Espaço Vetorial

Prévia do material em texto

EDUCAÇÃO DE QUALIDADE INTERNACIONAL 
 
 
 
Engenharia 
 
 
 
Título: Espaço Vetorial 
 
Disciplina: Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identificação 
Ana Carla dos Santos, 182097696 
Deoclécio: José da Silva Júnior, 1910914216 
Fabiolla Mayara Silva Patriota, 20109126014 
Wandson José da Silva Santos, 181096852 
Professor: Bruno Dias 
Curso: Engenharia 
Linha temática: Álgebra linear 
Semestre(s) letivo(s): 2020/1 
 
 
 
 
 
 
MAIO - 2020 
 
Espaço vetorial 
Sabemos que o conjunto ℝ2 = {(𝑥, 𝑦) 𝑥⁄ , 𝑦 ∈ ℝ} é interpretado geometricamente como 
plano cartesiano. O par ordenado (𝑥, 𝑦) pode ser um ponto ou um vetor. 
Os espaços vetoriais reais são conjuntos não vazios cujos elementos são chamados de 
vetores. 
 
Essa ideia se estende ao espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do 
conjunto ℝ3. Embora se perca a visão geométrica, é possível estender essa ideia a espaços 
ℝ4, ℝ5, … , ℝ𝑛. 
ℝ4 → (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) 
ℝ5 → (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5) 
ℝ𝑛(𝑥1, … , ℝ𝑛) 
 
Espaço vetorial Real 
 
𝑉 ≠ ∅ 
A esse conjunto estão definidas 2 operações. 
Os elementos desse conjunto estão sujeitos a 2 operações usuais: 
I) Adição → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉; ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 
II) Multiplicação → 𝛼𝑢 ∈ 𝑉; ∀𝑢 ∈ 𝑉, ∀𝛼 ∈ ℝ 
 
𝑢 
𝑣 
𝑢 + 𝑣 
𝛼𝑢 
𝑉 
Axiomas 
Para ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 e ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ: 
 
⇒ Adição 
i. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
ii. (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 
iii. 𝑢 + 0 = 𝑢 
iv. 𝑢 + (−𝑢) = 0 
⇒ Multiplicação por escalar 
v. 𝛼. (𝛽𝑢) = (𝛼𝛽). 𝑢 
vi. 𝛼. (𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 
vii. 𝑢(𝛼 + 𝛽) = 𝑢𝛼 + 𝑢𝛽 
viii. 1. 𝑢 = 𝑢 
 
Ex. 1: 𝑤 = ℝ² 
(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) 
𝑟(𝑎, 𝑏) = (𝑟. 𝑎, 𝑟. 𝑏) 
 
i. 𝑢 = (𝑎, 𝑏); 𝑣 = (𝑐, 𝑑) | 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ 
𝑢 + 𝑣 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) 
= (𝑐 + 𝑎, 𝑏 + 𝑑) 
= (𝑐, 𝑑) + (𝑎, 𝑏) 
𝑣 + 𝑢 
ii. 𝑤 = (𝑒, 𝑓); 𝑢 = (𝑎, 𝑏) 𝑒 𝑣 = (𝑐, 𝑑) 
= (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) + (𝑒, 𝑓) 
= (𝑎 + 𝑐 + 𝑒, 𝑏 + 𝑑 + 𝑓) 
= (𝑎 + [𝑐 + 𝑒], 𝑏 + [𝑑 + 𝑓]) 
= (𝑎 + 𝑏) + [(𝑐, 𝑑) + (𝑒, 𝑓)] 
= 𝑢 + [𝑣 + 𝑤] 
𝑢, 𝑣, 𝑤 
𝑉 
 
Aplicação 01: Verifique se o conjunto pode ser um espaço vetorial: 
Solução: 
𝑉 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/𝑥 ≥ 0 
V 
 
i) 𝑣1 = (𝑥1, 𝑦1), 𝑣2 = (𝑥2, 𝑦2) 
𝑣1 + 𝑣2 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) 
𝑣1 + 𝑣2 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑉 
ii) 𝑣1 = (𝑥1, 𝑦1) 
𝛼𝑣1 = 𝛼(𝑥1, 𝑦1) 
𝛼(𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) 
𝛼𝑣1 ∉ 𝑉 
Logo, não é espaço vetorial, pois não atende a condição. 
 
