Circuitos_RLC

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CURSO: Engenharia Elétrica DEPARTAMENTO: Engenharias e Ciências da Computação 
PROFESSOR: Lucas de Carvalho E-mail: lucasdecarvalho@san.uri.br 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS III 
 
 
3 ELEMENTOS DINÂMICOS 
3.1 CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA 
3.2 O CAPACITOR, DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES 
3.2.1 CURVA CARACTERÍSTICA V X I 
3.2.2 POTÊNCIA E ENERGIA 
3.3 O INDUTOR, DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES 
3.3.1 CURVA CARACTERÍSTICA V X I 
3.3.2 POTÊNCIA E ENERGIA 
3.4 O PRINCÍPIO DA DUALIDADE 
3.5 CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA EQUIVALENTES 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS III 
 
 
 3. ELEMENTOS PASSIVOS DINÂMICOS 
 
 Neste item iremos considerar dois elementos passivos, o capacitor e o indutor, 
além do resistor, que são bem diferentes do resistor no que diz respeito à sua função, 
princípio de funcionamento e estrutura interna. 
 Ao contrário do resistor, esses dois elementos apenas exibem seu 
comportamento característico quando ocorrem variações de tensão ou corrente no 
circuito em que se encontram. Além disso, considerando a situação ideal, não dissipam 
energia, como o resistor, mas a armazenam e podem devolvê-la mais tarde ao circuito. 
 Uma importante característica de sistemas dinâmicos é que eles têm capacidade 
de memória. Um exemplo típico de sistema dinâmico é o capacitor, já que possui a 
capacidade de armazenar energia potencial. Entretanto, o resistor não é um sistema 
dinâmico, haja vista que não possui habilidade de reter qualquer informação quando as 
excitações de entrada são removidas. 
 Sistemas dinâmicos são usualmente descritos através de equações diferenciais. 
 
 3.1 O Capacitor, Definições e Propriedades 
 
 3.1.1 Capacitância 
 
 2 
 Na figura a seguir, duas placas paralelas, feitas de um material condutor e 
separadas por um espaço vazio, estão ligadas a uma bateria através de um resistor e uma 
chave. 
 
 Inicialmente a chave “s” está aberta e as placas estão descarregadas. Quando a 
chave “s” é fechada, elétrons começam a sair da placa superior e se acumular na placa 
inferior, depois de passarem pelo resistor e pela bateria. Inicialmente, o capacitor se 
comporta como um curto-circuito, com a corrente limitada apenas pela resistência do 
circuito. Com o tempo a corrente diminui. Após um certo tempo acumula-se uma carga 
positiva na placa superior e os elétrons se acumulam na placa inferior. Esta transferência 
de elétrons continua até que a diferença de potencial entre as placas seja igual à tensão 
da bateria. 
 Este elemento, constituído apenas por duas placas condutoras paralelas 
separadas por um material isolante (neste caso, o ar), é chamado de capacitor. 
 Capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode 
armazenar em suas placas, e é dado em Farad. 
 Expressa em forma de equação, a capacitância é definida por: 
 
V
Q
C  (F) 
C = Farads (F); 
Q = Coulombs (C); 
V = Volts (V). 
 
 Se uma diferença de Potencial de “V” volts é aplicada entre duas placas 
separadas por uma distância “d”, a intensidade do campo elétrico na região entre as 
placas é dada por: 
d
V
 (V/m) 
 
