações em serviço. 
Para se realizar as verificações em serviço é preciso finalmente definir em 
quais situações, ou sob, que ações a verificação deve ser feita. No item 11.8 da 
NBR6118:2003 são apresentadas as combinações a serem feitas. Resumem-se, em 
seguida, alguns dos principais aspectos deste procedimento. 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm 
probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, 
durante um período preestabelecido. 
A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados 
os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura; a verificação da segurança em relação 
aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em 
função de combinações últimas e combinações de serviço. 
Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de 
serviço é dado pela expressão: 
γf = γf2 . γ 
onde: γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tabela 7.5): 
γf2 = 1 para combinações raras; γf2 =Ψ1 para combinações freqüentes e γf2 = Ψ2 para 
combinações quase permanentes. 
 
Os valores da tabela anterior podem ser modificados em casos especiais aqui 
não contemplados, de acordo com a NBR 8681 [ ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA 7.5- Valores dos coeficientes γf2 segundo a NB6118:2003 
 γf2 
Ψ0 Ψ1 Ψ2 
Cargas acidentais de edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos 
que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de 
elevadas concentrações de pessoas 2) 
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada 
concentração de pessoas 3) 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 
 
 
0,5 0,4 0,3 
 
 
 
0,7 0,6 0,4 
0,8 0,7 0,6 
Vento 
 Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 
 
0,6 0,3 0 
TemperaturaVariações uniformes de temperatura em relação à média anual 
 
0,6 0,5 0,3 
Cargas Móveis e seus efeitos dinâmicos 
Passarelas para pedestres 
Pontes Rodoviárias 
Pontes ferroviárias não especializadas 
Pontes ferroviárias especializadas 
Vigas de rolamento 
 
0,6 0,4 0,3 
0,7 0,5 0,3 
0,8 0,7 0,5 
1,0 1,0 0,6 
1,0 0,8 0,5 
1)Para os valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de 
fadiga, ver seção 23 da NBR6118:2003. 
2)Edifícios residenciais. 
3)Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos. 
 * Os valores de Ψ0 são usados nos estados limites últimos 
 
Para facilitar a visualização as combinações de serviço usuais apresenta-se a 
tabela 7.6 
Tabela 7.6 - Combinações de serviço 
Combinações de 
serviço (ELS) 
Descrição Cálculo das 
solicitações 
Combinações quase 
permanentes de 
serviço (CQP) 
Nas combinações quase permanentes de 
serviço, todas as ações variáveis são 
consideradas com seus valores quase 
permanentes ψ2.Fqk 
Fd,ser = ΣFgik + Σψ2j Fqjk 
(7.1) 
 
Combinações 
freqüentes de serviço 
(CF) 
Nas combinações freqüentes de serviço, a ação 
variável principal Fq1 é tomada com seu valor 
freqüente ψ1 Fq1k e todas as demais ações 
variáveis são tomadas com seus valores quase 
permanentes ψ2 Fqk 
Fd,ser = ΣFgik +ψ1 Fq1k + 
Σψ2j Fqjk 
(7.2) 
 
Combinações raras de 
serviço (CR) 
Nas combinações raras de serviço, a ação 
variável principal Fq1 é tomada com seu valor 
característico Fq1k e todas as demais ações são 
tomadas com seus valores freqüentes ψ1.Fqk 
Fd,ser = ΣFgik + Fq1k + 
Σψ1j Fqjk 
(7.3) 
 
Onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço, Fq1k é o valor característico 
das ações variáveis principais diretas,Ψ1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS, Ψ2 
é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS. 
 