Ex. 2: 𝑢 = (1,2); 𝑣 = (0,3); 𝑣 + 𝑢 = (1,5) 
Solução: 
i) (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 − 𝑑) 
(1,2) + (0,3) = (1, −1) 
(0,3) + (1,2) = (1,1) 
Falsa 
ii) 𝑟(𝑎, 𝑏) = (𝑟. 𝑎 − 𝑟. 𝑏) 
𝑢 = (1,2); 𝑟 = 1 
𝑣1 
𝑣2 
 
1(1,2) = (1.1, −1.2) 
= (1, −2) ≠ 𝑢 
Aplicação 02: Verifique se o conjunto dias do mês {1, 2, 3, ..., 30} pode ser um espaço 
vetorial. 
Solução: 
i) 𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑉 
25 + 30 = 55 
55 ∉ 𝑉 
ii) 𝛼𝑣 ∈ 𝑉 
 𝛼(3) ∉ 𝑉 
Aplicação 03: Verifique se o conjunto dos números Naturais pode ser um espaço 
vetorial\; 
ℕ = {0, 1, 2, 3, … , 100, … , 𝑛} 
Solução: 
i) 𝑣1 + 𝑣2 ∈ ℕ 
0 + 1 = 1 ∈ ℕ 
𝑥1 + 𝑥2 ∈ ℕ 
ii) 𝛼𝑣1 ∈ ℕ 
𝛼(2) ∉ ℕ 
 
 No conjunto 𝑉 ≠ ∅, 𝑢 𝑒 𝑣 podem ser polinômios, matrizes de igual ordem ou funções 
contínuas. 
𝑉 = [
𝑥 𝑦
𝑦 𝑧] 
𝑉 = (𝑥1, 𝑥2), 𝑉 ⊂ ℝ² 
𝑉 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 𝑉 ⊂ ℝ³ 
Subespaço Vetorial 
Subespaço vetorial é basicamente um espaço vetorial dentro de outro espaço vetorial. 
𝑉 ≠ ∅ 
I) 0 ∈ 𝑆 
II) 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆 
III) 𝛼𝑢 ∈ 𝑆; 𝛼 ∈ ℝ 
 
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços. São eles: o conjunto {0} 
(subespaço nulo) e o próprio espaço vetorial 𝑉 (subespaço trivial de V). Os demais são 
chamados de subespaços próprios de V. 
Subespaços triviais: 
i. 𝑉 = ℝ2: {0,0} 𝑒 ℝ², os subespaços próprios de ℝ² são retas que passam pela origem. 
𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈
ℝ2
𝑦
= 2𝑥} 
 
𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∕ 𝑦 = 4 − 2𝑥} 
 
ii. 𝑉 = ℝ3: {0, 0, 0} 𝑒 ℝ3, os subespaços próprios de ℝ² são retas que passam pela origem. 
𝑢 
𝑣 
𝑢 + 𝑣 
𝛼𝑢 
𝑆 
Combinação Linear 
Um dos objetivos do uso de combinações lineares é a obtenção de novos vetores a partir 
da combinação de duas operações, exemplo, adição e multiplicação por escalar, com vetores 
dados. 
Ex.: A SOMA de dois vetores, usa-se cada coordenada e se soma. 
Em outras palavras, uma combinação linear é uma soma de múltiplos dos vetores → 1, 𝑣 →
2, 𝑣 → 𝑘. 
Sejam V um espaço vetorial real, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 e 𝑉 e 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, números reais 
Uma vez fixados vetores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 em 𝑉, o conjunto 𝑊 de todos os vetores de 𝑉 
que são combinação linear desse é um subespaço vetorial. 
Aplicação 04: 𝑉 = (−4, −18, 7) é uma combinação linear de 𝑣1 = (1, −3, 2) e 𝑣2 =
(2, 4, −1)? Escreva o vetor 𝑉 como combinação linear dos vetores 𝑣1 e 𝑣2. 
 Solução: 
𝑣 = 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 
(−4, −18, 7) = 𝑎(1, −3, 2) + 𝑏(2, 4, −1) 
(−4, −18, 7) = (𝑎, −3𝑎, 2𝑎) + (2𝑏, 4𝑏, −𝑏) 
(−4, −18, 7) = (𝑎 + 2𝑏, −3𝑎 + 4𝑏, 2𝑎 − 𝑏) 
{
𝑎 + 2𝑏 = −4
−3𝑎 + 4𝑏 = −18
22 − 𝑏 = 7
 