 3.1.2 Rigidez Dielétrica 
 
 O objetivo do dielétrico é criar um campo elétrico com o sentido oposto ao do 
campo elétrico criado pelas cargas das placas. 
 O campo elétrico tende a aumentar ou diminuir de acordo com o material 
dielétrico utilizado. 
+
E
Rs
++++++
------
VC=E
I
 3 
 Portanto, a capacitância varia conforme a área das placas, distância entre as 
placas e de acordo com o dielétrico utilizado. 
 Para cada dielétrico existe um valor de campo elétrico que, se aplicado ao 
material, irá destruir algumas ligações moleculares, possibilitando o aparecimento de 
uma corrente. A tensão por unidade de comprimento (intensidade do campo elétrico) 
necessária para que haja uma corrente em um dielétrico é uma indicação de sua rigidez 
dielétrica e é chamada de tensão de ruptura. Quando isto acontece, o capacitor passa a 
ter características de um condutor. 
 Obs: exemplo de ruptura é o raio, que ocorre quando a diferença de potencial 
entre a nuvem e a terra é tão grande que podem ser criados caminhos para o escoamento 
de cargas através da atmosfera, que se comporta como um dielétrico. 
 
 
 
 3.1.3 Corrente de Fuga 
 
 Até agora se considerou que um fluxo de elétrons em um dielétrico ocorre 
somente quando a tensão aplicada excedesse a tensão de ruptura. Entretanto, na prática 
existem elétrons livres em todos os dielétricos devido a impurezas e as forças internas 
no material. 
 Quando uma tensão é aplicada entre as placas de um capacitor, uma corrente de 
fuga, causada pelos elétrons livres, flui de uma placa para outra. Entretanto esta corrente 
é tão pequena que pode ser ignorada para a maioria das aplicações práticas. 
 
 3.1.4 Tipos de Capacitores 
 
 Os capacitores podem ser classificados em fixos e variáveis. 
 
 
 
Fixo 
 
 
Variável 
- Capacitores Fixos – mais comuns são os de mica, cerâmica, eletrolítico, 
de tântalo e de filme de poliéster; 
- Capacitores variáveis – o dielétrico desses capacitores é o ar. 
 
 
3.2 Curva Característica 
 
3.2.1 Circuitos Capacitivos: Fase de Carga 
 
 Considere o circuito a seguir, utilizado para carregar um capacitor: 
 4 
 
 
 No instante em que a chave “s” é colocada na posição 1 a bateria força a 
remoção de elétrons da placa superior em direção a placa inferior, provocando uma 
carga positiva na placa superior e uma carga negativa na placa inferior. Esta carga irá 
aumentar até que a tensão entre os terminais do capacitor seja igual a tensão da bateria. 
Neste instante a carga é dada por: 
ECVCQ c ..  (C) 
 A variação da corrente e da tensão é mostrada através dos seguintes gráficos. 
 
 No momento em que a chave é fechada o capacitor pode ser considerado como 
um curto-circuito. 
 Após a fase de carga, o capacitor pode ser substituído por um circuito aberto. 
 A taxa de decrescimento da corrente no capacitor é dada através da seguinte 
relação: 
RCt
C eR
E
i / (A) 
onde o fator RC é chamado de constante de tempo do sistema e dado em segundos. 
CR. (s) 
 No instante de tempo t = 0s a corrente no capacitor é dada pela relação: 
R
E
e
R
E
e
R
E
i RCtC 
 0/ (A) 
 Para valores crescentes de t os valores de iC diminuem rapidamente. 
 A tensão entre os terminais do capacitor é dada pela equação: 
)1( / RCtC eEv
 (V) 
 Como a exponencial RCte / diminui conforme o tempo aumenta, após algumas 
constantes de tempo a tensão do capacitor será igual da bateria E. 
+
E
1
R
vR
VcC
2
s + -
+
-
ic
iC 
R
E
 
t 
vC 
E 
t 
 5 
 Deve-se ressaltar que a capacitância é também uma medida do quanto o circuito 
se opõe à mudança de tensão entre seus terminais. Quanto maior a capacitância, maior a 
constante de tempo e mais tempo será necessário para que a tensão atinja o valor final. 
 
 
 A carga que se acumula entre os terminais de um capacitor pode ser obtida da 
seguinte forma: 
(C) 
 
)1(. / RCteECQ  (C) 
 Já a tensão entre os terminais do resistor pode ser calculada utilizando a 
definição de resistência: 
/.... tCRR eR
E
RiRiRv  (V) 
/. tR eEv
 (V) 
 Disto tem-se que: 
RC vEv  (V) 
/. tC eEEv
 (V) 
)1.( /tC eEv
 (V) 
 
 Exercício: Encontrar os valores de vC, iC e vR para o circuito dado após um 
período de 0,2s. 
 
