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Fı́sica Experimental III
Laboratório Didático
Niterói/RJ - BRASIL
Janeiro de 2021
Conteúdo
1 Revisão: teoria de erros e gráficos 2
1.1 Teoria de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Revisão: gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Dinâmica de fluidos: Torre-d’água 5
3 Transformação de um gás a temperatura constante 6
4 Ondas estacionárias em cordas 8
5 Reflexão e refração da luz 10
6 Interferência e difração 11
7 Apêndice I: Teoria de erros e gráficos 13
8 Apêndice II: Gráficos e método dos mı́nimos quadrados 22
8.1 Construção de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.2 Análise de gráficos: ajuste linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1
1 Revisão: teoria de erros e gráficos
Data: . . . . . . . . . . . . Turma:. . . . . . . . . . . .
Grupo
Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Teoria de erros
Material utilizado
• Régua;
• Paquı́metro;
• Objeto cilı́ndrico;
• Balança.
• Papel milimetrado;
Procedimentos e resultados
Acesse o site Paquı́metro virtual e aprenda a utilização do paquı́metro.
Estude e entenda os erros de medidas que utilizam uma régua ou um paquı́metro.
Calcule a área da seção transversal, o volume e a densidade de um cilindro metálico utilizando
os dados fornecidos abaixo. Explicite seus cálculos. Expresse valores e incertezas com o
número correto de algarismos significativos e com suas unidades.
1. Suponha que você mediu a altura hr e o diâmetro dr do cilindro utilizando a régua, ob-
tendo os valores a seguir. Calcule a área Ar de sua seção transversal.
hr = 4, 92 ± 0, 05 (cm).
dr = 5, 02 ± 0, 05 (cm).
Ar = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ).
2. Suponha que você mediu a altura hp e o diâmetro dp do cilindro utilizando o paquı́metro,
obtendo os valores a seguir. Calcule a área Ap de sua seção transversal.
hp = 50, 05 ± 0, 05 (mm).
dp = 50.10 ± 0.05 (mm).
Ap = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ).
2
3. Calcule o volume Vr do objeto (obtido com a régua) e o volume Vp do objeto (obtido com
o paquı́metro).
Vr = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ).
Vp = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ).
4. Suponha que você mediu a massa do cilindro, obtendo o valor abaixo. Calcule sua densi-
dade ρr (obtida com a régua) e ρp (obtida com o paquı́metro).
M = 265.21 ± 0.10 (g).
ρr = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ).
ρp = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ).
Perguntas:
• No cálculo de medidas indiretas, como relacionar o número de algarismos significativos
da medida com o respectivo erro?
• O erro de uma medida é sempre igual ao erro do equipamento utilizado naquela medida?
3
1.2 Revisão: gráficos
1. Utilizando o método dos mı́nimos quadrados (MMQ), apresentado no apêndice II, preen-
cha o restante da tabela 1 e calcule os coeficientes linear a e angular b da reta que melhor
se ajusta aos dados. Não esqueça das unidades de medida de a e b.
a = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ).
b = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ).
2. Faça o gráfico do volume (V) em função da massa (m) com os dados da tabela 1 (Apêndice
II). Trace também no gráfico a reta obtida via MMQ da questão anterior.
Tabela 1: volume V versus massa m.
i m ± ∆m (g) V ± ∆V (cm3) X2 XY a + b × X ∆Y2
1 15,5 ± 0,5 875 ± 25
2 17,0 ± 0,5 700 ± 25
3 18,6 ± 0,5 550 ± 25
4 20,9 ± 0,5 420 ± 25
5 21,7 ± 0,5 300 ± 25
ΣNi=1
Perguntas:
• A interseção dos eixos x e y de um gráfico deve ser necessariamente no ponto (x=0, y=0)?
• Quais os benefı́cios de utilizar, nos eixos do seu gráfico, uma escala com legenda em
pontos igualmente espaçados?
• É correto colocar apenas os valores dos pontos experimentais nos eixos do gráfico? Por
quê?
• Qual o motivo de medir vários pontos experimentais em vez de apenas um ou dois pontos?
4
2 Dinâmica de fluidos: Torre-d’água
Objetivos
• Investigar a dinâmica de fluidos ideais via equação de Bernoulli.
• Estudar as propriedades de um fluido ideal em uma torre-d’água.
Simulador
• PhET Colorado: pressão do fluido e fluxo.
Figura 1: Controles disponı́veis na aba Torre-d’água. Figura original do guia do simulador de inter-
