APX1-ALI-2021-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
APX1 – Álgebra Linear I  1009EAD – 2/2021 
Gabarito 
 
1ª Questão.  5.1 
a)  5.0 Mostre que    .
111
det
222


 










 
b)  5.0 Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que 
.1APPB  Mostre que BA detdet  se A e B são semelhantes. 
c)  5.0 Verifique se o conjunto     0,1,0,0,0,1 é uma base de .3 Justifique sua 
resposta. 
Solução. 
a) Desenvolvendo o determinante pela 1ª linha temos 
      222222
222
.1.1.1
111


 
=  222222 
  222222
  222222 
    2       
   .  
 
b) Suponha que A e B sejam matrizes semelhantes. Assim existe uma matriz P tal 
que .
1APPB  Então     PAPAPPB det.det.detdetdet 11 
         PPAPPAPPAPAP .det.detdetdetdetdetdet.detdetdetdet 1111 
.det1.detdetdet AAIA  
c) O conjunto     0,1,0,0,0,1B é LI porém não gera o .3 Observe que qualquer 
vetor de 
3 da forma   0,,, zzyx não é combinação linear dos vetores de B. 
2ª Questão.  0.2 Considere o sistema de equações lineares








522
64
31253
wzy
wzyx
wzyx
. 
a)  5.1 Determine seu o conjunto solução. 
b)  5.0 Acrescente a equação 92  kwz a este sistema, encontre um valor de k que 
torne o sistema incompatível. 
Solução. 
a) Escalonando sua matriz aumentada 













51220
61411
311253













51220
311253
61411










 
51220
152020
61411













101200
152020
61411
.
101200
152020
141011











 
Temos o sistema equivalente  *
102
1522
14








wz
wy
wyx
. Logo o conjunto solução do sistema é 
o conjunto   ./,,,
2
10
2
215
2
13  xxxx 
b) Considerando 92  kwz e o sistema  * , teremos .
92
102





kwz
wz
 Logo o sistema 
será incompatível para .1k 
 
3ª Questão.  5.1 Determine a inversa da matriz 














1170
0132
0013
2214
. 
Todas as operações elementares utilizadas devem ser apresentadas. 
 
Solução. Escrevendo na forma esquemática: 
 



























14
1
1
1000
0100
0010
0001
1170
0132
0013
2214
LL






























1000
0100
0010
000
1170
0132
0013
1
4
1
4
2
4
2
4
1
 


313
212
2
3
LLL
LLL































1000
010
001
000
1170
100
0
1
2
1
4
3
4
1
4
14
2
3
2
3
4
1
4
2
4
2
4
1
 


33
22
2
4
LL
LL
































1000
0201
0043
000
1170
2070
6610
1
4
1
4
2
4
2
4
1
 



423
323
124
1
1
7
7
LLL
LLL
LLL
































102821
022822
0043
0011
434100
444200
6610
2201
 

442
1
3
LL































102821
0
0043
0011
434100
100
6610
2201
21
1
21
14
21
11
21
22  



433
233
131
41
6
2
LLL
LLL
LLL

































1
0
00
0
000
100
010
001
21
41
21
14
21
10
21
1
21
14
21
11
21
6
21
3
21
2
21
7
21
1
21
1
21
22
21
6
21
2
 

44
21LL
































21411410
0
00
0
1000
100
010
001
21
1
21
14
21
11
21
6
21
3
21
2
21
7
21
1
21
22
21
6
21
2
 





3421
22
3
2421
6
3
1421
2
1
LLL
LLL
LLL
.
21411410
22431411
61243
2411
1000
0100
0010
0001




























 
Logo, a matriz inversa da matriz dada é .
21411410
22431411
61243
2411
















 
4ª Questão.  0.2 
Sejam 












 cbeda
dc
ba
U / e 












 dbeca
dc
ba
V / subespaços de 
 .22 xM 
a)  0.1 Determine VU  e exiba uma base. 
b)  0.1 Determine .VU  ?22xMVU  É soma direta? 
Solução. 
a) Se .

















db
ca
cb
da
VU
dc
ba
 Logo ./












 a
aa
aa
VU 
Como ,
11
11












a
aa
aa
o vetor 





11
11
 gera o espaço .VU  Como todo vetor não 
nulo é LI, o conjunto 












11
11
é uma das bases para .VU  
b) O conjunto 


















01
10
,
10
01
é uma das bases para U , e o conjunto 


















10
10
,
01
01
é uma das bases para V , 
Sabemos que a união das bases de U e V é um conjunto gerador de VU  . Então 






























10
10
,
01
01
,
01
10
,
10
01
 gera VU  . 
Por outro lado, .3122dimdimdimdim  VUVUVU  
Logo esses 4 vetores formam um conjunto LD. 
Uma base para o VU  , gerado pelos vetores dados, é o conjunto 
























01
10
,
10
10
,
01
01
. (observe que esses vetore são LI). 
Se 





VU
wz
yx
.
01
10
10
10
01
01



































wb
zca
ycb
xa
cba
wz
yx
 
Resolvendo esse sistema obtemos que .,,/ 22xMcba
cbac
ba
VU 













 
Observe que 













00
00
VU , logo a soma não é direta. 
Note, também, que sendo 22xMVU  é uma justificativa para afirmar que a soma 
não é direta. 
 
5ª Questão.  0.2 Seja 3W o subespaço gerado por  1,0,1 e  .0,1,1 
a)  0.1 Encontre uma base ortonormal para .W 
b)  0.1 Encontre uma base ortonormal para W . 
Solução. 
a) Como os vetores  1,0,11 v e  0,1,12 v são LI, eles formam uma base para W. 
Observe que esses vetores não são ortogonais. 
Seja  21,uuB  a base ortonormal procurada. 
1u
 
.
2
1,0,1
 
 222 1vprojvu u
     .,1,,0,,0,,0,1,10,1,1,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1122











 uuvv
.,,
32
2
3
2
32
2
2 




 u 
Logo 

















 
32
2
3
2
32
2
2
2
2
,2
,,,,0B é uma base ortonormal para W. 
b) Um vetor   Wzyx ,, se: 
    ,01,0,1,,, zyx     .00,1,1,,, zyx 
Daí   ./,,
0
0





  xxxxW
yx
zx
 O conjunto   1,1,1  é uma das bases 
para 
W . Logo 











 
3
3
3
3
3
3 ,, é uma base ortonormal para W . 
 
6ª Questão.  0.1 
Considere ,22xMV  as matrizes quadradas de ordem 2 reais e o produto interno dado 
pela expressão .32, dhcgbfae
hg
fe
dc
ba












 
Determine o ângulo entre as matrizes 





 11
10
 e ,
11
21






segundo este produto interno. 
Solução. 
Temos que 
6
11
10
,
11
10
11
10



















, 13
11
21
,
11
21
11
21


















, 
.2
11
21
,
11
10













 
Logo , o ângulo entre as matrizes dadas, é tal que então .
13.6
2
cos 