Aula 1 - Pesquisa Operacional Como Ferramenta De Tomada De Decisão

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DESCRIÇÃO
A Pesquisa Operacional e sua aplicação na análise de decisões, a Programação Linear na
solução de problemas complexos e o método gráfico para a solução de modelos de
Programação Linear.
PROPÓSITO
Compreender o conceito, a origem e as aplicações da Pesquisa Operacional para fins de apoio
ao processo de tomada de decisão na atuação como gestor, em especial, na solução de
problemas complexos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos uma régua para aplicar o método gráfico. Também
são necessários uma calculadora ou um software editor de planilhas eletrônicas para realizar
as operações matemáticas necessárias.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever conceitos gerais de Pesquisa Operacional e sua importância no processo de tomada
de decisão
MÓDULO 2
Descrever as principais características e propriedades de um modelo de Programação Linear
MÓDULO 3
Aplicar o método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear
INTRODUÇÃO
É comum termos dificuldades para identificar a melhor solução quando nos deparamos com um
problema complexo. Afinal, são tantos os dados e possíveis cenários que não conseguimos
processar sozinhos tantas informações. Esse tipo de situação é comum em nossas vidas
pessoais e, especialmente, nos negócios.
Acabamos, nesses casos, tomando decisões com base em opiniões, intuições ou em
experiências passadas – nossas ou mesmo de outras pessoas ou empresas. Sem dúvidas,
esses caminhos são importantes e devem ser sempre considerados no processo de tomada de
decisão. No entanto, em situações complexas, o desenvolvimento de modelos pode ser uma
poderosa ferramenta de auxílio à tomada de decisão.
Modelos são simplificações do objeto ou do problema de decisão que representam. A grande
vantagem em adotar um modelo para apoio ao processo de tomada de decisão é a
possibilidade de examinar diferentes cenários, em geral, de forma mais rápida e barata do que
se fosse analisado na realidade.
Entre os diversos tipos de modelo que podem ser utilizados, destacam-se os modelos
matemáticos, que adotam a lógica e a formulação matemática para representar o problema
estudado.
A Pesquisa Operacional (PO) é o campo do conhecimento que trata do desenvolvimento de
modelos matemáticos e algoritmos para auxiliar o decisor na análise de problemas complexos.
A PO se destaca por fornecer uma ferramenta quantitativa para apoio ao processo de tomada
de decisão para problemas complexos.
No primeiro módulo, iremos abordar os principais conceitos da Pesquisa Operacional, sua
origem e a importância de sua aplicação no ambiente gerencial. A PO compreende diferentes
técnicas, como programação matemática, simulação, cadeias de Markov, métodos estatísticos,
Teoria das Filas, Teoria dos Jogos, Teoria dos Grafos, heurística e meta-heurísticas. Neste
conteúdo, iremos focar em programação matemática, mais precisamente na Programação
Linear.
No segundo módulo, conheceremos as técnicas de Programação Linear para o
desenvolvimento de modelos matemáticos e da aplicação do método gráfico para a solução de
problemas de Programação Linear.
MÓDULO 1
 Descrever conceitos gerais de Pesquisa Operacional e sua importância no processo
de tomada de decisão
APRESENTAÇÃO DO TEMA
Neste vídeo você conhecerá o conceito de Pesquisa Operacional, sua origem e as áreas de
aplicação:
PESQUISA OPERACIONAL
A Pesquisa Operacional (PO) é definida pela Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional
(SOBRAPO) como:

A ÁREA DE CONHECIMENTO QUE ESTUDA,
DESENVOLVE E APLICA MÉTODOS ANALÍTICOS
AVANÇADOS PARA AUXILIAR NA TOMADA DE
MELHORES DECISÕES NAS MAIS DIVERSAS ÁREAS
DE ATUAÇÃO HUMANA.
SOBRAPO, 2021
A Pesquisa Operacional fornece ferramentas quantitativas ao processo de tomada de decisões
(PRADO, 2016). Dessa forma, a PO auxilia o decisor na análise de variados aspectos e
situações de um problema complexo, por meio de uso de técnicas de modelagem matemática
e eficientes algoritmos computacionais. Isso permite a tomada de decisões efetivas e a
construção de sistemas mais produtivos (SOBRAPO, 2021).
O estudo da PO permite o domínio de diversas técnicas relacionadas à programação e
modelagem matemática.
Por meio desses conceitos e das ferramentas quantitativas, poderemos analisar os mais
variados tipos de problemas, e fornecendo dados e informações concretos para auxiliar no
processo de tomada de decisão.
 SAIBA MAIS
Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional
Fundada em 1969, a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) reúne os
profissionais de Pesquisa Operacional que atuam no País – em universidades, na iniciativa
privada e no setor público –, com o objetivo de incentivar o desenvolvimento desse campo do
conhecimento.
Além de organizar simpósios anuais, a SOBRAPO mantém as revistas Pesquisa Operacional e
Pesquisa Operacional para Desenvolvimento, buscando incentivar a publicação sobre o tema.
ORIGEM – CIRCO DE BLACKETT
A PO teve seus primeiros casos de aplicação no meio militar, durante a Segunda Guerra
Mundial. Na ocasião, foram formados grupos de cientistas de diferentes especialidades a fim
de oferecer apoio quantitativo aos comandantes das operações militares inglesas e norte-
americanas para a solução de complexos problemas de natureza logística e de tática e
estratégia militar (BELFIORE; FÁVERO, 2012).
 SAIBA MAIS
Entre os grupos formados, destacou-se o aquele liderado por Patrick Maynard Stuart Blackett –
o Barão de Blackett. A equipe do Barão de Blackett, composta por membros de formações
diversas – físicos, matemático, topógrafos, astrofísicos e fisiólogos –, era conhecida como o
Circo de Blackett. A equipe foi responsável pela publicação de um dos primeiros artigos sobre
Pesquisa Operacional.
O artigo apresentava um modelo matemático para analisar o emprego dos meios antiaéreos
das tropas aliadas para fazer frente aos bombardeiros alemães (Stuckas). Outros problemas
típicos abordados na ocasião se referiam ao tamanho e roteamento de comboios, ao
gerenciamento da produção e à distribuição de armamentos e munições, à coleta e distribuição
de correspondência, ao problema de escala e à localização de radares, de modo a maximizar
as áreas de cobertura.
 