ferência de onda do PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder.
Questões
1. Crie um procedimento (via método gráfico) para obtermos a altura Y da torre-d’água
através de medidas da altura H e do alcance X no simulador.
2. Meça a altura Y da torre-d’água com a régua e compare com a altura obtida pelo método
gráfico desenvolvido no item acima. Discuta se os valores estão de acordo dentro da
margem de erro.
3. Acople a mangueira na torre-d’água, produzindo um jato de água vertical a partir do solo.
Determine a velocidade da água na saı́da da mangueira e compare com o valor medido
experimentalmente com o medidor de velocidade do simulador. Discuta se os resultados
estão de acordo dentro da margem de erro.
5
3 Transformação de um gás a temperatura constante
Objetivo
• Estudar o comportamento de um gás variando o volume e pressão.
• O comportamento de um gás ideal.
Simulador
Acesse o simulador de propriedade dos gases
Figura 2: Controles disponı́veis na guia Ideal. Figura original do guia do simulador de Propriedades
dos gases do PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder.
Obs: Não se esqueça de estimar as incertezas de todos os valores medidos.
Perguntas:
(a) Usando o simulador, proponha um experimento para determinar a constante dos gases
ideais.
(b) Use o simulador para obter o valor da constante dos gases ideais. O valor obtido coincide
com o valor de referência? [Dica: Utilize métodos gráficos.]
6
(c) Quais os valores da pressão indicados no manômetro do simulador quando o recipiente
contém 1000 partı́culas do gás, 500 partı́culas e 1 partı́cula? Use a relação com a energia
cinética para calcular a pressão do gás. Os valores calculados estão de acordo com os
valores medidos no manômetro?
(d) Usando as partı́culas leves e experimentos no simulador, determine qual seria a densidade
do gás à pressão atmosférica. Faça o mesmo para as partı́culas pesadas. Qual dos dois
valores de densidade é compatı́vel com a densidade do ar? [Obs: As partı́culas leves têm
uma massa de 4 UMA (Unidades de Massa Atômica) e as partı́culas pesadas tem massa
de 28 UMA.]
(e) Misture agora partı́culas leves e pesadas. Quais se movem mais rápido? Explique por que
isso acontece.
(f) Sem modificar a temperatura ou o volume, deixe escapar 10% da partı́culas. O que acon-
tece?
Dados:
• 1 UMA= 1, 660539 × 10−24 g;
• Densidade do ar nas CNTP: 1, 2754 kg/m3;
• R = 8, 314 J.mol−1.K−1;
• k = 1, 38 × 10−23 J/K;
• Altura do recipiente: 8, 75 nm;
• Profundidade do recipiente: 4 nm;
7
4 Ondas estacionárias em cordas
Objetivos
• Determinar a velocidade de um pulso de onda em uma corda.
• Estudar os modos estacionários em uma corda com pontas fixas.
Simulador
Acesse o simulador de ondas em uma corda.
A simulação Ondas em Corda permite que os alunos criem suas próprias ondas e explorem 
conceitos ondulatórios como amplitude, frequência, amortecimento, tensão, velocidade, 
reflexão e interferência.
Dicas para Professores Ondas em Corda
MEÇA distância 
ou tempo 
MOVIMENTE a 
linha de 
referência 
como desejar
CRIE uma de 
forma manual 
(movendo a 
chave inglesa), 
com o Oscilador 
ou com gerador 
de Pulso
CONTROLE as 
propriedades 
da onda
EXPLORE 
ondas com a 
extremidade 
fixa, solta ou 
inexistente 
PAUSE e avance 
o movimento da 
onda
REINICIE a 
onda 
preservandoas outras 
configurações 
no simulação
VEJA a onda 
em câmera 
lenta 
Rouinfar, Julho 2016 (Tradução de Lairane Rekovvsky, outubro de 2019) 
Figura 3: Figura original do guia do simulador de ondas em uma corda do PhET Interactive Simulations,
University of Colorado Boulder.
Obs: Não se esqueça de estimar as incertezas de todos os valores medidos.
Questões
(a) Usando o simulador, proponha dois métodos para medir a velocidade de propagação das
ondas em uma corda.
(b) Usando o modo “Pulso”, meça diretamente a velocidade de um pulso para as três tensões
possı́veis.
(c) Obtenha as razões entre as tensões baixa e intermediária com relação à tensão alta (com
suas respectivas incertezas).
(d) No modo “Oscilador”, utilizando a tensão alta, produza todos os modos estacionários
possı́veis. [Dica: sua resposta de (c) pode ajudar na busca por esses modos]. Utilizando
o método gráfico, obtenha a velocidade de propagação da onda na corda.
