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ATIVIDADE DE ESTUDO 1 
 
Acadêmico: Bianca Gisele Antoni R.A.20123123-5 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 Disciplina: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
Valor da atividade: 1,0 ponto Prazo: 05/08/2022 
 
Instruções para Realização da Atividade 
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos; 
2. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização da atividade; 
3. Esta é uma atividade individual. Caso identificado cópia de colegas, o trabalho de 
ambos sofrerá decréscimo de nota; 
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, renomeie 
e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade. São aceitos 
arquivos do Word ou em PDF; 
5. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo Word. Para isso 
utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio Word, ou outra 
ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E 
INSERIDOS NO ARQUIVO; 
6. Confira se o prazo de entrega deste documento coincide com o que está no 
ambiente da disciplina. Em caso de divergência, o prazo que estiver no ambiente da 
disciplina prevalecerá; 
7. Se desejar, essas orientações poderão ser apagas depois da leitura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor 
Mediador. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva cada um dos itens abaixo: 
a) As séries telescópicas apresentam esse nome oriundo do fato de que na simplificação da 
soma, uma parcela cancela uma parcela próxima, ou seja, assim como um telescópio que 
encurta a enorme distância entre nossos olhos e os corpos celestes, essa propriedade encurta o 
caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado. Dessa forma, não é 
necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma 
cadeia de adendos. 
Use as informações acima e prove que 
 
∑
√𝑛 + 1 
√𝑛2 + 𝑛
∞
𝑛=1
−
√𝑛
√𝑛2 + 𝑛
 
𝑛2 + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) 
∑
√𝑛 + 1 
√𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
−
√𝑛 + 1 
√𝑛(𝑛 + 1)
 
 
∑
√𝑛 + 1 
√𝑛 √(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
−
√𝑛 
√𝑛 √(𝑛 + 1)
 
 
∑
1
√𝑛
−
1
√𝑛 + 1
∞
𝑛=1
 
 
 
∑
1
√𝑛
−
1
√𝑛 + 1
=
∞
𝑛=1
(
1
√1
−
1
√1 + 1
) + (
1
√2
−
1
√2 + 1
) + (
1
√3
−
1
√3 + 1
) + ⋯ + (
1
√𝑛
−
1
√𝑛 + 1
)
+ (
1
√𝑛 + 1
−
1
√(𝑛 + 1) + 1
) 
∑
1
√𝑛
−
1
√𝑛 + 1
=
∞
𝑛=1
(
1
√1
−
1
√2
) + (
1
√2
−
1
√3
) + (
1
√3
−
1
√4
) + ⋯ + (
1
√𝑛
−
1
√𝑛 + 1
)
+ (
1
√𝑛 + 1
−
1
√(𝑛 + 1) + 1
) 
 
 
∑
1
√𝑛
∞
𝑛=1
−
1
√𝑛 + 1
= 1 −
1
√𝑛 + 2
→ 𝑆𝑛 → 𝐹(𝑛) 
Portanto a soma da série é representada por 𝑓(𝑛) = 1 −
1
√𝑛+2
 
Logo: lim
𝑛→∞
(1 +
1
√𝑛+2
) = 1 +
1
∞
= 1 − 0
lim
𝑛→∞
(1 +
1
√𝑛+2
) = 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A série geométrica é uma série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de 
uma progressão geométrica. Essa série é convergente se e somente se o valor absoluto da 
razão for menor que a unidade. Prove que para todo os valores reais de x 
 
A prova é feita usando a fórmula da soma infinita de uma progressão aritmética. 
Soma de uma progressão geométrica infinita 
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada número é 
o anterior multiplicado por uma razão. 
Se essa razão for, em módulo, menor que um, existe a soma infinita dessa PG. 
Analisando a expressão dada vemos que os elementos para a definição da PG são: 
• primeiro termo: 𝑎₁ = 𝑠𝑒𝑛 𝑥; 
• razão: 𝑞 = − 1/2 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 
Para calcularmos essa soma infinita usa-se a fórmula: 
𝑆 =
𝑎1
1 − 𝑞
 
Fazendo as substituições, temos: 
𝑆 = 
𝑠𝑒𝑛𝑥
1 − (−
1
2 𝑠𝑒𝑛𝑥)
 
𝑆 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
1 +
1
2 𝑠𝑒𝑛𝑥
 
𝑆 =
2𝑠𝑒𝑛𝑥
2 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
 
 
 
Importante lembrar que essa fórmula usada só funciona se a razão for, em módulo, 
um número menor que 1. Vamos provar isso, a partir do conhecimento de que a função seno é 
uma função limitada: 
 
 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1 
Se multiplicarmos todos os termos por um número negativo, os sinais se menor se invertem: 
1/2 ≥ −1/2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≥ −1/2 
−1 < −1/2 ≤ −1/2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1/2 ≤ 1 
 
 
 
c) 
 
são uma série alternada, daí podemos utilizar o critério de Leibniz para verificar sua 
convergência. Destarte, seja 𝑎𝑛 = log𝑛 𝑒 . Logo, partindo da definição de logaritmo: 
“Define-se por logaritmo, o expoente que eu devo dar a uma base para que isto seja igual ao 
logaritmando”. 
 
 Assim: 
log𝑛 𝑒 = 𝑥 ↔ 𝑛
𝑥 = 𝑒 
 
Vemos a partir daí que para todo natural (∀𝑛 ∈ ℕ), o sucessor 𝑛 + 1 produzirá um logaritmo 
menor a cada iteração, pois será necessário um valor menor de x para compensar o crescimento 
de , lembrando que tudo isso é igual a 𝑒 .Sendo assim: 
𝑎𝑛 + 1 ≤ 𝑎𝑛, ∀𝑛 
 
E ainda, tomando o limite: 
 
 
lim
𝑛→+∞
log𝑛 𝑒 
 
 Antes de analisar esse limite, bora fazer uma coisa que facilita demais a nossa vida. Vamos 
mudar a base desse logaritmo, pois não é interessante lidar com essa base à variável discreta de 
agora em diante. Convém então usar a base comum do cálculo que é o número 𝑒. 
log𝑛 𝑒 =
log𝑒 𝑒
log𝑒 𝑛
=
1
𝑙𝑛(𝑛)
 
 
Então, o limite 
lim
𝑛→+∞
log𝑛 𝑒 = lim
𝑛→+∞
1
𝑙𝑛(𝑛)
= 0 
 
 Portanto, a série com termos alternados converge! 
 
 Vejamos se a convergência absoluta ocorre. Para isso, vamos tomar o módulo: 
∑ |(−1)𝑛
1
𝑙𝑛(𝑛)
| = ∑
1
𝑙𝑛(𝑛)
+∞
𝑛=2
+∞
𝑛=2
 
 
Podemos comparar a série acima com a série harmônica, a qual sabemos que diverge: 
∑
1
𝑛
+∞
𝑛=2
 
 
Note que: 
𝑛 ≥ ln (𝑛) →
1
𝑛
≤
1
ln (𝑛)
 
∑
1
𝑛
+∞
𝑛=2
≤ ∑
1
ln (𝑛)
+∞
𝑛=2
 
 
 
 
No entanto, se ∑
1
𝑛
+∞
𝑛=2 diverge e é menor que ∑
1
ln (𝑛)
=+∞𝑛=2 ∑𝑎𝑛, então ∑ 𝑎𝑛 também diverge. 
 
 
 Então, a série dada converge condicionalmente. Isto é, sua convergência se limita à condição 
desta ser alternada.