 
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 Antes de continuar pode-se agora, depois de introduzidos os conceitos 
anteriores, fazer um breve resumo do procedimento do projetista quando desenvolve 
um projeto de protendido. 
 Inicialmente o projetista deve identificar dois aspectos importantes o tipo ou 
destinação da obra a ser projetada (enquadra-la na descrição da tabela 7.5 é um ediciio 
público? Uma ponte?) em seguida deve-se verificar, através da localização da obra, 
qual é a condição de agressividade ambiental que mais retrata o meio que cerca a 
obra. De posse destas duas informações o projetista deve saber, escolher o tipo de 
protensão quanta a execução que vais ser empregada (pré ou pós tração). Agora com 
três informações básicas anteriores é possível através das tabelas 7.4 e 7.5 fixar os 
valores máximo de A/C; resistência de compressão mínima do concreto e cobrimentos 
mínimos para a armadura de diversos os elementos. Com o tipo de protensão em 
relação ao processo construtivo, a condição fica determinada a intensidade de 
protensão a ser utilizada (parcial, limita ou completa). Finalmente com todos estes 
dados pode-se definir a maneira de verificar a fissuração (abertura de fissuras ou 
verificação de tensões) e ainda as combinações a serem usadas (quase permanente, 
freqüente ou rara). 
Figura 7.2 Esquema de procedimento para se atender, em relação ao projeto, as 
condições de durabilidade previstas pela NBR6118:2003. 
 
Na figura 7.2 representa-se esquematicamente como pode-se proceder para, em 
relação ao projeto, atender as condições de durabilidade previstas pela 
NBR6118:2003. 
 
Define-se CAA e tipo da edificação (prédio público, ponte) 
 
Ficam fixados valores de A/C máximo; fck mínimo (Tabela 7.4) 
e cobrimentos mínimos de armadura (tabela 7.5) 
 
Define-se ou escolhe-se o tipo de protensão se pré ou pós tração. 
 
Com 
CAA e 
tipo de protensão (pré ou pós tração) 
 
Define-se 
Protensão parcial 
Protensão limitada 
Protensão completa 
 
 
Protensão parcial 
 
 
Abertura de fissuras 
 
Combinação freqüente 
 
 
Protensão limitada 
 
Verificação de tensões 
 
 
Combinação quase permanente 
 
Combinação frequente 
 
Protensão completa 
 
Verificação de tensões 
 
 
Combinação frequente 
 
Combinação rara 
 
 
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7.6 –Abertura máxima de fissuras 
 A discussão do controle da abertura máxima das fissuras em peças de concreto 
protendido é similar as de concreto armado por esta razão usa-se aqui trechos do texto 
de CARVALHO & FIGUEIREDO FILHO [2004]. 
De acordo com a NBR6118:2003 deve-se garantir, com razoável 
probabilidade, que as aberturas das fissuras fiquem dentro de limites que não 
comprometam as condições de serviço e a durabilidade da estrutura. As aberturas, 
dentro desses limites, geralmente não causam perda de segurança no estado limite 
último. 
Fissuras são inevitáveis em estruturas de concreto e permitidas em peças em 
concreto protendido com protensão parcial em que existem tensões de tração 
resultantes de carregamento direto ou por restrição a deformações impostas. Podem 
ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica ou térmica e expansão devida 
às reações químicas internas do concreto nas primeiras idades. Essas aberturas podem 
representar um estado de fissuração inaceitável. 
As fissuras devem ser evitadas ou limitadas por meio de cuidados 
tecnológicos, especialmente na definição do traço do concreto e nos cuidados de cura 
do mesmo. 
De maneira geral, em estruturas bem projetadas e construídas e sob cargas 
especificadas na normalização (com combinação de ações freqüente), quando as 
fissuras apresentarem aberturas que respeitem, no caso de concreto protendido a 
abertura de 0,2 mm como indica a tabela 7.2 ( 0,2; 0,3 e 0,4 para peças em concreto 
armado), não haverá perda de durabilidade ou perda de segurança quanto aos estados 
limites últimos. 
As aberturas wk da tabela 7.3 referem-se a valores característicos limites para 
garantir proteção adequada das armaduras quanto à corrosão. Não se deve esperar, no 
entanto, que as aberturas reais de fissuras correspondam estritamente aos valores 
indicados, isto é, fissuras reais podem eventualmente ultrapassar estes limites. 
Finalmente, a combinação freqüente em serviço para a verificação de abertura de 
fissuras, será feita, de acordo com as tabelas 7.5 e 7.6. 
 