(e) Compare as velocidades obtidas, no caso de tensão alta , nos itens (b) e (d). Você observa
concordância?
Dicas:
8
• Os modos que estamos buscando correspondem aos de uma corda com as duas extremi-
dades fixas. No entanto, note que o simulador gera as ondas pela oscilação de uma das
extremidades. Assim, para obter uma melhor aproximação para o limite de extremidades
fixas o ideal é usar uma amplitude pequena no item (d).
• Os modos que queremos correspondem a um caso idealizado em que não há amorteci-
mento. Mas se você escolher a opção “nenhum amortecimento” e modificar os parâmetros
(amplitude e frequência) com o oscilador em funcionamento, as perturbações geradas
em um dado instante não serão dissipadas no instante posterior. Assim, mesmo seleci-
onando uma frequência especı́fica você pode acabar observando uma mistura de várias
frequências, o que dificultará sua medida. Isso pode ser resolvido utilizando a opção
“Reiniciar” sempre que modificar a frequência. Outra possibilidade é incluir um amorte-
cimento momentâneo durante o processo para dissipar efeitos transientes e estabelecer os
modos estacionários. Explore ambas possibilidades e relate suas observações.
9
5 Reflexão e refração da luz
Objetivos
• Constatar as leis da reflexão e da refração da luz.
• Determinar a velocidade de propagação da luz em um meio material.
• Investigar a dependência da velocidade da luz com o ı́ndice de refração do meio.
Simulador
Acesse o simulador de desvio da luz.
Figura 4: Controles disponı́veis na Tela Mais Ferramentas. Figura original do guia do simulador de
desvio da luz do PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder.
Obs: Use o transferidor para as medidas de ângulos. Não se esqueça de estimar as incertezas
de todos os valores medidos.
Questões
(a) Usando o simulador, e com base nos fenômenos de reflexão e refração da luz, proponha
dois métodos para se determinar a velocidade de propagação da luz em um meio material.
(b) Acesse o simulador na tela “Intro”. Usando o fenômeno da refração e o método gráfico,
qual o valor do ı́ndice de refração do meio mistério? Escolha um meio mistério (A ou B).
(c) Usando o fenômeno da reflexão total, qual o valor do ı́ndice de refração do meio mistério?
Escolha um meio mistério (A ou B).
(d) A partir dos valores para os ı́ndices de refração, obtenha a velocidade da luz no meio
material. Os valores da velocidade obtidos com métodos diferentes concordam entre si?
(e) Agora acesse o simulador na tela “Mais Ferramentas”. Os ângulos crı́ticos de reflexão
total são os mesmos para cores diferentes? Que cor possui maior ângulo crı́tico?
(f) Para qual cor a velocidade da luz é maior no meio material? Justifique com base nas
observações realizadas através do simulador.
10
6 Interferência e difração
Objetivos
• Observar os fenômenos de difração e interferência da luz.
• Determinar o comprimento de onda e a velocidade da luz.
• Determinar experimentalmente a largura de uma fenda usando o padrão de difração.
• Determinar experimentalmente a distância entre duas fendas usando o padrão de inter-
ferência.
Simulador
Acesse o simulador de interferência de ondas.
Figura 5: Controles disponı́veis na Tela Fendas. Figura original do guia do simulador de interferência
de onda do PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder.
Obs: Não se esqueça de estimar as incertezas de todos os valores medidos.
Questões
(a) Usando o simulador, e com base nos fenômenos de interferência e difração, proponha
métodos para medir a largura de uma fenda simples e para medir a distância entre duas
fendas em um experimento de fenda dupla.
(b) Crie um procedimento para medir comprimento de onda e velocidade da luz no simulador.
Aplique seu procedimento a duas cores (frequências) distintas. Compare sua medição ao
valor exato da velocidade da luz no vácuo, estimando sua diferença percentual.
(c) Usando o padrão de difração de fenda simples, determine experimentalmente a largura da
fenda e estime sua incerteza. Compare o valor obtido com o valor nominal de largura da
fenda dada no simulador.
11
(d) Usando o padrão de interferência de fenda dupla, determine experimentalmente a distância
entre as fendas e sua incerteza. Compare o valor obtido com o valor nominal de distância
entre as fendas dada no simulador.
12
 
