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PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 1 PROJETO DE FILTROS DIGITAIS PELO MÉTODO DE FIXAÇÃO POLO ZERO Projeto de filtros pelo método de fixação polo-zero Esse método tem algumas limitações importantes e deve ser utilizado com cuidado, pois pode ser interessante na aplicação de um determinado tipo de filtro e pode ser bastante eficiente em outros tipos de filtros. Filtro 1 - Passa Baixas O diagrama abaixo mostra as situações para os filtros passa baixas projetados por esse método, que é mais eficaz quando encontra os parâmetros definidos na forma indicada. Caso se queira trabalhar violando as indicações, é importante que se faça testes práticos para definir a eficiência do filtro. 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 < 𝒇𝒔 𝟒 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 > 𝒇𝒔 𝟒 Respeitando o limite de Shanon Exemplo 1 Projetar um filtro passa baixas para operar com um sinal proveniente da rede elétrica no qual é desejável atenuar todas as componentes acima da 2ª harmônica da rede, cuja fundamental é 60 Hz. Admita que o processo de projeto seja o de fixação polo zero e que a frequência de amostragem que será utilizada é 8 kHz. O texto acima indica que a frequência de corte do filtro deve ser de 120 Hz Assim temos 120 < 8000 4 o que nos lev a aplicar o método da figura 1. Assim: 𝑟 ≈ 1 − 2𝜋120 8000 = 0,9057 Que leva a função de transferência: 𝑯 𝒛 = 𝒌 𝒛 + 𝟏 𝒛 − 𝟎, 𝟗𝟎𝟓𝟕 Como esse é um filtro passa baixas, o ganho na frequência digital 𝟎 é 1, portanto: 𝑯 𝒆𝒋𝝅 = 𝒌 𝒆𝒋𝟎 − 𝟏 𝒆𝒋𝟎 − 𝟎, , 𝟗𝟎𝟓𝟕 = 𝒌 𝟏 + 𝟏 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟎𝟓𝟕 = 𝟏 Para isso se realizar o valor de k deve ser: 𝒌 = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟎𝟓𝟕 𝟐 = 𝟏 + 𝒓 𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕𝟏𝟐 H 𝒛 = ሻ𝒀(𝒛 ሻ𝑿(𝒛 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕𝟏𝟐 𝒛+𝟏 𝒛−𝟎,𝟗𝟎𝟓𝟕 = 𝟎,𝟎𝟒𝟕𝟏𝟐+𝟎,𝟎𝟒𝟕𝟏𝟐𝒛−𝟏 𝟏−𝟎,𝟗𝟎𝟓𝟕𝒛−𝟏 De onde obtemos a equação a diferenças que implementa o filtro: 𝑦 𝑛 = 0,04712𝑥 𝑛 + 0,04712𝑥 𝑛 − 1 + 0,9057𝑦(𝑛 − 1ሻ Projeto de filtros pelo método de fixação polo-zero Esse método tem algumas limitações importantes e deve ser utilizado com cuidado, pois pode ser interessante na aplicação de um determinado tipo de filtro e pode ser bastante eficiente em outros tipos de filtros. Filtro 2 - Passa Altas O diagrama abaixo mostra as situações para os filtros passa altas projetados por esse método, que é mais eficaz quando encontra os parâmetros definidos na forma indicada. Caso se queira trabalhar violando as indicações, é importante que se faça testes práticos para definir a eficiência do filtro. 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 < 𝒇𝒔 𝟒 𝒇𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 > 𝒇𝒔 𝟒 Respeitando o limite de Shanon Exemplo 2 Projetar um filtro passa altas para operar com um sinal proveniente da rede elétrica no qual é desejável atenuar todas as componentes abaixo da 3ª harmônica da rede, cuja fundamental é 60 Hz. Admita que o processo de projeto seja o de fixação polo zero e que a frequência de amostragem que será utilizada é 8 kHz. O texto acima indica que a frequência de corte do filtro deve ser de 120 Hz Assim temos 180 < 8000 4 o que nos lev a aplicar o método da figura 1. Assim: 𝑟 ≈ 1 − 2𝜋180 8000 = 0,8586 Que leva a função de transferência: 𝐻 𝑧 = 𝑘 𝑧 − 1 𝑧 − 0,8586 Como esse é um filtro passa altas, o ganho na frequência digital 𝜋 é 1, portanto: 𝐻 𝑒𝑗𝜋 = 𝑘 𝑒𝑗𝜋 − 1 𝑒𝑗𝜋 − 0, , 8586 = 𝑘 −1 − 1 −1 − 0,8586 = 1 Para isso se realizar o valor de k deve ser: 𝑘 = 1 + 0,8586 2 = 1 + 𝑟 2 = 0,9293 Dessa forma temos: 𝐻 𝑧 = 𝑌(𝑧ሻ 𝑋(𝑧ሻ = 0,9293 𝑧 − 1 𝑧 − 0,8586 = 0,9293 − 0,9293𝑧−1 1 − 0,8586𝑧−1 De onde obtemos a equação a diferenças que implementa o filtro: 𝑦 𝑛 = 0,9293𝑥 𝑛 − 0,9293𝑥 𝑛 − 1 + 0,8586𝑦(𝑛 − 1ሻ Projeto de filtros pelo método de fixação polo-zero Filtro 3 - Passa Faixa O diagrama abaixo mostra as situações para os filtros passa faixa projetados por esse método, que é mais eficaz quando encontra os parâmetros definidos na forma indicada. Caso se queira trabalhar violando as indicações, é importante que se faça testes práticos para definir a eficiência do filtro. Exemplo 3 Projetar um filtro passa faixa que permita recuperar a fundamental da corrente da rede elétrica de um conversor CC->CA de sistema de micrograde de energia solar, onde a distorção de 5ª e 7ª harmônica é muito intensa e modifica consideravelmente o sistema de medição de energia elétrica. Admita que a fundamental é 60 Hz. E que a frequência de amostragem que será utilizada é 1200 kHz e a banda de passagem da onda retificada é de 4 Hz. O texto acima indica que a frequência central do filtro é 60 Hz. 𝑟 ≈ 1 − 4 1200 𝜋 = 0,9790 𝜃 = 60 1200 2𝜋 = 0,3141 𝑟𝑎𝑑 𝑘 = (1 − 0,9790ሻ 1 − 2 × 0,9790 cos 2 × 0,3141 + 0,97902 2 𝑠𝑒𝑛(0,3141ሻ = 0,02079 Que leva a função de transferência: 𝐻 𝑧 = 0,02079 𝑧2 − 1 𝑧2 − 2 × 0,9790 cos 0,3141 𝑧 + 0,97902 𝐻 𝑧 = 0,02079𝑧2 − 0,02079 𝑧2 − 1,8622𝑧 + 0,9584 A função de transferência causal é: 𝐻 𝑧 = 0,02079 − 0,02079𝑧−2 1 − 1,8622𝑧−1 + 0,9584𝑧−2 Daí obtemos a equação a diferenças: 𝑦 𝑛 = 0,02079𝑥 𝑛 − 0,02079𝑥 𝑛 − 2 + 1,8622𝑦 𝑛 − 1 − 0,9584𝑦(𝑛 − 2ሻ Projeto de filtros pelo método de fixação polo-zero Filtro 4 – Rejeita Faixa O diagrama abaixo mostra as situações para os filtros rejeita faixa projetados por esse método, que é mais eficaz quando encontra os parâmetros definidos na forma indicada. Caso se queira trabalhar violando as indicações, é importante que se faça testes práticos para definir a eficiência do filtro. Exemplo 4 Deseja-se observar um sinal oriundo da rede elétrica de 60 Hz sem a presença da 5ª harmônica devido a interferência desta sobre o sinal sob análise. Deseja-se portanto, eliminar a 5ª harmônica sem perturbar demais o sinal sob analise por isso o filtro de rejeição da 5ª harmônica deve ter a menor banda passante possível. Projetar um filtro rejeita faixa com banda de rejeição de 4 Hz e frequência de amostragem de 6000 Hz. 𝒓 ≈ 𝟏 − 𝟒 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝝅 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗 𝜽 = 𝟓 × 𝟔𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟐𝝅 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟒𝟏𝟔 𝒓𝒂𝒅 𝒌 = 𝟏 − 𝟐 × 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗 × 𝒄𝒐𝒔 𝟎, 𝟑𝟏𝟒𝟏𝟔 + 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗𝟐 𝟐 − 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟎, 𝟑𝟏𝟒𝟏𝟔 ሻ = 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗𝟒 Que leva a função de transferência: 𝑯 𝒛 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗𝟒 𝒛𝟐 − 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟎, 𝟑𝟏𝟒𝟏𝟔ሻ𝒛 + 𝟏 𝒛𝟐 − 𝟐 × 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗 𝒄𝒐𝒔 𝟎, 𝟑𝟏𝟒𝟏𝟔 𝒛 + 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗𝟐 𝑯 𝒛 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗𝟒𝒛𝟐 − 𝟏, 𝟖𝟗𝟖𝟐𝒛 + 𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟗𝟒 𝒛𝟐 − 𝟏, 𝟖𝟗𝟖𝟏𝒛 + 𝟎, 𝟗𝟗𝟓𝟖 𝐻 𝑧 = 0,99794 − 1,8982𝑧−1 + 0,99794𝑧−2 1 − 1,8981𝑧−1 + 0,9958𝑧−2 Daí obtemos a equação a diferenças: 𝑦 𝑛 = 0,99794𝑥 𝑛 − 1,8982𝑥 𝑛 − 1 + 0,99794𝑥(𝑛 − 2ሻ + 1,8981𝑦 𝑛 − 1 − 0,9958𝑦 𝑛 − 2