 
7.6.1 Controle da fissuração através da limitação da abertura estimada das 
fissuras 
 No item 17.3.3 da NBR 6118:2003 estão estabelecidos os critérios para a 
verificação dos valores limites da abertura de fissuras, dados na Tabela 7.2, para 
peças lineares, analisadas isoladamente, e submetidas à combinação de ações 
definidas no item anterior. 
A avaliação dos valores das aberturas de fissuras, na verificação do estado 
limite (item 17.3.3.2 da norma), é feita para cada elemento ou grupo de elementos das 
armaduras passivas e ativas aderente (excluindo os cabos de protendido que estejam 
dentro de bainhas), que controlam a fissuração da peça, considerando-se uma área Acr 
do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam 
mais de 7,5⋅φ do contorno do elemento da armadura (Figura 4.4). 
É conveniente que toda a "pele" (região próxima à superfície) da viga na sua 
zona tracionada tenha armaduras que limitem a abertura de fissuras na região Acr,i 
considerada, conforme indicadona Figura 7.2. 
 
 
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Figura 7.2 Concreto de envolvimento da armadura (Figura 17.3, da 
NBR 6118:2003). 
 
O tamanho da abertura de fissuras (w) determinado para cada parte da região 
de envolvimento, será o menor dentre os obtidos pelas duas expressões a seguir, com 
σsi, φi, Esi, ρri definidos para cada área de envolvimento: 
 
( )⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ρ⋅
σ⋅η⋅
φ
σ⋅⋅σ⋅η⋅
φ
45 + 4
E12,5
f
3
 
E
 
 12,5
 entremenor = w
risi
si
i
i
mct,
si
si
si
i
i
 
)6.7(
)5.7(
 
sendo: 
 
Acri − área da região de envolvimento protegida pela barra φi; 
Esi − módulo de elasticidade do aço da barra φi considerada; 
φi − diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; 
ρri − taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de bainha) em 
relação à área da região de envolvimento (Acr); 
 ηi − coeficiente de conformação superficial η1 da armadura passiva considerada(1); 
fct,m − resistência média do concreto à tração(2); 
σsi − tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no 
estádio II(3). 
Nos elementos estruturais de protensão, σsi é o acréscimo, no centro de gravidade 
da armadura, entre o estado limite de descompressão e o carregamento 
considerado. Deve ser calculado no estádio II considerando toda a armadura 
ativa, inclusive aquela dentro de bainha. 
 
 
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Notas: 1. O coeficiente η1 que mede a conformação superficial é dado no item 9.3.2.1 
da norma, e vale 1,0 para barras lisas (CA-25), 1,4 para barras entalhadas 
(CA-60) e 2,25 para barras (nervuradas) de alta aderência (CA-50). 
Para fois lisos de protensão η1=ηp1=1,0 para cordoalhas de 3 e sete fios 
ηp1=1,2 e para fios dentados ηp1=1,4 
 2. fct,m é definido no item 8.2.5 da norma (ver Capítulo 1, Seção 1.6.2.4, eq. 1.5).
 3. O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e 
despreza a resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando 
15e =α (relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto). 
 
Para evitar o cálculo no estádio II pode-se, a favor da segurança, considerar, 
de maneira simplificada, a tensão na armadura dada por: 
 
qgg
qggf
qgg
qggf ykyd
si ++
⋅++⋅⋅=++
⋅++⋅=
21
121
21
121
15,14,14,1
ψψσ (7.6) 
 
Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m, pode-se considerar atendida a 
condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a abertura de fissuras 
calculada na região das barras mais tracionadas for verificada e houver uma armadura 
lateral de pele que atenda o item 17.3.5.2.3 da NBR 6118:2003. 
 