 
Grandezas Físicas e Unidades 
 
 
 A Física é a ciência que estuda os 
componentes da matéria e suas interações. Pela 
observação dessas interações são construídos 
modelos que tentam explicar as propriedades 
da matéria e os fenômenos naturais. A Física se 
baseia em medições. A observação do 
fenômeno físico vai resultar numa informação 
quantitativa, ou seja, atribui-se um número a 
uma propriedade física a partir da comparação 
entre quantidades semelhantes. As 
propriedades físicas vão ser expressas na forma 
de grandezas, como por exemplo massa, 
comprimento e tempo. 
 Para se fazer comparações entre 
quantidades semelhantes de uma determinada 
grandeza é preciso definir uma unidade, ou 
seja, uma medida da determinada grandeza 
cujo valor é 1. É definido então um padrão, um 
valor de referência para possibilitar a 
comparação das quantidades. Cada medição é 
feita em comparação com o padrão e assim as 
medições podem vir a ser comparadas entre si. 
O padrão é definido de forma arbitrária, no 
entanto para ser possível uma comparação 
entre medições diferentes, feitas por pessoas 
diferentes, em tempos diferentes, é preciso 
buscar um padrão que seja acessível a todos e 
ao mesmo tempo invariável, para em qualquer 
situação medidas diferentes possam ser 
comparadas. 
 Não é necessário estabelecer padrões 
para todas as grandezas físicas, pois muitas 
delas estão relacionadas. Então o que se faz é 
definir padrões acessíveis e invariáveis para as 
grandezas físicas fundamentais, ou seja, um 
número mínimo de grandezas a partir das quais 
se possa fazer medições das demais. Uma 
conferência geral de pesos e medidas, reunida 
no período de 1954-1971 selecionou sete 
gradezas de base: comprimento, massa, tempo, 
intensidade luminosa, intensidade de correne 
elétrica, temperatura termodinâmica e 
quantidade de matéria. As demais grandezas 
são chamadas grandezas derivadas e são 
definidas em função das sete grandezas de 
base. Para expressar essas grandezas existem 
alguns sistemas de unidades, entre os quais o 
mais utilizado é o Sistema Internacional de 
Unidades, aprovado pela conferência de pesos 
e medidas. As unidades de base do SI são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 Apêndice I: Teoria de erros e gráficos
13
 
 
grandeza unidade símbolo 
comprimento metro m 
massa quilograma kg 
tempo segundo s 
intensidade de corrente elétrica Ampère A 
temperatura termodinâmica Kelvin K 
quantidade de matéria mol mol 
intensidade luminosa candela cd 
 
 
 