 
 Quando a tensão entre os terminais do capacitor se torna igual à tensão da bateria 
E, o capacitor está totalmente carregado e permanece assim se não forem feitas 
mudanças no circuito. 
+
E=30V
1
R=11k
vR
VcC=7F
2
s + -
+
-
C1 C2 
C3 
E 
t 
vC 
CvCQ .
 6 
 Se o circuito for aberto, o capacitor conservará sua carga por um período de 
tempo determinado pela corrente de fuga. 
 
 3.2.2 Circuitos Capacitivos: Fase de Descarga 
 
 O circuito da figura abaixo está projetado para carregar e descarregar o 
capacitor. Quando a chave está na posição 1, o capacitor está carregando e quando a 
chave está na posição 2, está descarregando.A qualquer instante, se a chave “s” for passada da posição 1 para a posição 2, o 
capacitor começará a descarregar com a constante de tempo CR. , se comportando 
como uma bateria cuja tensão de saída diminui com o tempo. Neste caso, a corrente 
possui sentido inverso ao anterior, o que muda a polaridade da diferença de potencial 
entre os terminais do resistor. 
 Quando o capacitor estiver carregado com uma tensão igual a da fonte, a 
expressão para a tensão do capacitor no período de descarga será dada por: 
RCt
C eEv
/.  (V) 
 Durante esta fase de descarga a corrente iC também diminui com o tempo, da 
seguinte forma: 
RCt
C eR
E
i / 
 Como vR = vC: 
RCt
R eEv
/.  
 Na prática, o capacitor se descarrega totalmente após cinco constantes de tempo 
(5). Se, após transcorrido este período, alternarmos a chave da posição 2 para a posição 
1, o capacitor novamente entrará na fase de carga. Se a chave for alterada 
periodicamente após os períodos de carga e descarga, as curvas vC, iC e vR terão o 
seguinte aspecto: 
 
Exercício: Considerar que a tensão vC do exercício anterior tenha atingido 30V, 
e a chave seja alternada da posição 1 para a posição2. Determinar as expressões para vC, 
vR e iC depois que a chave é alterada e construa os gráficos determinando os sentidos e 
polaridades das variáveis de interesse. 
+
E
1
R
vR=0V
EvC
2
s
+
-
ic=0
 7 
 
 
Os casos analisados até agora foram aplicados considerando que o capacitor se 
carrega até que a tensão entre os terminais seja igual a da bateria. Quando a fase de 
carga é interrompida antes que a tensão da fonte seja atingida, a tensão nos terminais do 
capacitor será menor e a relação para a tensão no capacitor durante o período de 
descarga é dado por: 
RCt
iC eVv
/.  
onde Vi é a tensão no início da fase de descarga. 
RCti
C eR
V
i / 
 Exercício: 
 
a) Encontrar a expressão matemática para a tensão entre os terminais do capacitor 
do circuito dado se a chave for colocada na posição 1 em t = 0s; 
b) Repita o item (a) para iC; 
c) Encontrar os valores de vC e iC se a chave for colocada na posição 3 após 16ms; 
d) Encontrar as expressões matemáticas para a tensão vC e a corrente iC se a chave 
for colocada na posição 2 em t = 50ms. 
 