Foto: Shutterstock.com
Os bons resultados obtidos com a aplicação das técnicas de Pesquisa Operacional
durante a Segunda Guerra levaram à disseminação desse conhecimento entre
organizações de diversas áreas após o fim do período de combate.
A partir de 1947, é crescente o interesse das indústrias na utilização das técnicas
desenvolvidas na área militar para auxiliar no planejamento e controle da produção.
 ATENÇÃO
A disseminação da Pesquisa Operacional na área de planejamento e controle, no
entanto, só foi possível devido aos avanços que ocorriam no campo da informática. Tais
avanços permitiram o advento de microcomputadores, bem como o aumento da velocidade e
de capacidade de processamento computacional.
APLICAÇÃO DA PO NA ANÁLISE DE
DECISÃO
Empresas dos mais diversos setores, atualmente, empregam técnicas de Pesquisa
Operacional com intuito de tornar seu processo de tomada de decisão mais eficiente e
assertivo. Além do meio militar, a PO é aplicada em indústrias de manufaturas, empresas
de transporte, empresas de construção, de telecomunicações, bancos, em assistência
médica e até no serviço público.
Veja algumas empresas que utilizam a PO:
PETROBRÁS
A Petrobrás é uma empresa petroleira que possui diversos especialistas em pesquisa
operacional em seu quadro de funcionários. Esses especialistas utilizam modelos matemáticos
para analisar e criar cenários para diferentes problemas de natureza complexa.
Entre os problemas resolvidos com auxílio da PO, podemos citar o dimensionamento da frota e
a roteirização de helicópteros para o transporte de pessoal para as plataformas offshore, a
previsão de reservas de petróleo, a programação de operações em poços de petróleo, a
alocação de equipes em diversas atividades ou o gerenciamento da distribuiçãode derivados
de petróleo.
MRS LOGÍSTICA
A MRS Logística – operador ferroviário que atua na Malha Regional Sudeste da antiga Rede
Ferroviária Federal S.A. – também é um exemplo de empresa brasileira que adota diferentes
técnicas de pesquisa operacional para apoiar seus diferentes processos de tomada de decisão.
A MRS possui especialistas em diversas técnicas de PO que utilizam seu conhecimento para
apoiar a solução de problemas complexos. Entre esses problemas, estão a alocação eficiente
da tripulação nos trens, a alocação de locomotivas e vagões nas diferentes composições de
trens, a programação de manutenção preventiva de seus ativos, ou o processo de
planejamento e programação do transporte ferroviário de carga.
CONSULTORIA ESPECIALIZADA
Existem empresas de consultoria especializadas em Pesquisa Operacional, que fornecem seus
serviços para auxiliar outras organizações na solução em seus processos de tomada de
decisão. Tais empresas utilizam conceitos das diversas áreas da PO – como programação
matemática, simulação ou Inteligência Computacional – para modelar os problemas de seus
clientes.
As empresas conseguem, com isso, rodar diversas análises, fornecendo dados aos seus
clientes sobre como o evento em estudo se comportaria em diversos cenários, sujeito a
alterações dos parâmetros.
PROBLEMAS DO COTIDIANO
É evidente a importância da Pesquisa Operacional na análise de decisão, em especial no
ambiente gerencial. No entanto, as técnicas de pesquisa operacional também podem auxiliar a
tomar decisões no seu dia a dia.
 EXEMPLO
Vamos supor que você queira comprar seu primeiro carro. Para isso, tem economizado a
remuneração que recebe no estágio e deseja selecionar investimentos para obter o melhor
rendimento possível. Nesse caso, o planejamento financeiro pode ser modelado por um
modelo matemático que auxiliará a maximizar os seus rendimentos.
O planejamento financeiro é apenas um exemplo de como você pode aplicar conceitos de PO
em sua vida cotidiana.
Ao aplicar conceitos de PO para a solução de um problema, desenvolvemos um modelo
matemático para representar o fenômeno estudado. Dessa forma, conseguimos analisar
diversos cenários e ter estimativas baseadas em uma análise quantitativa.
As decisões, portanto, não serão tomadas apenas com base em opiniões, intuições ou
experiências passadas de outras pessoas ou empresas. Ao modelar um problema, temos um
processo decisório mais criterioso e com menos incertezas.
 
Foto: Shutterstock.com
MODELO

"UM MODELO É UMA REPRESENTAÇÃO ABSTRATA E
SIMPLIFICADA DE UM SISTEMA REAL, COM O QUAL
SE PODE EXPLICAR, REPRODUZIR, SIMULAR OU
TESTAR SEU COMPORTAMENTO, NO TODO OU EM
PARTES".
COUGO, 1997
Um mapa é um modelo, assim como uma maquete que o arquiteto utiliza para que seus
clientes consigam ter noção da visão espacial, em 3D, do projeto desenvolvido. Uma
formulação matemática usada para expressar um fenômeno físico também é um modelo.
É importante ter em mente que os modelos são versões simplificadas do objeto ou
problema de decisão que representam.
Entretanto, para que seja válido, o modelo precisa representar, de forma precisa, as
características relevantes do objeto ou problema de decisão estudado. Afinal, espera-se que o
modelo melhore os processos de tomada de decisão ao ser implementado.
 ATENÇÃO
A modelagem permite explicitar objetivos, bem como a possibilidade de ganhar conhecimento e
entendimento sobre o problema investigado. Além disso, a implantação de um modelo
quantifica as decisões, permitindo a análise de cenários que seriam impossíveis de serem
analisados na realidade. Outra vantagem da construção de modelos é a economia de recursos
e de tempo.
Na PO, modelamos os problemas matematicamente e, a partir do modelo obtido, usamos
algoritmos para encontrar soluções para diferentes cenários do problema a ser analisado.
Podemos utilizar diferentes tipos de modelos, como veremos a seguir nesta aula.
Os diferentes tipos de modelo nos levam a adotar diferentes técnicas de PO, como
Programação Linear, Programação Não Linear, Teoria das Filas, Simulação, Inteligência
Computacional e Teoria dos Jogos. Nesta aula, vamos conhecer os modelos de
Programação Linear.
Veja o posicionamento da Associação Brasileira de Pesquisa Operacional (ABEPRO) sobre
Disciplinas da pesquisa Operacional:
DISCIPLINAS DA PESQUISA OPERACIONAL
DISCIPLINAS DA PESQUISA OPERACIONAL
A Associação Brasileira de Pesquisa Operacional (ABEPRO) é a instituição representativa de
docentes, discentes e profissionais de Engenharia de Produção no País. Em 2017, a ABEPRO
organizou as áreas do conhecimento relacionadas à Engenharia de Produção, tanto na
graduação quanto na Pós-Graduação, na pesquisa e nas atividades profissionais.
A Pesquisa Operacional, por ser uma importante área do conhecimento para a Engenharia de
Produção, foi incluída na organização da ABEPRO.
De acordo com o documento da ABEPRO, a PO envolve resolução de problemas reais,
envolvendo situações de tomada de decisão, por meio de modelos matemáticos processados
computacionalmente. Aplica conceitos e métodos de outras disciplinas científicas na
concepção, no planejamento ou na operação de sistemas para atingir seus objetivos. Procura,
assim, introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de
decisão, sem descuidar dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que
caracterizam os problemas.
O documento ainda organiza as principais disciplinas de PO em:
Modelagem, Simulação e Otimização
Programação Matemática
Processos Decisórios
Processos Estocásticos
Teoria dos Jogos
Análise de Demanda
Inteligência Computacional
O foco deste tema é a Programação Matemática.
MODELOS MATEMÁTICOS
Ragsdale (2009) define um modelo matemático como:
Conjunto de relacionamentos matemáticos e suposições lógicas, geralmente implementados
em um computador, como representação de algum problema ou fenômeno de decisão do
mundo real.
O modelo matemático usa a lógica e a formulação matemática para obter uma representação
do problema ou do evento a ser analisado e, a partir de então, analisar, desenvolver cenários e
obter soluções para a situação modelada.
O uso de modelos matemáticos é mais barato do que replicar a estrutura real, além de
permitir testar todas as possíveis soluções para diferentes cenários (RODRIGUES et al.,
2014).
COMPOSIÇÃO
Um modelo matemático em pesquisa operacional é composto, basicamente, por
variáveis de decisão, funções objetivo e restrições. O modelo de otimização busca os
valores das variáveis de decisão que otimizam – maximizam ou minimizam – a função objetivo,
ao mesmo tempo em que atendem às restrições às quais o problema é submetido. Vejamos
alguns exemplos:
FUNÇÃO OBJETIVO - MAXIMIZAR OU MINIMIZAR
Maximizar lucro de uma empresa
SUJEITO A RESTRIÇÕES
Disponibilidade de matérias-primas, de mão de obra etc.
Por exemplo, para aplicar o dinheiro que você conseguiu economizar com a
remuneração de seu estágio, você vai ao banco verificar as diferentes opções de
investimento disponíveis.
Nesse problema, você deseja maximizar seu rendimento – função objetivo. Os recursos que
você aplicará em cada opção de investimento são as variáveis de decisão. Além disso, você
está sujeito às restrições relativas ao total de recurso disponíveis e às exigências do banco
para que sejam realizadas as diferentes aplicações.
CLASSIFICAÇÃO
Os modelos matemáticos de otimização, segundo Winston (2004), podem ser classificados em:
MODELOS ESTÁTICOS OU DINÂMICOS
As variáveis de decisões nos modelos estáticos não envolvem sequências de decisões em
múltiplos períodos de tempo, ao contrário do que ocorre em modelos dinâmicos.
Em outras palavras, em um modelo estático, analisamos o problema em um único intervalo de
tempo. Já em um modelo dinâmico, analisamos o problema ao longo do tempo.
MODELOS LINEARES OU NÃO LINEARES
Quando as funções objetivo e restrições envolvem apenas equações lineares, temosum
modelo linear. Quando a função objetivo ou alguma restrição é função polinomial ou de
qualquer outro tipo, temos modelos não lineares.
A solução de modelos não lineares é mais complexa do que a de modelos lineares.
MODELOS INTEIROS OU NÃO INTEIROS
Quando todas as variáveis de decisão estão livres para assumir valores fracionais, temos um
modelo não inteiro. No entanto, se uma ou mais variáveis de decisão adotadas no modelo
matemático necessitam ser inteiras, temos um modelo inteiro.
MODELOS DETERMINÍSTICOS OU ESTOCÁSTICOS
Os componentes são definidos a priori, ou seja, sem aleatoriedade. No entanto, quando os
elementos apresentam probabilidade de ocorrência – ou seja, há aleatoriedade –, temos um
modelo estocástico.
Neste conteúdo, abordaremos apenas os modelos determinísticos.
FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA
OPERACIONAL
Winston (2004) propõe um procedimento composto por sete passos para o desenvolvimento de
modelos matemáticos em estudos de pesquisa operacional, conforme apresentado na imagem
abaixo:
 