 Paraa unidade de comprimento, o 
metro foi introduzido originalmente durante a 
revolução francesa pelo governo francês, 
definido como a décima milionésima parte 
(10
-7
) de um quadrante do meridiano terrestre. 
Essa distância foi medida e assim foi construída 
uma barra de platina para comparação, guardada 
em condições controladas e à temperatura de 
0
O
C. Medições posteriores mostraram que a 
barra diferia ligeiramente do valor definido, 
assim a definição de metro passou a ser 
simplesmente o tamanho daquela barra. Ela foi 
então reproduzida para que se tormasse 
acessível a todos. 
 Um padrão mais preciso e mais fácil de 
ser reproduzido foi obtido por Michaelson em 
1893, que utilizou o comprimento de onda da 
radiação emitida por uma lâmpada de cádmio 
para comparação com a barra padrão. Em 1960 
a conferência de pesos e medidas adotou 
oficialmente um padrão atômico para o metro, o 
comprimento de onda da luz emitida pelo 
isótopo de massa 86 do Kriptônio. Finalmente, 
em 1983, o metro passou a ser definido em 
função da velocidade da luz no vácuo. Com 
tudo isso, fica claro que ao se utilizar uma régua 
para fazer uma medição direta, estamos 
comparando uma quantidade de comprimento a 
um padrão construído a partir daquele padrão 
definido. 
 É importante perceber que não podemos 
esperar que esta ou qualquer medida seja 
exata. Haverá sempre algum erro inerente à 
medição.
 
 
 
 
 
 
14
 
 
Margem de Erro 
 
 Dado um instrumento de medida deve-
se observar a escala graduada numa 
determinada unidade. A menor divisão dessa 
escala vai limitar a precisão da medida. Uma 
leitura entre os dois valores marcados deve ser 
feita estimando-se o valor intermediário e 
levando-se em conta que essa estimativa 
acarretará numa imprecisão da medida. Deste 
modo, é comum considerar-se uma incerteza de 
metade do valor da menor divisão da escala 
quando a interpolação é visualmente possível 
(em instrumentos analógicos). 
 Uma régua graduada em centímetros 
(menor divisão da escala = 1 cm), por exemplo, 
possibilita uma medição com margem de erro 
de ± 0,5 cm. Se o resultado da medição é 
estimado em 16,4 cm, onde o 16 representa os 
algarismos exatos e o 4 um algarismo duvidoso 
(total de 3 algarismos significativos), esse valor 
deve ser expresso: (16,4 ± 0,5) cm. 
 Quando tratamos uma medida indireta, 
ou seja, obtida através de uma função de outras 
grandezas medidas diretamente, devemos 
também levar em conta os algarismos 
significativos. Medidos dois comprimentos 
com o mesmo instrumento e somados os 
valores, a soma tipicamente preserva o mesmo 
número de casas decimais: 
L1=2,5 cm, L2=4,5 cm; 
L1+L2= 7,0 cm 
 
 No caso dessas medidas terem sido 
tomadas com instrumentos de precisão 
diferente, não há sentido em preservar o 
número de casas decimais do valor mais 
preciso: 
 
L1=2,5 cm, L2= 4,52 cm; 
L1 +L2=7,02 cm =7,0 cm 
 
 No caso da multiplicação, preserva-se 
tipicamente o resultado com o mesmo número 
de algarismos significativos (exatos+duvidoso) 
que o número menos preciso: 
 
A= L1 x L2 = 11,25 cm
2
= 11 cm
2
 
 
 Para outras funções deve-se proceder 
da mesma forma, fazendo todos os cálculos 
necessários e cortando os algarismos não 
significativos ao final. Para tanto, deve-se levar 
em conta no arredondamento do algarismo 
duvidoso (último significativo) apenas o valor 
do primeiro algarismo a ser cortado. Sendo este 
menor ou igual a 4 o algarismo duvidoso 
permanece o mesmo. Sendo maior ou igual a 6 
uma unidade deve ser somada ao duvidoso. 
Sendo igual a 5, o duvidoso deve ser mantido 
caso seja par e acrescido de uma unidade caso 
seja impar. 
 