 
 
 
3.2.3 Valores Iniciais 
 
A abordagem utilizada até o momento considerou que o capacitor estivesse 
descarregado no instante em que a chave era fechada. Entretanto, vamos analisar os 
casos em que existe uma carga inicial (e conseqüentemente uma diferença de potencial) 
entre as placas de um capacitor. Esta tensão é denominada valor inicial. 
Vc 0,1uF+
E
20V R2 80k
R1
40k
+
-
1 2
3
R=11k
vR
VcC=7F
2
s +-
+
-
ic
 8 
 
A equação para vC neste caso é dado por: 
)1).(( /tifiC eVVVv
 
 Reagrupando estes termos têm-se que: 
).. //  tii
t
ffiC eVVeVVVv
  
).. //  ti
t
ffC eVeVVv
  
/).( tfifC eVVVv
 
 
 Exercício: Considere que o capacitor do circuito dado possua uma diferença de 
potencial inicial de 6V entre suas placas. 
 
a) Encontrar a expressão matemática para a tensão entre os terminais do capacitor 
depois que a chave é fechada; 
b) Encontrar a expressão matemática para a corrente durante o período transiente; 
c) Fazer um esboço das formas de onda de vC e iC. 
 
 
 
 
3.2.4 Valores Instantâneos 
 
 Em certas ocasiões é desejável obter a tensão ou a corrente em um instante 
particular de tempo. 
 
 Exemplo: Dada uma relação para )1.(20 2/ mtC ev
 , determinar a tensão sobre 
o capacitor após um período de tempo de 5ms. 
 
 3.2.5 CRTH . 
 
vC 
t 
Vi Resp. Transiente 
Estado 
Estacionário 
Vf 
+
E=30V
R=3,3k
VcC=2,2F 
s
+
-
 9 
 A maioria dos circuitos não está apresentada em uma forma simples. Porém, é 
sempre possível reduzir um circuito a uma forma mais simples encontrando o circuito 
equivalente de thévenin do circuito externo ao capacitor. 
 
 Exemplo: Dado o circuito abaixo, determinar: 
a) A expressão matemática para a tensão vC e a corrente iC em função do tempo 
após o fechamento da chave (posição 1 em t = 0s); 
b) A expressão matemática para a tensão vC e a corrente iC em função do tempo se 
a chave for colocada na posição 2 em t = 9ms; 
c) Desenhar as formas de onda de vC e iC. 
 
 
3.2.6 Capacitores em Série e Paralelo 
 
 
321
1111
CCCCT
 
 
213132
321
...
..
CCCCCC
CCC
CT 
 
 
 
 
 
 
321 CCCCT  
 
 
 
3.2.7 Energia Armazenada em um Capacitor 
 
 O capacitor ideal não dissipa a energia que lhe é fornecida, mas a armazena entre 
as placas na forma de um campo elétrico. A relação para esta energia armazenada é 
dada por: 
2.
2
1
CC vCW  (J) 
 
 Exercícios: 
1) Encontrar a tensão entre os terminais e a carga do capacitor C1 depois 
que ele estiver totalmente carregado. 
C3C2
+
E C1
C3C2
+
E
C1
Vc 0.4uF+
E
15V R4 8k
R3
7.5k
R1
45k
R2 20k
 1 2
 10 
 
 
2) Encontrar as tensões entre os terminais e as cargas dos capacitores depois 
que todas as cargas atingiram seus valores máximos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análise de Circuitos Contendo Resistências e Capacitores: 
 
- Resistência em Série com o Capacitor 
 
 
 
 
Chave na Posição: 
1 – Período de Carga; 
2 – Período de Descarga. 
 
1. Período de Carga 
 
No período de carga as tensões na resistência e na capacitância são 
complementares. A corrente aumenta ou diminui da mesma forma, já que estes 
componentes estão em série. 
)1.( /1
t
c eEv
 (V) 
/
1 .
t
R eEv
 (V) 
/
1
1 .
t
C eR
E
i  (A) 
 
+
E
1
R1
C1
2
s
C2
2uF
+ E
72V
R1
2
R2 7
C1
2uF
R3 8
+ E
60V
R1
10
R2 20 VC 15uF
 11 
2. Período de Descarga 
 
No período de descarga o capacitor se descarrega, mas mantém a mesma 
polaridade do período de carga, enquanto que a polaridade do resistor é inversa ao 
período de carga. O sentido da corrente será invertido se comparado ao período de 
carga. 
/
1 .
t
C eEv
 (V) 
/
1
t
C eR
E
i  (A) 
/
1 .
t
R eEv
 
 
 Exemplo: Determinar os valores de vC1, vR1, iC1 e iR1 para o circuito a seguir, 
considerando que o mesmo esteja no período de carga, para t = 1x10-3 (s). 
 