 
7.6.2 Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras 
 A peça atenderá ao estado limite de fissuração (aberturas máximas esperadas 
da ordem de 0,3 mm para o concreto armado) sem a avaliação da grandeza da 
abertura da fissura (item 17.3.3.3, NBR 6118:2003), quando forem atendidas as 
exigências de cobrimento e de armadura mínima determinadas pela norma e as 
restrições da Tabela 7.4 (Tabela 17.2, NBR 6118:2003), quanto ao diâmetro máximo 
(φmax)e ao espaçamento máximo (smax). A tensão σs deverá ser determinada no 
Estádio II. 
 
Tabela 7.7 Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta 
aderência. 
Valores máximos para 
concreto sem armaduras ativas 
Tensão σs na 
barra (MPa) 
φmáx (mm) smáx (cm) 
160 32 30 
200 25 25 
240 16 20 
280 12,5 15 
320 10 10 
360 8 6 
 
 Finalmente cabe destacar que alem das condições citadas anteriormente: 
imposição de valor mínimo para fck e relação máxima de A/C, controle do estado ou 
 
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178 
abertura de fissura para garantir a durabilidade da peça é preciso também impor 
recobrimentos mínimos na armadura (inclusive a de protensão) que são dadas no 
outro capítulo. 
7.7.Exemplos Numéricos 
 Exemplo numérico 7.1. 
Verificar, para a seção mais solicitada, o estado de serviço em relação a fissuração de 
uma laje maciça quadrada de 10x10m com 25 cm de espessura submetida a uma ação 
de sobrecarga permanente de 1,75 kN/m2 e a uma carga acidental de 5 kN/m2. 
Considerar a laje simplesmente apoiada em todo seu contorno e que a rotação é livre. 
Dados: prédio residencial e ambiente de orla marítima com protensão com pós-tração 
e como solução inicial cabos parabólicos de cordoalha engraxada (φ=1/2”)que 
efetuarão no tempo infinito uma carga de –4 kN/m2. 
RESOLUÇÃO 
A solução deste problema atribuindo um valor de carga a ser equilibrado pela 
protensão é uma técnica atribuída T. Y. LIN ( ) muito usada nas décadas de 50 e 60 
quando o projeto de protensão basicamente era feito através do controle de tensões 
normais. Hoje é preciso lembrar que alem das verificações de tensões (fissuração) é 
preciso também atender a condição de estado limite último. 
• Condições de durabilidade. 
Por se tratar de ambiente marinho pela tabela 7.3 tem-se CAA III e como a 
protensão é com pós-tração deve-se, segundo a tabela 7.2 usar protensão limitada. 
Com a tabela 7.4 conclui-se que o concreto deve ter fck=35 MPa e o máximo A/C 
é de 0,50e pela tabela 7.5 conclui-se, considerando edifício residencial, que os 
valores de Ψ1 e Ψ2 são respectivamente 0,4 e 0,3. O cobrimento recomendado 
para esta situação (ver próximo capítulo) é de 4,5 cm. 
• A ação de protensão atuante na laje pode ser considerada a partir do uso da carga 
equivalente u apresentada no capítulo 1 é dada por (ver figura 7.3): 
2
8
l
ePu = 
com P – Força de protensão considerada constante no trecho analisado 
e – flecha da parábola do cabo 
l - vão da parábola 
 
Figura 7.3- Carga equivalente de protensão devido um cabo parabólico 
Como se trata de laje armada em duas direções (cabos em duas direções). 
 