 
 
15
 
 
Exemplos: 
 
3,550 x 4,21 = 14,9455 = 14,9 
3,550 x 4,33 = 15,3715 = 15,4 
3,550 x 6,41 = 22,7555 = 22,8 
3,550 x 7,00 = 24,8500 = 24,8 
 
 Considerando que a margem de erro de 
uma medida representa um intervalo no qual 
pode ser encontrado o “valor real” da grandeza 
física, ao se utilizar esses valores para obter 
medidas indiretas de outras grandezas, o 
resultado terá consequentemente uma 
incerteza. Também as margens de erro devem 
ser consideradas no cálculo e a incerteza 
propagada. Para o caso da soma de duas 
medidas (x ± x) e (y ± y) um critério 
comumente aceito é de que o erro da soma z = 
(x + y) será dado por 
 
   22 y+x=z  
 
Exemplos: 
 
L1 = (2,5± 0,5) cm, L2 = (4,5± 0,5) cm; 
L1 + L2 = (7,0 ± 0,7) cm 
 
L1 = (2,5± 0,5) cm, L2 = (4,52± 0,01) cm 
L1 + L2 = (7,0 ± 0,5) cm 
 
 Para medidas indiretas provenientes de 
multiplicação ou divisão o erro relativo (z/z) 
do resultado será dado pela raiz quadrada da 
soma dos erros relativos quadráticos de cada 
termo (obs: usando que o logaritmo do produto 
é a soma dos logaritmos esta regra é na verdade 
derivada da anterior): 
 
22





 





 





 
y
y
+
x
x
=
z
z
 
 
Exemplos: 
 
L1 = (2,5± 0,5) cm, L2 = (4,5± 0,5) cm 
A = L1 x L2 = (11± 3) cm
2
 
 
L1 = (2,5± 0,5) cm, L2 = (4,52± 0,01) cm 
A = L1 x L2 = (11± 2) cm
2
 
 
 Para calcular o erro propagado de uma 
função qualquer F(x, y) que depende das 
variáveis medidas calcula-se a derivada total 
dessa função: 
 
dF=
∂ F
∂ x
dx+
∂ F
∂ y
dy 
 
 A derivada parcial é na realidade a 
derivada comum em relação a cada variável 
considerando a outra variável como constante. 
Para uma função qualquer F(x,y) a incerteza 
absoluta propagada para o valor da função será: 
 
22 y
y
F
+x
x
F
=F 
















22
 , 
16
 
 
onde x é a incerteza da medida de x e y é a 
incerteza da medida de y. A partir do erro 
relativo de uma medida, ou seja, o erro 
dividido pelo valor medido, pode ser útil 
calcular o erro percentual, expresso em 
porcentagem: 





 
x
x
=relativoerro 
 
100




 
x
x
=percentualerro 
 
 
Fontes de Erro 
 
Erros sistemáticos numa medição acontecem 
em função de um instrumento mal calibrado 
(uma balança que não parte do zero, por 
exemplo) ou de técnicas erradas de medição 
(como uma medição de comprimento feita a 
partir da extremidade da régua e não do início 
da marcação). Também simplificações do 
modelo teórico podem acarretar erros 
sistemáticos. Este tipo de erro faz com que as 
medidas fiquem todas acima ou abaixo do 
valor real, piorando a exatidão ou acurácia dos 
resultados. Em geral as fontes de erro 
sistemático têm como ser identificadas e o erro 
eliminado. 
 