 
 
 
- Resistência em Paralelo com a Capacitância 
 
 
 
 
Chave na Posição: 
Fechada – Período de Carga; 
Aberta – Período de Descarga. 
 
1. Período de Carga 
 
As correntes que circulam através da resistência R1 e do capacitor possuem 
comportamentos opostos, ou seja, enquanto uma aumenta a outra diminui. 
A tensão sobre R1 e C1 será a mesma, já que os dois componentes estão em 
paralelo. O valor desta tensão será proporcional ao valor da resistência, sendo que vC1 
será máximo conforme a seguinte relação: 
1
1
1
.
RR
ER
vC 
 11 CR vv  
 
2. Período de Descarga 
 
+ E
20V
R1
2k
C1 1uF
+
E
R
R1 C1
 12 
Neste caso, o período de descarga terá o mesmo comportamento do circuito com 
resistência em série com o capacitor. 
 
 Exemplo: Determinar os valores de vC1 e iC1 considerando o período de carga 
para t = 1x10-3 (s). 
 
 
 
 
3.3 O INDUTOR, DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES 
 
3.3.1 Introdução 
 
Um fio condutor ao ser percorrido por uma corrente elétrica cria ao redor de si 
um campo magnético. Para melhor aproveitamento deste campo magnético o fio 
condutor pode ser enrolado em forma de espiral, ao redor de um núcleo, constituindo o 
componente denominado indutor. 
 
 
Pela Lei de Faraday se uma bobina é colocada onde existe a variação de fluxo 
magnético, irá ser produzida uma tensão induzida nos seus terminais. 
 
Se  constante, 0
df
d
 0 
 
 
 
Quando é a corrente que varia, o fluxo que atravessa a bobina também varia. 
Essa variação do fluxo irá induzir uma tensão entre os terminais da bobina. Esta 
polaridade é tal que tende a estabelecer uma corrente na bobina que provoca um fluxo 
no sentido contrário do original. Ou seja, se a tensão é induzida por um aumento da 
corrente, a polaridade é no sentido de diminuira corrente; Se for induzida por uma 
+
E=20V
R=6k
R1=2k C1=1uF
df
d
N
 
 Espiras 
Núcleo 
 13 
diminuição da corrente, a polaridade é no sentido de reduzi-la. Por isto que em uma 
bobina a corrente não varia instantaneamente. 
Chamamos de indutância (L) o parâmetro que relaciona o efeito do campo 
magnético com a corrente que o produziu e sua unidade é o Henry (H). 
Indutores são normalmente classificados pelo tipo do material contido no seu interior 
nos quais a bobina é enrolada. Podem ser várias dimensões, projetadas para introduzir 
quantidades específicas de indutância em um circuito. A indutância de uma bobina 
depende das propriedades magnéticas de seu núcleo. Materiais ferromagnéticos são 
freqüentemente usados para aumentar a indutância, aumentando o fluxo no interior da 
bobina. 
O material central pode ser ar ou qualquer material não magnético, ferro ou 
ferrite. Indutores feito com ar ou material não magnético são amplamente usados em 
rádio, televisores e circuitos de filmagens. Indutores com núcleo de ferro são utilizados 
em filtros e fornecimento de energia elétrica. Indutores com núcleo de ferrite são 
amplamente usados em aplicações de alta freqüência. 
A indutância de uma bobina pode ser calculada através da seguinte equação: 
l
AN
L
..2 
 N – número de espiras 
 - permeabilidade do núcleo 
 não é uma constante e depende de B e H: 
H
B
 B – depende do fluxo magnético 
H – força magnetizante (A/m) 
A – área de seção reta do núcleo (m) 
l – comprimento do núcleo. 
 
l
iN
H
.
 H – (força magnetizante) é independente do material que é feito o núcleo. 
H = f(N,I,l) 
 
 - A permeabilidade de um material magnético depende fortemente da força 
magnetizante aplicada ao material. 
À medida que H aumenta, a permeabilidade passa por um máximo e depois cai 
para valores muito pequenos. 
 