𝑉 = 2𝑣1 − 3𝑣2 
Ex. 1: O elemento 𝑣 = (4,3) ∈ ℝ² combinação linear dos elementos 𝑣1 = (1, 0) e 
𝑣2 = (0, 1). De fato, pode ser escrito como: 
𝑣 = (4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1) = 4𝑣1 + 3𝑣2 
 Assim, existem os escalares 𝛼1 = 4 e 𝛼2 = 3, tais que 𝑣 pode ser escrito como 𝑣 =
𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2. Logo, 𝑣 é combinação linear de 𝑣1 e 𝑣2. 
 
O vetor 𝑣 = (4, 3) é combinação linear dos vetores 𝑣1 = (1, 0) e 𝑣2 = (0, 1), o que 
seria pesos: seria vários vetores obtendo um outro vetor, deste modo fazendo uma 
combinação linear 
 
Subespaço Vetorial Gerado 
Definição: 𝑆 é denominado Conjunto de Geradores para 𝑈. Dizemos também que 
𝑆 gera o subespaço 𝑈. 
Um espaço vetorial 𝑉 é finitamente gerado se existe um subconjunto 𝑆. 
Notação: Podemos escrever 𝑈 = [𝑣1, . . . , 𝑣𝑛] ou 𝑈 = [𝑆]. O Spam gerador por um 
vetor é uma reta. 
Teorema: Seja S um conjunto finito de elementos de um espaço vetorial V. O 
conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de S, denotado por [S], forma um 
subespaço vetorial de V. 
Ex. 2: O conjunto 𝑆 = {(1, 2)} ∈ ℝ2 gera o subespaço 𝑈 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 = 2𝑥 
. De fato, tomando um elemento 𝑢 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈, temos que 𝑦 = 2𝑥, logo podemos escrever: 
𝑢 = (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 2𝑥) = 𝑥(1, 2), com 𝑥 ∈ ℝ2. Dessa forma, mostramos que qualquer 
elemento de U pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S, assim, S é um 
conjunto de geradores para U. Geometricamente, o elemento de S é o vetor 𝑢 = (1, 2) e o 
subespaço 𝑈 é a reta 𝑦 = 2𝑥, e de fato, essa reta é gerada pelo vetor 𝑢 = (1, 2). Figura 1: O 
vetor 𝑢 = (1, 2) gera a reta 𝑦 = 2𝑥. 
 
 
 
 
 
Espaço Vetorial Finitamente Gerado 
A forma mais fácil de se entender o que isso significa é através de exemplos. Considere 
o conjunto dos números reais. Este conjunto é um espaço vetorial sobre ele segundo a soma e 
a multiplicação que conhecemos. 
Agora, seja o conjunto 𝑆 = {1}, onde 𝑆 ⊂ ℝ. É muito fácil perceber que qualquer valor 
real pode ser obtido através de uma combinação linear de {1}. 
Ex. 1: 
4,123904 = 4,123904 × 1 
𝜋 = 𝜋 × 1 
2– √= 2– √× 1 
 
Desta forma, ℝ é um espaço vetorial finitamente gerado onde 𝑆 gera ℝ. Infinitos outros 
conjuntos podem ser geradores de ℝ. O {1} é apenas um exemplo bastante didático para se 
utilizar, já que fica muito fácil perceber. 
Para ℝ² é bastante simples de perceber que 𝑆 = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador, 
porém 𝑆 = {(−1,1) , (1,1)} também é um conjuntos gerador de ℝ². Veja: 
Ex. 2: 
(4,10) = 𝛼 × (−1,1) + 𝛽 × (1,1) 
𝛼 = 3, 𝛽 = 7 
 
