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Fundamentos da Geometria I
Aula 04: Triângulos
Apresentação
Nesta aula serão apresentados a Definição, os elementos e a classificação do triângulos. Além disso, veremos a condição de existência
como também as principais cevianas de um triângulo e outros aspectos importantes.
Objetivos
Definir triângulo, identificar seus elementos e classificá-los;
Reconhecer suas principais cevianas;
Identificar os casos de congruência e verificar as relações entre os seus elementos.
De�nição de elementos
Triângulo ABC que se indica por ΔABC é a figura formada
pela reunião de três segmentos AB, AC e  BC,  definidos por
três pontos A , B e C não colineares.
Assim temos:
ΔABC = AB U AC U BC
Em outras palavras, triângulo é o polígono de três lados. Em um triângulo temos:
Os vértices: A, B e C
Os segmentos AB=c, AC=b e
BC=a, são os lados do triângulo.
Os ângulos BAC=A, ABC=B e
ACB=C são os ângulos internos
do triângulo.
Os ângulos ae, be, ce são
ângulos externos do ΔABC.
Equilátero: quando tem os três lados congruentes.
Isósceles – quando tem dois lados congruentes.
Escaleno: quando os três lados têm medidas diferentes.
Classi�cação dos triângulos em relação aos ângulos
Retângulo
Quando tem um ângulo reto.
a=90°
No triângulo retângulo, o lado oposto
ao ângulo reto denomina-se
hipotenusa e os outros dois, catetos.
Assim: bc=a (hipotenusa) AC=b e
AB=c (catetos)
Acutângulo
Quando têm três ângulos agudos.
A <90°, B<90° e C<90°
Obtusângulo
Quando tem um ângulo obtuso.
B>90°
Condição de existência
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma e maior que o módulo da diferença dos outros dois.
a< b + c 
b< a + c 
c< a + b 
e
a>|b - c| 
b>|a - c| 
c>|a - b|
Teorema
“a”é o maior lado   é o maior
ângulo.
Elementos e pontos notáveis de triângulo
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma e maior que o módulo da diferença dos outros dois.
Clique nos botões para ver as informações.
Altura – Ortocentro 
Altura é o segmento da perpendicular cujas extremidades
são o vértice e a interseção com o lado oposto ou o seu
prolongamento.
As três alturas de um triângulo se encontram num
mesmo ponto O, denominado ortocentro. O triângulo de
vértices Há, Hb e Hc é denominado triângulo órtico do
triângulo ABC.
Mediana e baricentro 
Mediana é o segmento cujas extremidades são o vértice
e ponto médio do lado oposto. As três medianas de um
triângulo se encontram num mesmo ponto denominado
baricentro ou centro de gravidade.
O baricentro está a 2/3 do vértice e a 1/3 do ponto médio
do lado oposto.
Bissetriz interna – Incentro 
Bissetriz interna é o segmento da bissetriz do ângulo do
triângulo compreendido entre o vértice e o lado oposto.
As três bissetrizes internas dos ângulos do triângulo se
encontram num ponto I denominado INCENTRO. O
incentro é o centro da circunferência inscrita no
triângulo.
Mediatriz e circuncentro 
Mediatriz é a perpendicular traçada pelo ponto médio do
lado do triângulo.
As três mediatrizes de um triângulo se encontram num
ponto C denominado CIRCUNCENTRO. O circuncentro é o
centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se e somente se for  possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices, de modo
que:
1
Seus lados sejam
ordenadamente congruentes
aos lados 0do outro.
2
Seus ângulos sejam
ordenadamente congruentes
aos ângulos do outro..
Assim temos:  
ΔABC ≡ ΔA’B’C’
Comentário
O símbolo ≡ ou ≡ significa congruente (idêntico).
Casos de congruência de triângulos
Clique nos botões para ver as informações.
LAL (Lado, Ângulo, Lado) 
ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) 
LLL (Lado, Lado, Lado) 
Relação entre elementos de um triângulo
Soma dos ângulos internos de um triângulo (1ª Lei de Tales)
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
Ângulo externo de um triângulo
Em todo triângulo a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.
Teorema
A soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360°
Atividades
1. É a perpendicular traçada pelo ponto médio do lado do triângulo.
a) Bisseetriz
b) Mediatriz
c) Ortocentro
d) Baricentro
e) hipotenusa
2. Leia as afirmações a seguir e determine se é verdadeira o falsa.
a) Triângulo é o polígono de três lados.
b) Um triângulo isósceles possui dois lados congruentes.
c) Um triângulo é obtusângulo quando possui três ângulos agudos.
d) Em todo triângulo a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.
e) No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa e os outros dois, mediatriz.
3. A condição de existência de um triângulo?
Notas
Referências
DOLCE, Oswaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar- Geometria Plana. São Paulo: Editora
Atual,1998. Volume 9 – Fundamentos de Matemática Elementar – Geometria Plana.
RIBEIRO,Jackson. Matemática – Ciência e Linguagem. 1 ed. São Paulo: Scipione,2007. Volume Único. IEZZI , Gelson et al,
Matemática. 4. Ed. São Paulo: Atual,2007. Volume Único.
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