Imagem: Operations research: applications and algorithms. WINSTON, W. L., & GOLDBERG,
J. B. 2004, página 5. Adaptado por: Renata Albergaria de Mello Bandeira e Rodrigo Pessôa.
 Procedimento para desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de pesquisa
operacional.
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
O passo inicial do procedimento proposto por Winston (2004) consiste em entender e
definir o problema a ser analisado. Para tanto, é preciso identificar os objetivos e processos
organizacionais que precisam ser estudados antes de resolver o problema. De tal forma, é
fundamental ouvir aquele que lida com o problema.
A comunicação com o cliente, nesse momento, é indispensável para entender a situação real a
ser modelada. No exemplo da seleção dos investimentos a serem realizados com a
remuneração de seu estágio, o problema consiste em maximizar os rendimentos de suas
aplicações financeiras.
OBSERVAÇÃO DO SISTEMA
É necessário, em seguida, observar o sistema para descobrir o que deve ser determinado – as
variáveis do problema – e aquilo que está disponível – os dados do problema. Nessa etapa,
devem ser coletados os dados necessários para estimar os valores das variáveis e os
parâmetros que afetam o problema analisado. Tais estimativas são adotadas no
desenvolvimento do modelo (passo 3) e em sua análise (passo 4).
É nesse momento que coletamos os dados para nossos parâmetros e as variáveis de entrada.
É importante ressaltar a importância do processo de coleta de dados, pois a qualidade dos
dados de entrada é fundamental para a qualidade dos resultados obtidos pelo modelo.
No exemplo da seleção dos investimentos a serem realizados com a remuneração de seu
estágio, é preciso que você conheça as taxas de administração do banco, o rendimento de
cada opção de investimento e o valor mínimo que deve ser aplicado em cada opção.
FORMULAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
O modelo matemático é desenvolvido nessa etapa, com a identificação das variáveis de
decisão, sua função objetivo e suas restrições. Ao longo desta aula, desenvolveremos a
formulação de vários modelos matemáticos para a solução de problemas.
VERIFICAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO E USO
PARA PREDIÇÃO
Após o desenvolvimento do modelo matemático, é necessário se certificar de que o modelo é
válido e representa a realidade de forma fidedigna. Deve-se ter em mente que não basta
aplicar cegamente o modelo desenvolvido.
Caso ocorram modificações na situação real que está sendo analisada, é necessário que tais
modificações possam ser incorporadas no modelo. No exemplo da seleção dos investimentos,
novas opções de investimento poderiam ser oferecidas pelo banco, e você deve poder
incorporá-las em sua análise.
SELEÇÃO DA MELHOR ALTERNATIVA
Este é o momento de selecionar a alternativa – ou as alternativas, afinal, podemos ter mais de
uma solução ótima – que otimiza a função objetivo do problema analisado.
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
As melhores alternativas e os diferentes cenários devem ser apresentados ao decisor, para que
ele tenha todas as informações necessárias para uma tomada de decisão mais assertiva.
Nesse momento, pode ser que o decisor não esteja contente com os resultados apresentados.
Isso pode ocorrer em função de alguma definição incorreta do problema analisado, devido a
problemas na etapa de formulação do problema – etapa 1 –, ou mesmo à falha por parte do
modelador em envolver o decisor no projeto desde o início. Desse modo, pode ser necessário
retornar para os passos 1, 2 ou 3.
IMPLANTAÇÃO E ANÁLISE DAS RECOMENDAÇÕES
O sistema deve ser constantemente monitorado, e qualquer alteração deve ser incorporada ao
modelo, de modo que as recomendações permitam que a organização atinja seus objetivos.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A MODELAGEM MATEMÁTICA CONSISTE NA ARTE (OU TENTATIVA)
DE DESCREVER UM FENÔMENO PELA REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS,
A FIM DE PREVER O COMPORTAMENTO DELES OU PROPOR SOLUÇÕES
NÃO PREVISTAS. COM RELAÇÃO AO PROCESSO DE MODELAGEM
MATEMÁTICA EM PESQUISA OPERACIONAL, ASSINALE A ALTERNATIVA
INCORRETA. 
 