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179 
2
16
l
Peu = o valor de e pode ser visto na figura 7.4 
 assim P=4x102/(16x0,675)=370 kN 
 
25
12,5
4,5
1,25 1,25
4,75
6,75 cm
cordoalha Ø1/2"
 
Figura 7.4- Seção transversal no meio do vão da laje mostrando o valor da 
excentricidade e=6,76 cm 
• Características Geométricas 
Em se tratando de laje maciça toma-se uma faixa de um metro e portanto: 
A=bxh=1X0,25=0,25 m2; Wi=Ws= == 6
25,01
6
22 xbh 0,01042 m3. 
• Momentos 
Como se trata de placa maciça pode-se se calcular os momentos máximos usando 
a teoria de placas delgadas e as tabelas correspondente como em CARVALHO & 
FIGUEIREDO FILHO [2001] e sendo quadrada a placa: 
mx=my= 100
2
xx plμ 
com 
xμ -coeficiente tabelado que no caso é igual a 4,41 
p – ação uniforme atuante 
xl - valor do vão na menor direção neste caso igual a 10 m. 
Aplicando a expressão anterior obtêm-se os seguintes os momentos de pesopróprio carga acidental e de protensão. 
 
Tabela 7.7 – Momentos atuante 
Momento fletor màximo Valor do momento (kN.m/m) 
Devido ao peso próprio (g1+g2=8 kN/m2) mx, g1+g2= 35,3 
Devido à carga acidental (q=5 kN/m2) mx, q=22,0 
Devido ao efeito da protensão (p=-4 kN/m2) mx, p=-17,64 
 
• Verificações de tensões 
Usando a tabela 7.16 e lembrando sempre que é necessário considerar as máximas 
e mínimas ações, como já feito nos exemplos do capítulo 1. 
 
Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações 
Freqüente 
 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
180 
Os limites neste caso são 
Tração → fct,inf = -0,21. 3 2ckf (ver item 3.6) e como se trata de seção retangular 
este valor deve ser multiplicado por 1,5 ficando –0,315. 3 2ckf 
Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck 
Substituindo fck=35 chega-se a condição: 
22 245003370 m
kN
m
kN ≤≤− σ 
BORDA INFERIOR 
Situação momento máximo 
1) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q1
W
.Mψ+ = =−−+
0,01042
0,4x22,0
0,01042
35,2
0,01042
6,17
0,25
370 
-1059 kN/m2 
( são usadas aqui as convenções do capítulo em que o sinal negativo indica 
tensão de tração e o positivo o de compressão e ainda que o momento positivo 
leva a uma tração na borda inferior). 
Situação momento mínimo 
2) = 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q1
W
.Mψ+ = =−−+
0,01042
0,4x0
0,01042
35,2
0,01042
6,17
0,25
370 
-214 kN/m2 
(neste caso específico o momento mínimo corresponde a não atuação da carga 
acidental, ou seja, Mq=0). 
 
BORDA SUPERIOR 
Situação momento máximo 
3) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
s
q1
W
.Mψ+ = =++−
0,01042
0,4x22,0
0,01042
35,3
0,01042
6,17
0,25
370 
4019 kN/m2 
 
Situação momento mínimo 
4) s= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
s
q1
W
.Mψ+ = =++−
0,01042
0,4x0
0,01042
35,3
0,01042
6,17
0,25
370 
3174 kN/m2 
As condições de tensão estão atendidas para a combinação freqüente pois na situações 
extremas (condições 1 e 3) tem-se: 
σ = -1059>-3270 kN/m2 
e 
σ = 4019<24500 kN/m2 
Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações 
Quase Permanente 
Os limites neste caso são 
Tração → σ = 0 
Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck 
Substituindo fck=35 chega-se a condição: 
 
 
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181 
 
500.240 ≤≤σ 
BORDA INFERIOR 
Situação momento máximo 
5) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q2
W
.Mψ+ = =−−+
0,01042
0,3x22,0
0,01042
35,2
0,01042
6,17
0,25
370 
-848 kN/m2 
Situação momento mínimo 
6) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q2
W
.Mψ+ = =−−+
0,01042
0,3x0
0,01042
35,2
0,01042
6,17
0,25
370 
-214 kN/m2 
BORDA SUPERIOR 
Situação momento máximo 
7) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q2
W
.Mψ+ = =++−
0,01042
0,3x22,0
0,01042
35,3
0,01042
6,17
0,25
370 
3808 kN/m2 
Situação momento mínimo 
8) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q2
W
.Mψ+ = =++−
0,01042
0,3x0
0,01042
35,3
0,01042
6,17
0,25
370 
3174 kN/m2 
 