Assim, para qualquer (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ² temos que: 
(𝑎, 𝑏) = 𝛼 × (−1,1) + 𝛽 × (1,1) 
𝛼 = 𝑎 − 𝑏2, 𝛽 = 𝑎 + 𝑏2 
 
O que garante que 𝑆 = {(−1,1) , (1,1)} gera ℝ² 
Assim definimos: Um espaço vetorial 𝑉 é finitamente gerado quando existe um conjunto 
𝑆 ⊂ 𝑉, 𝑆 finito,onde 𝑆 gera 𝑉. 
Dependência e Independência Linear 
Definição: Sejam V um espaço vetorial e 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 . Consideremos a equação 
vetorial 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 +· · · + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 0. 
Se a única solução da equação acima for 𝛼1 = 𝛼2 = . . . = 𝛼𝑛 = 0, dizemos que 
𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 são linearmente independentes (LI). 
Se a equação acima tiver mais que uma solução, dizemos que 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 são 
linearmente dependentes (LD). 
Ex. 1: Os vetores 𝑣1 = (1, 1, 0), 𝑣2 = (1, 0, 1) e 𝑣3 = (5, 2, 3) de ℝ3 são LD, pois 
2𝑣1 + 3𝑣2 − 𝑣3 = 0. 
 
Ex. 2: Sejam 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑉 = 𝑃 o espaço dos polinômios em 𝑡. Os vetores 𝑝1 = 1 +
𝑡, 𝑝2 = 𝑡 + 𝑡2, … , 𝑝𝑛 = 𝑡𝑛 − 1 = 𝑡𝑛 são LI. 
 
Até o momento, definimos as noções de dependência e independência linear para 
conjuntos finitos. Iremos, agora, estender tais noções para conjuntos infinitos. 
Definição: Seja 𝑉 um espaço vetorial e 𝑋 ⊂ 𝑉 não vazio. Dizemos que 𝑋 é linearmente 
dependente (LD) se existem 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑋 linearmente dependentes. Caso contrário, 
dizemos que 𝑋 é linearmente independente (LI). 
Ex.3: Seja 𝑋 = {𝑣 = (𝑥, 𝑦) ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍} ⊂ ℝ2. Este conjunto é LD. 
 
Ex. 4: Seja 𝑋 = {𝑝𝑛 = 𝑡𝑛 ; 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}} contido no espaço 𝑃 dos polinômios em 𝑡. 
Então 𝑋 é LI. 
 
Propriedades: Sejam V um espaço vetorial e 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 . São válidas as 
seguintes propriedades: 
• Qualquer conjunto 𝑋 que contenha o vetor nulo é LD. Em particular, o conjunto {0} ⊂
 𝑉 é LD. 
• v1 e v2 não nulos são LD se, e só se, um é múltiplo escalar do outro. 
• Se 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 são LD, então, qualquer que seja 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛, 𝑣 são LD. 
• Se 𝑋 é LI e 𝑌 ⊂ 𝑋 , então Y é LI. 
• Um conjunto {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} é LD se, e somente se, ao menos um dos vetores é 
combinação linear dos demais. 
 
Interpretação Geométrica em ℝ² e ℝ³ 
Existe uma estreita relação entre vetores no espaço ℝ² e no espaço ℝ³. Na verdade, o 
conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o 
que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em ℝ³. 
Obs.: Estamos estudando vetores no espaço Euclidiano, por isso podemos ter no 
máximo 3 vetores linearmente independentes. 
Definição: Formalmente a dependência linear é definida sempre levando em 
consideração vetores de um certo conjunto, também chamada de sequência. 
i. Uma sequência (�⃗�): 
Linearmente dependente (L.D) �⃗� = 0⃗⃗ 
Linearmente independente (L.I) �⃗� ≠ 0⃗⃗ 
ii. Par ordenado (𝑣1, 𝑣2): 
 Linearmente dependente (L.D.) 
𝑣1//𝑣2 
(𝑣1, 𝑣2 estão representados na mesma reta que passa pela 
origem.) 
 