 Erros aleatórios que geram flutuações 
nas medidas podem ter origem em diversos 
fatores, como condições de temperatura, 
pressão, iluminação, etc. Esse tipo de erro 
também pode ter origem no método de 
observação, como por exemplo se a precisão do 
instrumento for superestimada ao se interpolar 
a menor divisão da escala. Os erros aleatórios 
afetam a precisão das medidas e nem sempre 
podem ser eliminados. Esses erros, em geral, 
obedecem a uma distribuição simples, 
flutuando em torno de um valor mais provável, 
e podem portanto ser tratados de forma 
estatística. Ao repetir a mesma medida um 
determinado número de vezes parte dos 
resultados deverá estar acima do valor real e 
parte abaixo, já que as fontes de erro que regem 
essas flutuações são aleatórias.
17
 
 
 
 
Modelo teórico X Experimento 
 
 Os modelos teóricos utilizados para 
explicar fenômenos Físicos são obtidos, em 
princípio, da observação desses fenômenos e 
determinação do padrão de comportamento de 
uma grandeza em relação à outra. Se esse 
padrão pode ser descrito por uma função 
matemática, podemos então construir um 
modelo que deve explicar o determinado 
fenômeno naquelas condições e que possa ser 
reproduzido. 
 Um modelo pode ser válido apenas 
em um certo limite ou sob determinadas 
condições. Um exemplo é a força de atração 
gravitacional, que, no caso geral, depende doinverso do quadrado da distância entre os 
corpos ( FG∝
1
r 2 ). No entanto, se 
observarmos o comportamento de corpos em 
queda livre na Terra notaremos que sua 
aceleração é aproximadamente constante. A 
distância entre os corpos neste caso (o corpo 
em queda e a Terra) é a distância entre os 
centros de massa dos mesmos, portanto 
aproximadamente igual ao raio da Terra. 
Nesse limite, observamos que o deslocamento 
do corpo está relacionado com o tempo de 
queda por uma função simples, um polinômio 
de segundo grau, cujos coeficientes podemos 
determinar empiricamente. 
 Uma vez instituído um modelo e 
conhecidos os limites nos quais ele representa 
o comportamento observado das grandezas, 
ele nos orienta a respeito de que experimento 
devemos realizar e sob que condições. Muitas 
vezes a origem de um determinado 
comportamento pode ser identificada e o fator 
em questão tratado separadamente ou 
eliminado para que os demais fatores possam 
ser testados. 
 No caso de um objeto que desse um 
trilho inclinado, sabemos que a atração 
gravitacional irá conferir a ele uma aceleração 
proporcional à gravitacional e também que o 
atrito diminuirá essa aceleração. Podemos 
eliminar (ou diminuir) o fator atrito usando 
um trilho de ar e, sob estas condições, analisar 
o movimento levando em conta que a 
aceleração terá origem apenas na atração 
gravitacional. Deste modo, podemos variar o 
deslocamento e medir o tempo decorrido, 
observando o padrão de comportamento 
dessas grandezas, e então determinar 
quantitativamente o fator que as relaciona.
 
 
 
 
18
 
 
Representação gráfica dos dados experimentais 
 
 
 Num experimento, quando se deseja 
variar uma determinada condição para que se 
possa medir o efeito dessa variação numa 
outra quantidade, a representação gráfica dos 
dados é muito útil. O gráfico permite a 
visualização dessa relação de causa e efeito, 
possibilita a identificação de um padrão de 
comportamento dos dados, discriminando os 
pontos duvidosos evidenciando uma relação 
funcional que pode ser representada por uma 
equação matemática. Além disso, o gráfico 
permite muitas vezes a interpolação ou a 
extrapolação dos resultados. Para tanto, é 
preciso que ele seja construído de forma 
adequada. 
 Na representação gráfica, a variável 
independente é descrita pelo eixo horizontal e 
a variável dependente pelo eixo vertical. 
 
 
x=x (t) 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
x(
t)
t
 
 
 