FONTE: QUESTÃO ADAPTADA DO CONCURSO DA FUNDAÇÃO O DE
DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA – UFMG (FUNDEP) PARA
INDÚSTRIAS NUCLEARES DO BRASIL (INB) 2018 PARA O CARGO DE
ENGENHEIRO DE PRODUÇÃO.
A) A qualidade da solução do modelo depende da qualidade dos dados de entrada no modelo.
B) Modelos matemáticos são objetos abstratos que procuram representar as principais
características de um objeto real.
C) Modelos matemáticos podem ser classificados como estáticos ou dinâmicos em função de
como a variação do tempo é considerada no processo de modelagem.
D) Uma das vantagens relacionadas à modelagem matemática é a possibilidade testar todas
as possíveis soluções para diferentes cenários, geralmente, a um custo reduzido e em menor
intervalo de tempo.
E) Todas as variáveis de decisão devem ser inteiras para que um modelo matemático seja
considerado inteiro.
2. A QUALIDADE DA SOLUÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO DEPENDE
DA QUALIDADE DOS DADOS DE ENTRADA NO MODELO. PARA O
DESENVOLVIMENTO DE MODELOS MATEMÁTICOS EM ESTUDOS DE
PESQUISA OPERACIONAL, O PROCESSO DE COLETA DE DADOS
OCORRE NO SEGUINTE PASSO:
A) Formulação do problema
B) Observação do sistema
C) Formulação do modelo matemático
D) Verificação do modelo matemático e uso para predição
E) Seleção da melhor alternativa
GABARITO
1. A modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de descrever um fenômeno
pela representação de sistemas, a fim de prever o comportamento deles ou propor
soluções não previstas. Com relação ao processo de modelagem matemática em
Pesquisa Operacional, assinale a alternativa INCORRETA. 
 
Fonte: questão adaptada do Concurso da Fundação o de Desenvolvimento da Pesquisa
– UFMG (FUNDEP) para Indústrias Nucleares do Brasil (INB) 2018 para o cargo de
Engenheiro de Produção.
A alternativa "E " está correta.
 
Basta que apenas uma variável de decisão seja inteira para termos um modelo inteiro. Todas
as variáveis de decisão precisam estar livres para assumir valores fracionais para o modelo ser
não inteiro.
2. A qualidade da solução de um modelo matemático depende da qualidade dos dados
de entrada no modelo. Para o desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de
Pesquisa Operacional, o processo de coleta de dados ocorre no seguinte passo:
A alternativa "B " está correta.
 
Após a formulação do problema, os dados necessários devem ser coletados, na fase de
observação do sistema, para que sejam estimados os valores das variáveis e os parâmetros a
serem adotados na modelagem do problema analisado. Tais estimativas são adotadas no
desenvolvimento do modelo (passo 3) e em sua análise (passo 4).
MÓDULO 2
 Descrever as principais características e propriedades de um modelo de
Programação Linear
PROGRAMAÇÃO LINEAR
A Programação Matemática – geralmente chamada de otimização –, pode ser definida como:

UM CAMPO DA CIÊNCIA DE GERENCIAMENTO QUE
ENCONTRA A MANEIRA IDEAL OU MAIS EFICIENTEDE USAR RECURSOS LIMITADOS PARA ATINGIR OS
OBJETIVOS DE UM INDIVÍDUO OU DE UMA EMPRESA.
RASGADALE, 2009
A Programação Linear, por sua vez, é uma das técnicas mais difundidas de otimização, e sua
aplicação é indicada para a solução de problemas de otimização que podem ser modelados
por meio de equações lineares.
 SAIBA MAIS
A Programação Linear vem sendo aplicada em problemas de indústrias de diferentes setores,
como bancos, petroleiras, empresas de educação ou em operadores de transportes. Empresas
como a Fedex e a Amazon, por exemplo, utilizam essas técnicas para programar as rotas e
determinar o caminho mínimo na gestão de suas cadeias de distribuição.
No processo de modelagem, é preciso entender as características do problema a fim de
traduzi-las para uma linguagem matemática. No caso específico da Programação Linear, essa
“tradução” ocorre por meio do desenvolvimento de uma série de equações lineares, que
representam as características do problema analisado.
 ATENÇÃO
A Programação Linear, em suma, é uma técnica de solução de problemas que visa determinar
o máximo ou o mínimo de uma função linear cujas variáveis estão sujeitas a um conjunto de
restrições representadas por um sistema de equações ou inequações lineares.
CARACTERÍSTICAS
As principais características de problemas de Programação Linear são:
Todas as equações são da forma linear, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Há sempre um objetivo a ser otimizado – maximizado ou minimizado. Isso significa que
há sempre a busca pela melhor solução entre várias alternativas. Apenas um objetivo
pode ser otimizado por vez, sendo representado pela função objetivo.
No problema, há fatores controláveis que serão analisados, verificando-se os valores
desses fatores que levam ao melhor resultado para otimizar o objetivo. Tais fatores
controláveis são as variáveis de decisão (x1, x2, ..., xm). A função objetivo é escrita em
termos das variáveis de decisão.
No problema, há fatores não controláveis que influenciam os resultados encontrados para
as variáveis de decisão. Esses fatores não controláveis são os parâmetros (a1, a2, ...,
am).
ELEMENTOS
Um modelo de Programação Linear apresenta elementos principais – as variáveis de decisão,
os parâmetros, a função objetivo e o conjunto de restrição. A seguir, vejamos cada um deles.
VARIÁVEIS DE DECISÃO
São os fatores controláveis do problema a ser analisado. Trata-se, portanto, das incógnitas a
serem definidas na solução do problema de otimização. Podemos citar como exemplo a
quantidade de um produto a ser transportado da origem i para o destino j, xij, sendo x a
quantidade do produto a ser transportado de i para j.
a1 x1 + a2 x2 + … + am xm = an 
PARÂMETROS
São os fatores não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, os dados de entrada que
devem ser coletados antes da etapa de modelagem do problema. Os parâmetros influenciam
diretamente os valores obtidos para a solução ótima do problema de otimização.
Como exemplo, podemos citar o custo de transportar uma unidade de um produto por
quilômetro, cij. Nesse caso, c corresponde ao custo por quilômetro percorrido no transporte de
um determinado produto de i para j – R$/km.
FUNÇÃO OBJETIVO
É a expressão matemática do objetivo a ser maximizado ou minimizado na situação analisada.
Por exemplo, pode-se desejar minimizar o custo total do transporte de um produto de n origens
i para m possíveis destinos j. Dessa forma, a função objetivo seria Min Custo= 
RESTRIÇÕES
É um conjunto de equações lineares que traduzem o limite físico à solução do problema, ou
seja, são os limitantes dos valores das variáveis de decisão. Por exemplo, a quantidade total
de um produto que pode ser transportado da origem i para o destino j não pode ser infinita.
Esse total é limitado pela disponibilidade de produtos na origem i. Desse modo, temos que 
, sendo Si a disponibilidade de produto na origem i
REPRESENTAÇÃO
Podemos representar um modelo de Programação Linear da seguinte forma:
∑ni=1 ∑
m
j=1 cijxij
∑
m
j=1 xij ≤ Si,   ⊽ i
ONDE AS FUNÇÕES SÃO LINEARES.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO A PASSO PARA A CONSTRUÇÃO 
DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO
LINEAR
Uma vez compreendidas as principais características e os principais elementos de problemas
de Programação Linear, podemos passar para a construção de modelos matemáticos de
Programação Linear.
No processo de modelagem, devemos transformar a linguagem do problema em uma
linguagem matemática. Para isso, devemos começar definindo as variáveis de decisão e,
posteriormente, a função objetivo e as restrições.
Sugerimos que seja seguida uma sequência de três passos para a modelagem de um
problema de Programação Linear, conforme apresentado na imagem a seguir:
Otimizar :  z  =  f (x1,x2, . . . ,xn)
[MATH PROCESSING ERROR]
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Procedimento para desenvolvimento de modelos de Programação Linear.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO
O passo inicial do procedimento proposto consiste em identificar as variáveis desconhecidas a
serem determinadas – variáveis de decisão.
IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO
Nessa etapa, deve-se identificar o objetivo a ser atingido e representá-lo como uma função
linear das variáveis de decisão. Conforme Rodrigues et al. (2014) orientam, essa etapa é
explicitada no enunciado do problema, bastando uma leitura atenta do texto.
Deve-se prestar especial atenção a alguns sinalizadores, como:
Deseja-se minimizar o custo total de transporte – minimização.
Deseja-se maximizar o lucro da empresa. - maximização.
IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES
Nessa etapa, devem ser listadas todas as restrições do problema, sendo expressas como
equações (=) ou inequações lineares (>,<) em termos das variáveis de decisão. Tal como na
identificação da função objetivo, uma leitura atenta do enunciado é a melhor forma de
identificar os limitantes à função objetivo.
Segundo Rodrigues et al. (2014), deve-se dar especial atenção a passagens do problema em
que aparecem expressões como:
A quantidade transportada não poderá ultrapassar (...)
A quantidade recebida não poderá ser menor do que (...)
O máximo de horas disponíveis é (...), entre outras.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
No vídeo a seguir você conhecerá o conceito de Programação Linear, os principais elementos
de um modelo de Programação Linear e os passos para a construção desse tipo de modelo:
APLICAÇÃO DO PASSO A PASSO PARA A 
CONSTRUÇÃO DE UM MODELO DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR
Agora, iremos revisar os conceitos de Programação Linear estudados até aqui a partir de um
exemplo. Com isso, serão reforçados os elementos e as principais características de um
problema de Programação Linear por meio da construção de um modelo. Para isso,
seguiremos os passos apresentados previamente.
 EXEMPLO
A Fitwear S/A é uma confecção de roupas esportivas e tem uma linha fitness feminina. Essa
linha produz roupas de ginástica exclusivas para mulheres, como tops e calças de lycra.
Cada top de ginástica é vendido por R$ 80,00 e utiliza R$ 20,00 de matéria-prima, como tecido
e alinhamentos, e R$ 32,00 com mão de obra. Além disso, são demandados 30 minutos de
corte e 15 minutos de costura para a confecção de um top de ginástica.
Cada calça de ginástica é vendida por R$ 120,00 e utiliza R$ 35,00 de matéria-prima, como
tecido e alinhamentos, e R$ 40,00 de mão de obra. São demandados 15 minutos de corte e 30
minutos de costura para a confecção de uma calça de ginástica.
A Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por semana e 160 horas de costura. A
confecção não tem problemas no fornecimento de matérias-primas, de modo que o seu
suprimento pode ser considerado ilimitado assim como a demanda semanal de seus produtos.
A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros.
Vamos usar, a seguir, os passos do procedimento proposto paraconstrução do modelo de
Programação Linear para o caso da Fitwear S/A.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO
As variáveis de decisão devem descrever completamente as decisões a serem tomadas. No
caso da Fitwear, a empresa deve decidir os produtos a serem confeccionados. Com isso, a
definição da Variável de Decisão seria:
xi – quantidade de produto i confeccionada
Desse modo, temos:
x1 = Número de tops de ginástica confeccionados a cada semana.
x2 = Número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana.
IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO
Em qualquer problema de Programação Linear, o analista sempre deseja maximizar ou
minimizar alguma função das variáveis de decisão. No enunciado do problema, devemos
procurar pelo propósito que se procura atingir. Dessa forma, saberemos o que deve ser
maximizado ou minimizado a fim de definirmos a função objetivo.
No caso da Fitwear, a empresa deseja maximizar seu lucro semanal:
A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros.
 ATENÇÃO
Lucro semanal = lucro semanal oriundo da venda de tops + lucro semanal oriundo da venda de
calças.
Precisamos, portanto, determinar o ganho semanal obtido com a venda dos produtos e subtrair
destes os gastos semanais com matéria-prima e mão de obra. Vejamos:
GANHO SEMANAL DA VENDA DE TOPS E CALÇAS
Cada top é vendido por R$ 80,00, e cada calça é vendida por R$ 120,00. Logo, o ganho
semanal é igual a 80x1 + 120x2.
Observe que também devemos considerar os custos. Vejamos:
GASTO SEMANAL COM MATÉRIA-PRIMA
Cada top utiliza R$ 20,00 em matéria-prima, e cada calça utiliza R$ 35,00.
Logo, o gasto semanal com matéria-prima é igual a 20x1 + 35x2.
GASTO SEMANAL COM MÃO DE OBRA
Para confeccionar cada top, gasta-se R$ 32,00 em mão de obra. Para cada calça, gasta-se R$
40,00. Logo, o gasto semanal com mão de obra é igual a 32x1 + 40x2.
Desse modo, para determinar a função objetivo, tem-se:
(+) GANHO SEMANAL COM VENDAS: (80X1 + 120X2)
(-) CUSTO DE MATÉRIA-PRIMA: – (20X1 + 35X2 )
(-) CUSTO DE MÃO DE OBRA: – (32X1 + 40X2 )
(80X1 + 120X2 ) – (20X1 + 35X2 ) – (32X1 + 40X2 )
= 28X1 + 40X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função objetivo, portanto, é
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira adaptada por Rodrigo Pessôa
Os coeficientes da função objetivo indicam a contribuição de cada variável nos lucros da
Fitwear.
IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE
RESTRIÇÕES
Observa-se que os valores dos coeficientes da função objetivo para o problema de
Programação Linear do caso da Fitwear são positivos, e este é um problema de maximização.
Desse modo, à medida que x1 e x2 crescem, o valor da função objetivo aumenta. No entanto,
x1 e x2 não podem crescem indefinidamente, pois existem as restrições.
 COMENTÁRIO
No caso do problema da Fitwear, foram consideradas ilimitadas a demanda por seus
produtos e a oferta de matéria-prima, de modo que não entram como restrições no
modelo matemático.
Existem, no entanto, duas restrições relacionadas ao tempo disponível para corte e ao tempo
disponível para a costura.
Essas restrições devem ser definidas em termos das variáveis de decisão x1 e x2. Com isso,
temos:
RESTRIÇÃO 1: 100 HORAS DE CORTE POR SEMANA.
Cada top de ginástica requer 30 minutos de corte, e cada calça de ginástica requer 15 minutos
de corte para sua confecção. Além disso, a Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por
semana.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(total de horas de corte/semana) = (0,5x1 + 0,25x2)
Logo, a restrição 1 é dada por: 0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100.
RESTRIÇÃO 2: 160 HORAS DE COSTURA POR
SEMANA.
Cada top de ginástica requer 15 minutos de costura, e cada calça de ginástica requer 30
minutos de costura para sua confecção. Além disso, a Fitwear só pode contar com 160 horas
de corte por semana.
(total de horas de costura/semana) = (horas de costura/top) * (tops produzidos/semana) +
(horas de costura/calça) * (calças produzidas/semana)
(total de horas de corte/semana) = (0,25x1 + 0,5x2)
Logo, a restrição 2 é dada por: 0,25x1 + 0,5x2≤160.
RESTRIÇÃO 3: RESTRIÇÃO DE NÃO NEGATIVIDADE
DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO.
Há ainda a restrição de não negatividade das variáveis de decisão, uma vez que não se pode
produzir um número negativo de calças e tops de ginástica.
Logo, a restrição 3 é dada por: x1, x2≥0.
Após seguirmos os passos indicados para a construção de um modelo de Programação Linear,
temos a formulação matemática para o problema da Fitwear S/A, conforme apresentado a
seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devemos considerar que o modelo está sujeito a:
0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100  restrição de horas de corte
0,25x1 + 0,5x2 ≤ 160  restrição de horas de costura
x1, x2 ≥ 0  restrição de não negatividade das variáveis de decisão
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ENTRE OS PRINCIPAIS ELEMENTOS DE UM MODELO DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR, OS FATORES NÃO CONTROLÁVEIS DO
PROBLEMA A SER ANALISADO, OU SEJA, OS DADOS DE ENTRADA QUE
DEVEM SER COLETADOS PREVIAMENTE A ETAPA DE MODELAGEM DO
PROBLEMA, SÃO DENOMINADOS:
A) Variáveis de decisão
B) Variáveis condicionantes
Máx Z  =  28x1  +  40x2
C) Parâmetros
D) Função objetivo
E) Restrições
2. UM SAPATEIRO CONSERTA 3 SAPATOS POR HORA, SE SOMENTE
CONSERTAR SAPATOS. PARA FAZER UM PAR DE SAPATOS NOVOS, O
SAPATEIRO LEVA 2 HORAS, SE FIZER SOMENTE SAPATOS. ELE GASTA
4 UNIDADES DE COURO PARA FABRICAR UM PAR DE SAPATOS. PARA
CONSERTAR UMA UNIDADE DE SAPATO, ELE GASTA UMA UNIDADE DE
COURO. 
 