Se fizermos  = R . 0 
 
 14 
l
AN
l
AN
L R
R ...
... 0
2
0
2 


 - L = R . L0 
 
R – permeabilidade relativa – razão entre a permeabilidade magnética de um material e 
a permeabilidade do vácuo. 
0
 R 
0 – permeabilidade do vácuo - 0 = 4.10-7Wb/A.m 
L0 – Indutância da bobina com ar 
 
L = R.L0 
 
A indutância de uma bobina com núcleo ferromagnético é igual a indutância de 
uma bobina com núcleo de ar multiplicada pela permeabilidade relativa do núcleo. 
 
3.3.2 Simbologia 
 
Os indutores podem ser divididos em fixos e variáveis. Os indutores fixos 
podem ser de ar ou de ferro. Os indutores variáveis possuem um núcleo de material 
ferromagnético cuja posição é ajustada mecanicamente, variando a permeabilidade e, 
conseqüentemente, a indutância. 
 
 
Núcleo de Ar 
 
Núcleo de Ferro 
 
Variável 
 
 
3.3.3 Tensão Induzida 
 
Na análise de circuitos a tensão induzida pode ser considerada uma queda de 
tensão, dada pela seguinte relação: 
dt
di
Lv .1  (V) 
 
Esta relação demonstra que a tensão entre os terminais de um indutor é 
diretamente proporcional a indutância e a taxa de variação da corrente. Ou seja, quanto 
maior a taxa de variação da corrente no indutor, maior a tensão induzida – de acordo 
com a lei de Lenz. 
Em circuitos de corrente contínua se a corrente deixar de variar a tensão 
induzida nos terminais da bobina será zero. Portanto, quando 0
dt
di
 
 0)0.(.  L
dt
di
LvL (V). 
 
Semelhança com 
dt
dv
CiC . (A) - Quando 0dt
dvC 0Ci (A). 
 15 
 
Exemplo: Determinar a forma de onda da tensão média sobre o indutor de 
2,7mH sabendo que a corrente no indutor varia da seguinte forma: 
 
 
3.3.4 Indutor: Fase de Energização 
 
Na figura abaixo é apresentado o circuito de energização de um indutor: 
 
 
Considerando inicialmente o indutor desenergizado, em t = 0s fechamos a chave 
S do circuito. Neste instante a corrente inicial é nula, pois o indutor se opõe às variações 
bruscas da corrente. 
Portanto, em t = 0: 
 i = 0 (A) 
 vR = R.i = R.(0) = 0 
 vL = E (V) 
 
Após essa oposição inicial, a corrente aumenta gradativamente obedecendo a 
uma função exponencial, até atingir um valor máximo (imáx), quando o indutor estiver 
totalmente energizado nesta situação, 
R
E
imáx  (A). 
 
Instante t = 0s 
 
Estado Estacionário 
 
A equação para a corrente iL durante a fase de armazenamento é dada por: 
)1.()1.( //  ttmáxL eR
E
eii   onde 
R
L
 (s). 
 
A fase de energização termina e o circuito R-L entra no estado estacionário após 
um período equivalente a cinco constantes de tempo )5(  . 
+
E
vL
R vR 
L 
s
+
+
- 
-
+
E
vL=0
R vR=E
 
+
+
-
-
i=E/R
+
E
vL=E
R vR=0
 
s
+
+
-
-
i=0
 16 
Como a corrente não muda instantaneamente em um circuito indutivo, quanto 
maior a indutância, mais o circuito irá se opor a uma rápida variação da corrente. 
 