As condições de tensão não estão atendidas para a combinação quase permanente pois 
na situação de momento máximo e mínimo na borda inferior (condição 5 e 6) tem-se 
tração: 
σ = -848 > 0 kN/m2 (não atende!) 
 
Exemplo numérico 7.2. 
Dimensionar o esforço de protensão a ser aplicada na laje do exemplo anterior, com 
protensão uniforme ao longo de toda a laje de maneira que na seção mais solicitada, o 
estado de serviço em relação a fissuração esteja atendido. Considerar os mesmos 
dados que o problema anterior. 
RESOLUÇÃO 
Considerando o cobrimento mínimo (tabela 7.2 da NBR6118:2003) de 4,5 cm 
e que será utilizada cordoalha engraxada de ½” o valor do cg da armadura estará a 5,7 
cm da borda inferior (no meio do vão). 
Tomando uma faixa de um metro tem-se: 
22 10
0675,01682 PePu ××=×=
l
=-0,0108P 
N=P e Mp= - ( 100
1041,40108,0 2××× P )P= -0,0476P 
 
 
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182 
Usando já as equações do problema anterior 
 
Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações 
Freqüente 
 BORDA INFERIOR 
1*) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++ 3370
W
.M
i
q1 −≥+ψ 
3370
0,01042
0,4x22,0
0,01042
35,3
0,01042
0476,0
0,25
P −≥−−+ xP → P≥ 100,6 kN 
 
2*) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++ 24500
W
.M
i
q1 ≤+ψ 
24500
0,01042
0,4x0,0
0,01042
35,3
0,01042
0476,0
0,25
P ≤−−+ xP → P≤ 2463 kN 
 
BORDA SUPERIOR 
 
3*) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++ 24500
W
.M
s
q1 ≤+ψ 
245000
0,01042
0,4x22,0
0,01042
35,3
0,01042
0476,0
0,25
P ≤++− xP → P≥ -35559 kN 
 
4*) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++ 3000
W
.M
s
q1 −≥+ψ 
3370
0,01042
0,4x0,0
0,01042
35,2
0,01042
0476,0
0,25
P −≥++− xP → P≤ 11887 kN 
 
Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações 
Quase Permanente 
 
BORDA INFERIOR 
5*) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++ 0
W
.M
i
q2 ≥+ψ 
0
0,01042
0,3x22,0
0,01042
35,3
0,01042
0476,0
0,25
P ≥−−+ xP → P≥ 469 kN 
 
6*) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++ 245000
W
.M
i
q2 ≤+ψ 
245000
0,01042
0,3x0,0
0,01042
35,3
0,01042
0476,0
0,25
P ≤−−+ xP → P≤ 3259 kN 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO 
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183 
BORDA SUPERIOR 
7*) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++ 24500
W
2.M
s
q ≤+ψ 
245000
0,01042
0,3x22,0
0,01042
35,2
0,01042
0476,0
0,25
P ≤++− xP → P≥ -35929 kN 
 
8*) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++ 0
W
.M
s
q2 ≥+ψ 
0
0,01042
0,3x0,0
0,01042
35,3
0,01042
0476,0
0,25
P ≥++− xP → P≤ 5942 kN 
 
 
Finalmente o valor da força de protensão deverá estar contida no intervalo 
kNP 2463469 ≤≤ 
 