SABE-SE QUE O TOTAL DISPONÍVEL DE COURO É DE 12 UNIDADES E
QUE O SAPATEIRO TRABALHA 10 HORAS POR DIA. O LUCRO UNITÁRIO
POR PAR DE SAPATOS É DE 8 UNIDADES MONETÁRIAS E O DO
CONSERTO DE UMA UNIDADE DE SAPATO É DE 2 UNIDADES
MONETÁRIAS. O SAPATEIRO DESEJA PLANEJAR SEU SISTEMA DE
PRODUÇÃO DIÁRIO DE MODO A MAXIMIZAR SEU LUCRO POR HORA. 
 
PEDIDO 1 – A FUNÇÃO OBJETIVO DO PROBLEMA É:
A) Max Z = x1 + 2x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato
fabricada.
B) Max Z = 2x1 + 8x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato
fabricada.
C) Max Z = 2x1 + 8x2, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato
consertada.
D) Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato
fabricada.
E) Max Z = 2x1 + 4x2, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato
consertada.
3. PEDIDO 2 – A RESTRIÇÃO EM REFERENTE À DISPONIBILIDADE DE
COURO É:
A) x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
B) x1 + 2x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada.
C) x1 + 4x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
D) x1 + 4x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato fabricada e x2 a unidade de sapato consertada.
E) 3x1 + x2 ≤ 12, sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato fabricada.
4. PEDIDO 3 – A RESTRIÇÃO REFERENTE ÀS HORAS TRABALHADAS É:
A) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato
fabricada.
B) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato
fabricada.
C) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato
fabricada.
D) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato
fabricada.
E) , sendo x1 a unidade de sapato consertada e x2 a unidade de sapato
fabricada.
GABARITO
1. Entre os principais elementos de um modelo de programação linear, os fatores não
controláveis do problema a ser analisado, ou seja, os dados de entrada que devem ser
coletados previamente a etapa de modelagem do problema, são denominados:
A alternativa "C " está correta.
 
3x1  +  x2  ≤  10
3x1  +  2x2  ≤  10
+ x2 ≤ 10
x1
3
+ 2x2 ≤ 10
x1
3
3x1  +  x2  ≥  10
Os principais elementos de um modelo de programação linear são as variáveis de decisão, os
parâmetros, a função objetivo e o conjunto derestrição.
As variáveis de decisão são os fatores controláveis do problema a ser analisado, ou seja, são
as incógnitas a serem definidas na solução do problema de otimização. Os parâmetros são os
fatores não controláveis do problema a ser analisado, ou seja, são os dados de entrada que
devem ser coletados previamente à etapa de modelagem do problema.
É importante ressaltar que os parâmetros influenciam diretamente os valores obtidos para a
solução ótima do problema de otimização.
2. Um sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Para fazer
um par de sapatos novos, o sapateiro leva 2 horas, se fizer somente sapatos. Ele gasta 4
unidades de couro para fabricar um par de sapatos. Para consertar uma unidade de
sapato, ele gasta uma unidade de couro. 
 
Sabe-se que o total disponível de couro é de 12 unidades e que o sapateiro trabalha 10
horas por dia. O lucro unitário por par de sapatos é de 8 unidades monetárias e o do
conserto de uma unidade de sapato é de 2 unidades monetárias. O sapateiro deseja
planejar seu sistema de produção diário de modo a maximizar seu lucro por hora. 
 
Pedido 1 – A função objetivo do problema é:
A alternativa "D " está correta.
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão, que, no caso, são:
x1: unidade de sapato consertada.
x2: unidade de sapato fabricada.
O lucro por unidade de sapato fabricada é de 4,00 unidades monetárias (8,00 pelo par). O lucro
por unidade de sapato consertado é de 2,00 unidades monetárias. Logo, a função objetivo é:
Max Z = 2x1 + 4x2.
3. Pedido 2 – A restrição em referente à disponibilidade de couro é:
A alternativa "A " está correta.
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão. Nesse caso, as
variáveis de decisão são:
x1: unidade de sapato consertada.
x2: unidade de sapato fabricada.
O sapateiro tem disponível um total de 12 unidades de couro, de modo que a restrição será
uma inequação do tipo ≤.
O sapateiro gasta uma unidade de couro para consertar uma unidade de sapato e 4 unidades
de couro para fabricar um par de sapatos. Com isso, para fabricar uma unidade de sapato, o
sapateiro precisa de 2 unidades de couro. Podemos afirmar, portanto, que a restrição referente
à disponibilidade de couro para a produção ou conserto de sapatos é x1 + 2x2 ≤ 12.
4. Pedido 3 – A restrição referente às horas trabalhadas é:
A alternativa "C " está correta.
 