 
No circuito R-L analisado, quando a chave “s” é fechada a tensão no indutor 
salta bruscamente até E (V) e a partir disto decais exponencialmente até 0(V). 
 
/. tL eEv
 (V) 
 
 
 
Praticamente, em )5(  
R
E
iL  (A), 0Lv (V) e o indutor pode ser substituído 
por um curto-circuito. 
Como RiRiv LRR ..  (V) 
Re
R
E
v tR )].1([
/ (V) - )1.( /tR eEv
 (V) 
 
A curva de vR tem a mesma forma que a curva de iL. 
 
 
Exemplo 1: Determinar as expressões matemáticas para iL e vL em função do 
tempo depois que a chave é fechada. Determinar as formas de onda. 
vL 
E 
t 
iL 
R
E
 
t 
L1 |L2 
L3 
R
E
 
t 
iL 
 17 
 
Exemplo 2: Determinar os valores de iL, vL e vR para o circuito abaixo no instante 
de tempo t = 1 x 10-3 (s): 
 
 
3.3.5 Indutor: Fase de Desenergização 
 
Em circuitos R-C verificamos que o capacitor possui capacidade de manter a 
carga e armazenar energia na forma de um campo elétrico. Nos circuitos R-L, a energia 
é armazenada na forma de campo magnético estabelecido pela corrente no indutor. 
Entretanto, um indutor não mantém a energia armazenada, pois a ausência de um 
circuito fechado faz a corrente cair para zero. 
 
 
Se a chave “s” for aberta rapidamente, irá provocar uma centelha entre os 
contatos, devido a variação quase instantânea da corrente de 
R
E
 para zero. 
Esta variação de corrente induz uma alta tensão (
dt
di
LvL . ) no indutor que 
provocaria uma descarga elétrica entre os contatos da chave. 
Para analisarmos a fase de desenergização devemos usar um circuito como da 
figura abaixo: 
+
E vL=0V
vR=Ei=E/R
+ 
+ 
-
-
+
E=30V
vL
R1=1,5 vR
L=2,7mH 
+
+
-
-
+
E=30V
vL
R1=3,9k vR
L=0,33H 
s
+
+
-
-
 18 
 
 
Quando a chave é fechada, a tensão no resistor R1 é E (V) e o ramo R-L tem um 
comportamento idêntico ao descrito anteriormente. 
 
 
Depois do estado estacionário ser atingido, a chave pode ser aberta sem que haja 
uma descarga instantânea devido ao caminho oferecido pelo resistor R2. 
 
 
21 RRL vvv  (V) 
 
A corrente iL mantém o mesmo valor e sentido, sendo que após a abertura da 
chave, iL ainda é dada por 
1R
E
imáx  (A) e 
).().(.. 21
1
212211 RRR
E
RRiRiRiv LL  (V) 
E
R
R
R
R
vL ).(
1
2
1
1  (V) 
E
R
R
vL ).1(
1
2 (V) 
 
A tensão vL quando a chave é aberta, é necessariamente maior do que E (V) e 
inverte sua polaridade, mudando instantaneamente de E para E
R
R
].1[
1
2 . O sinal 
negativo mostra que a tensão possui polaridade oposta da considerada positiva na fase 
de energização. 
Durante a fase de desenergização, a tensão no indutor varia conforme a seguinte 
relação: 
'/. tiL evv
 onde E
R
R
vi ).1(
1
2 e 
21
'
RR
L
R
L
T 
 (s) 
A queda de corrente é dada da seguinte forma: 
+
E
vR2 vL
vR1
R2
R1
L
+
+
-
-
iL
+
-
vR2 vL
vR1
R2
R1
L
+
+
-
-
iL
+
-
 19 
'/. tmáxL eii
 (A) onde 
1R
E
imáx  (A) e 
21
'
RR
L

 (s) 
A diferença de potencial entre os terminais do resistor pode ser obtida 
considerando a Lei de Ohm: 
1111 .. RiRiv LRR  (V)1
/
!
1
/
1 ....
''
Re
R
E
Reiv ttmáxR
   (V) 
'/
1 .
t
R eEv
 (V) 
 
A polaridade da tensão sobre R1 é a mesma nas duas etapas, pois a corrente iL 
tem o mesmo sentido. 
A tensão vR2 é dada por: 
2222 .. RiRiv LRR  (V) 
'' /
2
1
2
/
2 ....
 tt
máxR eRR
E
Reiv   (V) 
'/
1
2
2 ..
t
R eER
R
v  (V) 
 
A polaridade na fase de desenergização é oposta a da fase de energização. 
 