Exemplo Numérico 7.3 Considerando o exemplo e que o valor de d=20 cm e que 
σpt=∞=945 MPa calcule a força de protensão (ou o número de cabos) necessária no 
meio da laje (em cada direção) para atender o estado limite último. Aço CP 190. 
RESOLUÇÃO 
 
 o momento no estado limite último é dado por: Md =1,4(35,3+22)=80 kNm/m 
 para o valor de KMD tem-se 
 
 KMD= 
4,1
3500020,01
80
2 ××
=0,08 que conduz εs=1,0% e kz=0,9472 
Para o pré-alongamento tem-se: εp=945/200000=0,472% 
Assim considerando inicialmentea armadura aderente tem-se 
 εt =εs+εp =1+0,472=1,472 que conduz (tabela 6. ) a σpd=150,7 kN/cm2 
 Ap = 15020,09472,0
80
×× = 2,81 cm
2 
Imaginando agora que a seção final seja já determinada com mais 15% Ap=3,23 
cm2 
usando a expressão 6.1 Δσp= 70 + fck/(100ρp) = 70+35/(3,23/20)=286,7 
σpd=σpt=∞ + Δσp =945+286,7=1231 MPa 
Ap = 12320,09472,0
80
×× = 3,43 cm
2 
Com este novo valor 
Δσp= 70 + fck/(100ρp) = 70+35/(3,43/20)=274 
σpd=σpt=∞ + Δσp =945+274=1219 MPa 
 Ap = 9,12120,09472,0
80
×× = 3,46 cm
2 
que pode ser considerada a seção final e que conduz a uma força de: 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO 
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ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
184 
 Np =3,46×94,5=327 kN (menor que o valor encontrado no exercício anterior 
496 kN) 
 Assim se a armadura fosse dimensionada inicialmente pelo ELU ao se fazer a 
verificalçao de ELS (problemas 1 e 2) ficaria claro a necessidade em aumentar a força 
de protensão, ou seja, o número de cabos. 
 
Exemplo numérico 7.4 
Para uma viga cuja seção transversal tem a forma de te com os valores de 
bf=10,5 m hf=20 cm d= 1,85m pede-se: 1) calcular a armadura necessária em S5 no 
ELU e verificar a condição de fissuração. Considerar o uso de cabos 12φ1/2” (Ap-
11,45 cm2) cujo representante tem σpt=∞ = 900 MPa, e ainda concreto com fck=35 
MPa, Considerar ainda como dados os valores das tabelas 7.6 e 7.7. 
Resumo dos momentos fletores das ações. 
 Os valores dos Momentos fletores são apresentados na tabela A5 para as 
seções S0,S2 e S5. 
TABELA 7.6 Momentos fletores (kN.m) 
 Mg1 Mg2 Mqmin ϕMqmin Mqmáx ϕMqmáx 
S0 -4228 -305 -2470 -3211 0 0 
S2 7688 918 -1999 -2590 2737 -500 
S5 13526 1602 -1285 -1670 4180 -200 
Tabela 7.7- Resumo das características geométricas de S0, S2 e S5 
 A (m2) ys (m) yi (m) I (m4) Wi (m3) Ws (m3) 
S0 6,3825 0,8722 1,1278 3,4577 3,066 3,964 
S2 5,2235 0,7907 1,2093 2,9451 2,435 3,724 
S5 4,5875 0,7220 1,2780 2,5740 2,015 3,565 
 
Resolução 
ELU 
pré alongamento εp=900/200000=0,45% 
Md =1,35 (Mg1+Mg2)+1,5 Mq = 1,35(13526+1602)+1,5×4180=20422+6270=22693 
kN.m 
situação de equilíbrio da seção no ELU 
4,1
3500085,15,10
22693
2 ××
=KMD =0,03 que conduz a kz=0,9759, kx=0,0449 e εp=1% 
Assim x=0, 0449×1,85=0,08m <hf (correto !) 
εt=εp+εs=1+0,45=1,45% 
da tabela σpd=150,5 
 Ap= =×× 5,15085,19759,0
22963 84,51 cm2 (8 cabos) 
Força normal de protensão Np= 90×8×14,5=10440 kN 
 