Para modelar o problema, o primeiro passo é definir as variáveis de decisão, que são:
x1: unidade de sapato consertada.
x2: unidade de sapato fabricada.
A jornada diária do sapateiro é de 10 horas. Logo, ele trabalha um total de 10 horas diárias, no
máximo, e podemos concluir que a restrição será uma inequação do tipo ≤.
O sapateiro conserta 3 sapatos por hora, se somente consertar sapatos. Logo, ele leva 20
minutos (1/3 da hora) para consertar cada unidade de sapato. O sapateiro leva 2 horas para
fazer um par de sapatos novos. Desse modo, ele fabrica uma unidade de sapato por hora,
levando 1 hora para fabricar cada unidade de sapato.
Podemos afirmar, portanto, que a restrição referente às horas trabalhadas para a produção ou
o conserto de sapatos é 
MÓDULO 3
+ x2 ≤ 10
x1
3
 Aplicar o método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear
APLICAÇÃO DO MÉTODO GRÁFICO PARA
A SOLUÇÃO 
DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO
LINEAR
No módulo anterior, aprendemos a modelar um problema de Programação Linear e aplicamos
o conhecimento adquirido para o caso da Fitwear S/A. Dessa forma, conseguimos construir o
modelo de Programação Linear.
Agora, temos outra questão a resolver:
Como podemos solucionar o modelo de Programação Linear de modo a definir a solução que
corresponde ao melhor valor possível da função objetivo? Em outras palavras, como
encontramos essa solução ótima?
ESPAÇO DE SOLUÇÕES
As restrições de um modelo de Programação Linear delimitam a região de suas possíveis
soluções, ou seja, definem o conjunto de soluções viáveis. Nesse sentido, o conjunto de
restrições delimita o chamado espaço de soluções.
O espaço de soluções é formado por todos os pontos que satisfazem as restrições do
problema.
Vamos determinar, a seguir, o espaço de soluções para o caso da Fitwear.
Voltando ao problema da Fitwear, temos:
Máx Z  =  28x1  +  40x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
0,5x1 + 0,25x2 ≤ 100  restrição de horas de corte
0,25x1 + 0,5x2 ≤ 160  restrição de horas de costura
x1, x2 ≥ 0  não negatividade das variáveis de decisão
RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE
A figura a seguir mostra a área delimitada pela restrição referente ao número de horas de corte
disponíveis pela Fitwear por semana, considerando a condição de não negatividade das
variáveis de decisão.
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Espaço de soluções para a restrição de horas de corte.
RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA
Já a figura a seguir mostra a área delimitada pela restrição referente ao número de horas de
corte disponíveis pela Fitwear por semana, considerando a condição de não negatividade das
variáveis de decisão.
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Espaço de soluções para a restrição de horas de costura.
DELIMITAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES
A figura a seguir destaca, em roxo, o espaço de soluções para o problema da Fitwear. Desse
modo, a figura mostra a área delimitada pelo conjunto de restrições para o caso em análise.
0,5X1 + 0,25X2 ≤ 100  RESTRIÇÃO DE HORAS DE
CORTE
0,25X1 + 0,5X2 ≤ 160  RESTRIÇÃO DE HORAS DE
COSTURA
X1, X2 ≥ 0  NÃO NEGATIVIDADE DAS VARIÁVEIS DE
DECISÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Espaço de soluções para problema da Fitwear.
Conseguimos visualizar, na figura acima, o espaço de soluções para o problema da Fitwear,
que consiste no quadrilátero formado pelos pontos ABCD.
Desse modo, sabemos que todas as possíveis soluções viáveis para o problema da
Fitwear se encontram nesse quadrilátero.
É preciso responder, no entanto, a duas questões fundamentais:
Qual ponto corresponde ao melhor valor possível da função objetivo?
Como determinar a solução ótima, ou seja, aquela que maximiza o lucro da confecção?
Já conhecemos o espaço de soluções no caso da Fitwear. Agora, só é preciso determinar qual
dos pontos do quadrilátero ABCD nos proporciona o maior valor de Z= 28x1 + 40x2.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, para qualquer Z, temos que x2 = 0,25 * Z – 0,7*x1. Essas são as linhas de
isocusto, que são paralelas entre si.
 ATENÇÃO
Retas paralelas
Duas retas são paralelas quando ocupam o mesmo plano e não possuem nenhum ponto em
comum. Desse modo, as retas paralelas nunca se cruzam.
Duas retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. Logo, se o coeficiente angular de uma
reta s é ms, e esta reta é paralela a uma reta r cujo coeficiente angular corresponde a mr,
podemos afirmar que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba, ainda, que a reta x2= 0,25 * Z – 0,7*x1 é perpendicular ao vetor (28,40), formado
pelos coeficientes da função objetivo. Vejamos:
No caso da Fitwear :  Max Z  =  28x1  +  40x2
[MATH PROCESSING ERROR]
ms  =  mr
Z = 28X1 + 40X2  VETOR (28,40)  X2 = 40/28 * X1=
10/7 * X1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Retas perpendiculares
No ponto de intersecção de duas retas perpendiculares, é formado um ângulo reto (de medida
igual a 90°).
Duas retas perpendiculares têm os seus coeficientes angulares opostos e inversos. Logo, se o
coeficiente angular de uma reta s é ms, e esta reta é perpendicular a uma reta r cujo
coeficiente angular corresponde a mr, podemos afirmar que:
MS = –1 / MR OU MS . MR = –1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilizea rolagem horizontal
SOLUÇÃO ÓTIMA
O passo para finalizar o problema da Fitwear consiste em escolher o ponto no espaço viável
que maximiza o valor da função objetivo. Para tanto, devemos plotar o vetor (28,40) no
espaço de soluções e determinar a reta perpendicular que pertence ao espaço de soluções
(quadrilátero ABCD) e possui o maior valor para Z.
A figura a seguir apresenta o espaço de soluções e o vetor (28,40). Ao se desenhar as retas
paralelas (linhas de isocusto) perpendiculares ao vetor (28,40), temos que a reta que possui
maior valor de z e ainda pertence ao espaço de soluções corresponde a z = 13.226,67 (linha
destacada em vermelho), sendo x1 igual a 53,33 e x2 igual a 293,33.
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Solução ótima para o problema da Fitwear.
Para o problema da Fitwear, temos que o planejamento de produção semanal que traz o maior
lucro possível para a empresa é a confecção de 53,33 tops e 293,33 calças de ginástica.
Dessa forma, a Fitwear teria um lucro semanal equivalente a R$ 13.226,67.
Note que o problema da Fitwear possui apenas duas variáveis de decisão. Esse tipo de
problema mais simples, com apenas duas variáveis de decisão, pode ser resolvido com relativa
facilidade por meio de um método chamado de Método Gráfico. Logo, para encontrar a solução
ótima, precisamos seguir os passos do Método Gráfico, apresentados a seguir:
1. Desenhe as retas correspondentes às restrições do problema e encontre o espaço de
soluções.

2. Desenhe o vetor z.

3. Desenhe linhas ortogonais ao vetor z. Essas são as linhas de isocusto, isto é, são as retas
que possuem o mesmo valor de z.

4. Calcule o valor de z no ponto ótimo, ou seja, a linha de isocusto com maior z que ainda toca
o espaço de soluções.
SITUAÇÕES PARTICULARES DA SOLUÇÃO
DE UM PROBLEMA 
DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO
MÉTODO GRÁFICO
Após resolver um problema de otimização, seja pelo Método Gráfico seja por qualquer outro
método, podemos chegar a quatro situações particulares:
Solução ótima única e identificada.
Inviável, ou seja, não existem soluções viáveis para o problema apresentado.
Ilimitado, ou seja, a função objetivo pode crescer infinitamente.
Múltiplas soluções, ou seja, o problema possui mais de uma solução ótima (infinitas).
Vejamos, a seguir, cada uma dessas situações representados graficamente.
Solução ótima única
Na figura a seguir vemos um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema com
uma única solução ótima.
 