Exercício: Dado o circuito a seguir, determinar: 
 
 
a) As expressões matemáticas para iL, vL, vR1 e vR2 em função do tempo se a chave 
for aberta após terminada a fase de energização. 
b) As formas de onda das tensões e correntes durante a fase de desenergização. 
 
No caso da chave ser aberta antes de ser atingido o estado estacionário e a 
corrente iL atingir o valor máximo, a equação para a corrente de desenergização deverá 
ser mudada para 
'/. tiL eIi
 (A) onde Ii – valor inicial da corrente. 
A equação de vL é dada por: 
'/. tiL evv
 (V) onde )( 21 RRIv ii  (V) 
 
 
3.3.6 Valores Iniciais 
+
E=80V vR2 5H
vR1
5k
3k
L
+
+
-
-
iL
+
-
 20 
 
Considerando que antes do fechamento da chave exista uma corrente circulando 
através do indutor, a equação para corrente é dada da seguinte forma: 
)1).(( /tifiL eIIIi
 (A) 
If – final 
Ii – inicial 
(If – Ii) – variação no período. 
 
Reagrupando os termos tem-se: 
 // .. tii
t
ffiL eIIeIIIi
  (A) 
 // .. ti
t
ffL eIeIIi
  (A) 
/).( tfifL eIIIi
 (A) 
 
Obs: o valor estacionário da corrente pode ser encontrado substituindo o indutor 
por um curto-circuito e calculando a corrente resultante. 
 
Exemplo: No circuito dado Ii = 7mA no sentido indicado. Determinar: 
a) A expressão matemática de iL e vL depois que a chave é fechada; 
b) As formas de onda durante o período. 
 
 
3.3.7 
THR
L
 
 
No caso da configuração do circuito não ser simples, é necessário primeiro 
determinar o circuito equivalente de Thévenin. Exemplo: 
 
 
3.3.8 Indutores em Série e Paralelo 
 
100mH
+ E
20V
19k
11k
30k
+ E
15V L270mH
R1
3,3k
R2
5,6k
7mA
 21 
 
 
 
321 LLLLT  (H) 
 
 
 
 
 
321
1111
LLLLT
 (H) 
 
3.3.9 Energia Armazenada em um Indutor 
 
O indutor ideal não dissipa energia elétrica que recebe, mas a armazena em um 
campo magnético, dado através da seguinte relação: 
2..
2
1
máxarmaz iLW  (J) 
 
Exemplo: Determinar a energia armazenada pelo indutor quando a corrente 
atinge o valor máximo. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à Análise de Circuitos. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 12 ed. 
2012. 
HAYT, J. Análise de Circuitos em Engenharia. São Paulo: McGraw-Hill, 7 ed. 2008. 
IRWIN, J. David; NELMS, R. Mark. Análise básica de circuitos para engenharia. 10. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2013. 
 
ALEXANDER, Charles K.; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto 
Alegre: Bookman, 2013. 
NAHVI, M.; EDMINISTER, J.A. Circuitos elétricos. Rio de Janeiro: Bookman, 2005. 
ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. São Paulo: Edegard. Blucher, 2002. v. 1. 
ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. São Paulo: Edegard. Blucher, 2004. v. 2. 
SVOBODA, A.; DORF, R.C. Introdução aos circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: LTC, 2012. 
 
L3L2L1
+
E
+
E
L1 L2 L3
+ E
50V L10mH
R1
15
R2
10