 
Verificação da fissuração 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO 
CAP. 7 – Verificação dos Estados Limites de Serviço 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
185 
• Verificações de tensões 
Usando a tabela 7.6 e lembrando sempre que é necessário considerar as máximas e 
mínimas ações, como já feito nos exemplos do capítulo 1. 
Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações 
Freqüente 
Os limites neste caso são 
Tração → fct,m = -0,3. 3 2ckf 
Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck 
Substituindo fck=35 chega-se a condição: 
22 245003370 m
kN
m
kN ≤≤− σ 
BORDA INFERIOR 
Situação momento máximo 
9) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q1
W
.Mψ+ = 
=−+−×+
2,015
0,4x4180
2,015
160213526
2,015
128,110400
4,5875
10400 2267+5821-7507-830= 
-249 kN/m2 
 
( são usadas aqui as convenções do capítulo em que o sinal negativo indica 
tensão de tração e o positivo o de compressão e ainda que o momento positivo 
leva a uma tração na borda inferior). 
Situação momento mínimo 
10) = 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q1
W
.Mψ+ = 
=++−×+
2,015
0,4x200
2,015
160213526
2,015
128,110400
4,5875
10400 2267+5821-7507+40= 
621 kN/m2 
 
BORDA SUPERIOR 
Situação momento máximo 
11) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
s
q1
W
.Mψ+ = 
=+++×−
2,574
0,4x4180
2,574
160213526
2,574
128,110400
4,5875
10400 2267-4457+5877+650= 
4377 kN/m2 
Situação momento mínimo 
12) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
s
q1
W
.Mψ+ = 
=−++×−
2,574
0,4x200
2,574
160213526
2,574
128,110400
4,5875
10400 2267-4457+5877-31= 
3656 kN/m2 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO 
CAP. 7 – Verificação dos Estados Limites de Serviço 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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186 
As condições de tensão estão atendidas para a combinação freqüente pois na situações 
extremas (condições 1 e 3) tem-se: 
σ = -249>-3370 kN/m2 
e 
σ = 4377<24500 kN/m2 
Estado limite de formação de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações 
Quase Permanente 
Os limites neste caso são 
Tração → σ = 0 
Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck 
Substituindo fck=35chega-se a condição: 
500.240 ≤≤σ 
BORDA INFERIOR 
Situação momento máximo 
13) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q2
W
.Mψ+ = 
=−+−×+
2,015
0,3x4180
2,015
160213526
2,015
128,110400
4,5875
10400 2267+5821-7507-622= 
-41 kN/m2 
Situação momento mínimo 
14) σi= 
i
g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q2
W
.Mψ+ = 
=++−×+
2,015
0,3x200
2,015
160213526
2,015
128,110400
4,5875
10400 2267+5821-7507+30= 
581 kN/m2 
BORDA SUPERIOR 
Situação momento máximo 
15) σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q2
W
.Mψ+ = 
=+++×−
2,574
0,3x4180
2,574
160213526
2,574
128,110400
4,5875
10400 2267-4457+5877+487= 
4174 kN/m2 
 
Situação momento mínimo 
σs= 
s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
i
q2
W
.Mψ+ = 
 
=−++×−
2,574
0,3x200
2,574
160213526
2,574
128,110400
4,5875
10400 2267-4457+5877-23= 
3664 kN/m2 
As condições de tensão estão praticamente atendidas porque mesmo para a 
combinação quase permanente pois na situação de momento máximo na borda 
inferior (condição 5) tem-se uma tração que poderia ser facilmente evitando 
mudando-se o valor de e 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO 
CAP. 7 – Verificação dos Estados Limites de Serviço 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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187 
σ = -41 ≅ 0 kN/m2 (situação atendida!) 
 
 
Bibliografia 
NBR 71979[ ] 
NBR 6118:2003[ ]