Imagem: Métodos quantitativos, OLIVEIRA, 2015, página 26. Adaptado por Renata Albergaria
de Mello Bandeira.
 Solução ótima única.
Problema inviável
Esta figura apresenta um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema inviável.
Nesses casos, as restrições não formam nenhum espaço de soluções viáveis.
 
Imagem: Renata Albergaria de Mello Bandeira
 Problema inviável.
Problema ilimitado
Veja um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema ilimitado, ou seja, com
solução tendendo ao infinito. Nesses casos, as restrições formam um espaço aberto de
soluções viáveis, conforme pode ser observado no exemplo da figura a seguir.
Observe que se trata de um problema de maximização.
 
Imagem: Métodos quantitativos, OLIVEIRA, 2015, página 19. Adaptado por Renata Albergaria
de Mello Bandeira.
 Problema Ilimitado.
Problema de múltiplas soluções
Aqui vemos um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema de múltiplas
soluções, ou seja, com mais de uma solução ótima. Esse tipo de problema também pode ser
denominado de problemas com soluções alternativas.
Nesses casos, a linha de isocusto, ao abandonar o espaço de soluções viáveis, intersecciona
com uma linha inteira, e não somente um ponto desse conjunto. Isso ocorre porque a linha de
isocusto é, na verdade, paralela à reta dessa restrição, conforme pode ser observado no
exemplo da figura a seguir.
Observe que várias soluções são simultaneamente ótimas nesse tipo de problema.
 
Imagem: Métodos quantitativos, OLIVEIRA, 2015, página 21. Adaptado por Renata Albergaria
de Mello Bandeira.
 Problema com múltiplas soluções.
MÉTODO GRÁFICO
No vídeo a seguir, você verá os principais passos a serem seguidos na solução de um
problema de Programação Linear pelo Método Gráfico e as situações particulares dos
resultados que podem ser obtidos:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZE O MÉTODO GRÁFICO PARA A SOLUÇÃO DO PROGRAMAÇÃO
LINEAR A SEGUIR: 
 
MAX: 350X1 + 300X2 
 
SUJEITO A: 
 
1X1 + 1X2 <= 200 
 
9X1 + 6X2 <= 1566 
 
12X1 + 16X2 <= 2880 
 
X1 >= 0 
 
X2 >= 0 
 
O VALOR DE Z PARA A SOLUÇÃO ÓTIMA PARA O PROBLEMA
APRESENTADO É IGUAL A:
A) Zero
B) 54.000
C) 60.900
D) 64.000
E) 66.100
2. AO SOLUCIONAR UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO
MÉTODO GRÁFICO, FOI OBTIDO O SEGUINTE GRÁFICO:
 SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.
DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE SE TRATA DE
UM PROBLEMA DE:
A) Minimização com uma solução ótima
B) Maximização com uma solução ótima
C) Maximização com múltiplas soluções alternativas
D) Maximização ilimitado
E) Maximização inviável
GABARITO
1. Utilize o Método Gráfico para a solução do Programação Linear a seguir: 
 
MAX: 350X1 + 300X2 
 
Sujeito a: 
 
1X1 + 1X2 <= 200 
 
9X1 + 6X2 <= 1566 
 
12X1 + 16X2 <= 2880 
 
X1 >= 0 
 
X2 >= 0 
 
O valor de z para a solução ótima para o problema apresentado é igual a:
A alternativa "E " está correta.
 
A resposta correta é 66.100, conforme pode ser verificado na solução obtida pelo Método
Gráfico apresentada na figura a seguir:
 Solução pelo método gráfico.
2. Ao solucionar um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico, foi obtido o
seguinte gráfico:
 Solução para um problema de programação linear.
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que se trata de um problema de:
A alternativa "D " está correta.
 
Trata-se de um problema de maximização ilimitado. Observe que o vetor Z está apontando
para cima – na direção oposta da origem –, o que nos mostra que este é um problema de
maximização.
Não há uma região de espaço de soluções delimitada pelo cruzamento das retas do conjunto
de restrições. Dessa forma, as restrições formam um espaço aberto de soluções viáveis, de
modo que a solução tende ao infinito, caracterizando um problema ilimitado.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, visitamos os principais conceitos da Pesquisa Operacional, abordando a sua
origem e evolução como campo do conhecimento. Verificamos a sua importância e a
aplicabilidade de suas técnicas e ferramentas no apoio ao processo de tomada de decisão em
diferentes campos de atuação e setores.
Trabalhamos o conceito de modelo e vimos como um modelo nos traz benefícios na análise de
decisão. Nesse sentido, um modelo é uma simplificação do problema a ser analisado, de modo
que nos permite avaliar diferentes cenários em um menor tempo e com menos recursos.
Para que possamos de fato usufruir desses benefícios, é fundamental que o modelo e a
qualidade dos dados de entrada sejam fidedignos. Nesse contexto, foram apresentados os
principais passos a serem seguidos para o desenvolvimento de um modelo matemático em
estudos de Pesquisa Operacional.
Uma das técnicas mais difundidas de Pesquisa Operacional é a Programação Linear, cujos
conceitos também foram apresentados. Aprendemos sobre os principais elementos de um
modelo de Programação Linear e vimos como construir esse tipo de modelo e encontrar sua
solução por meio do Método Gráfico. Todo esse conhecimento foi apresentado por meio do
desenvolvimento do modelo matemático para o exemplo da Fitwear!
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
COUGO, P. Modelagem conceitual e projeto de banco de dados. Rio de Janeiro:
Elsevier Brasil, 2013.
FÁVERO, L. P.; BELFIORE, P. Pesquisa operacional para cursos de administração.
Rio de Janeiro: Elsevier Brasil, 2012.
OLIVEIRA, F. Métodos quantitativos. Rio de Janeiro, 2016. (Notas de aula).
PRADO, D. Programação linear. Vol. 1.São Paulo: Falconi, 2016.
RAGSDALE, C. T. Modelagem e análise de decisão. São Paulo: Cengage Learning,
2009.
RODRIGUES, L. H.; AHLERT, F.; LACERDA, D. P.; CAMARGO, L. F. R. & LIMA, P.
Pesquisa operacional: programação linear passo a passo – do entendimento do
problema à interpretação da solução. São Leopoldo: Unisinos, 2014.
SOBRAPO – Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (2021). O que é Pesquisa
Operacional? Disponível em meio eletrônico. Consultado em: 04 fev. 2021.
WINSTON, W. L.; GOLDBERG, J. B. Operations research: applications and algorithms.
Vol. 3. Belmont, Califórnia: Thomson/Brooks/Cole, 2004.
EXPLORE+
Assista ao vídeo O que é Pesquisa Operacional?, da Sociedade Britânica de Pesquisa
Operacional (OR Society), disponível no YouTube, para entender melhor o que é a
Pesquisa Operacional, o desenvolvimento desse campo do conhecimento e suas
possibilidades de aplicação.
Leia os capítulos 1 e 2 do livro Pesquisa operacional na tomada de decisões, de G.
Lachtermacher, publicado em 2016.
Leia os capítulos 1 e 2 do livro Modelagem e análise de decisão, de C. T. RAGSDALE,
publicado em 2009.
CONTEUDISTA
Renata Albergaria de Mello Bandeira
 CURRÍCULO LATTES
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