 
Linearmente independente (L.I.) – não paralelos 
 
 
 
 
 
iii. Tripla ordenada (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3): 
Linearmente Dependente (L. D.) 
(𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3 estão representados no mesmo plano que 
passa pela origem) 
 
 
 
 
 
 
Linearmente Independente (L.I.) 
 
 
 
 
 
iv. Qualquer sequência de 4 ou mais vetores serão L.I: (𝑛 ≥ 4) 
 
Representação geométrica do produto cartesiano ℝ x ℝ ou ℝ² = {(𝑥, 𝑦)/𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} é o 
plano cartesiano determinado por dois eixos ortogonais 𝑥 e 𝑦: 
 
 
Representação geométrica do produto cartesiano ℝ x ℝ x ℝ ou ℝ³ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} é o espaço cartesiano determinado por três eixos cartesianos, dois a dois 
ortogonais: 
Definição: Um vetor (geométrico) no espaço ℝ³ é uma classe de objetos matemáticos 
(segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe 
de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de 
reta desta família (representante). 
 
O representante escolhido, quase sempre é o vetor 𝑣 cuja origem é (0,0,0) e extremidade 
é o terno ordenado (𝑎, 𝑏, 𝑐) do espaço ℝ3, razão pela qual denotamos este vetor por: 𝑣 =
(𝑎, 𝑏, 𝑐). 
 
Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema ℝ³, realizamos a diferença entre 
a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor 𝑣 tem origem em (1,2,3) e 
extremidade em (7,12,15), ele é dado por 𝑣 = (6,10,12), pois: 
 
𝑣 = (7,12,15) − (1,2,3) = (6,10,12) 
 
 
Fechamento 
Foi pedido que estudassem o fluxo de trânsito em um cruzamento de vias de livre 
escolha com, pelo menos, quatro nós. Um dos grupos optou por determinado local por gerar 
grandes congestionamentos e acidentes fatais (Figura 1). Esse grupo servirá aqui de exemplo. 
A proposta incluía a formulação de um problema, fixação de objetivos, estudo teórico 
específico (sincronismo dos semáforos e a conservação do fluxo), modelagem matemática, 
análise, proposta de melhoria e conclusões. 
 
A contagem do número de veículos em determinados nós foi feita por filmagem por um 
período de tempo. A reprodução das imagens revelou as quantidades de veículos que circularam 
por ciclo de sinal. Definiram que o congestionamento seria visto como uma fila que sobra ao 
final do tempo verde (semáforo verde); e o tempo de entreverde, é o intervalo entre os tempos 
de semáforo com luz verde de dois ciclos consecutivos. 
 
Em seguida, interpretaram o resultado obtido do escalonamento da matriz, analisaram 
os fluxos e investigaram o tempo aberto dos semáforos. Os estudantes sugeriram maior 
sincronia dos semáforos a fim de minimizar congestionamentos a partir de medições em tempo 
real por meio de sensores instalados nas vias, ajustando-se o tempo de sinal verde, conforme a 
necessidade do momento. A essa altura do trabalho, 90% dos estudantes compreendiam o 
conceito de sistemas lineares e os significados da matriz escalonada, pelas muitas reuniões, 
manipulações e testagens realizadas, confirmando a teoria das situações didáticas de Brousseau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
Anton, H., & Busby, R. C. (2006). Álgebra linear contemporânea. Bookman Editora. 
Boldrini, J. L., Costa, S. I., Figueredo, V. L., & Wetzler, H. G. (1980). Álgebra linear. 
Harper & Row. 
Bueno, H. P. (2006). Álgebra linear (Vol. 1). SBM. 
de Souza, M. A. V. F. (2013). Sistemas lineares na Engenharia: conceito, significados 
e situação didática. Enseñanza de las ciencias: revista de investigación y experiencias 
didácticas, (Extra), 3656-3661. 
Karrer, M. (2006). Articulação entre Álgebra Linear e Geometria-Um Estudo sobre as 
Transformações Lineares na Perspectiva dos Registros de Representação Semiótica.