19
 
 
 Cada eixo representa uma grandeza 
Física, portanto o símbolo que representa essa 
grandeza deve constar do gráfico, bem como 
a unidade utilizada. A orientação do papel 
deve ser escolhida em função do número de 
unidades de cada grandeza a ser representado 
nos eixos. 
 As divisões do papel representarão 
unidades da grandeza a ser medida e a escala 
deve ser escolhida de forma conveniente. É 
importante perceber que escolhida a escala, 
os valores representados no papel terão sua 
precisão limitada à menor divisão do mesmo. 
Por essa razão, devemos usar a maior área 
possível do papel e tomar limites que 
abranjam todos os valores da tabela e que 
estes fiquem o mais espalhados possível. Por 
exemplo, se temos na tabela valores que vão 
de 540 a 547 não devemos incluir o valor 
zero entre os valores marcados na escala. 
Nesse caso, devemos tomar o eixo com no 
máximo 10 unidades da grandeza medida (de 
540 a 550, por exemplo). Isso vai depender 
também de se desejarmos extrapolar a função 
até algum valor de interesse. Se desejarmos 
conhecer o valor que a função teria na 
posição 570 será conveniente dividir o eixo 
em 30 unidades (de 540 a 570) em detrimento 
da precisão. O fator de escala deve ser 
escolhido com atenção. Não devemos 
fracionar a divisão de centímetro, devemos 
sim escolher a escala inteira imediatamente 
superior ou inferior, conforme o caso. No 
exemplo citado, se vamos representar valores 
que vão de 540 a 547 no eixo de 25 cm 
teremos: 
25/7 = 3.6 
 Se dividíssemos a escala em 4 cm 
para cada unidade precisaríamos de 28 cm 
para que todos os pontos estivessem no 
gráfico. Dividindo a escala de forma 
adequada, marcamos então alguns valores da 
mesma para relacionar as posições no eixo 
com os valores correspondentes da grandeza 
medida. Apenas esses valores devem estar 
marcados nos eixos e apenas eles vão 
permitir a leitura dos valores dos pontos 
experimentais e pontos interpolados ou 
extrapolados na reta. 
 Jamais devem ser marcados nos 
eixos os valores experimentais obtidos. Estes 
serão marcados no ponto correspondente do 
valor (x,y). Devem ser ilustradas com cada 
ponto suas respectivas barras de erro 
(verticais e horizontais) 
 
20
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
10
15
20
25
30
x(
t)
t
 
 
 
 Marcados os pontos no gráfico, 
podemos então analisar esse padrão de 
comportamento. Com base no modelo teórico 
supomos um comportamento linear da 
variação da posição com o tempo, logo, 
devemos traçar uma reta que represente esse 
padrão. A reta não deve ser traçada ligando 
dois pontos nem precisa passar pela origem. 
 Obtida a reta que determina o padrão 
de comportamento dos pontos experimentais, 
queremos calcular sua inclinação. Para isso 
vamos tomar qualquer intervalo de posição e 
seu intervalo correspondente de tempo. É 
importante notar que esses valores são tirados 
da reta traçada, não são valores 
experimentais. Devemos escolher dois pontos 
que tenham fácil leitura. Outro detalhe 
relevante é que a divisão deve ser feita entre 
os valores das grandezas e com suas 
respectivas unidades, valores em centímetros 
da escala fornecem apenas o ângulo de 
inclinação da reta, não trazem informação da 
escala utilizada. 
 
21
8 Apêndice II: Gráficos e método dos mı́nimos quadrados
8.1 Construção de gráficos
Um gráfico apresenta um conjunto, ou mais, de dados experimentais numa figura. O gráfico
objetiva mostrar visualmente a dependência entre uma grandeza e um parâmetro medidos si-
multaneamente. Para isto o gráfico deve ter os elementos essenciais abaixo.
Tı́tulo do gráfico
Informa quais dados e que dependência está sendo representada. Por exemplo, se quer-se
estudar a dependência da velocidade com o tempo o tı́tulo pode ser de ser de uma das
formas abaixo.
• Gráfico: velocidade (v) em função do tempo (t)
• Gráfico: v versus t
• Gráfico: v (t)
Tı́tulos dos eixos
Especifica qual grandeza fı́sica o eixo representa e que unidade é utilizada na escala do
eixo. O eixo vertical, das ordenadas, corresponde à grandeza que é especificada primeiro
no tı́tulo do gráfico, antes do “versus”, enquanto que o que vem depois é representado
no eixo horizontal, das abcissas. Assim, por exemplo, quando se construir o gráfico de
“v versus t”, as velocidades devem ser lidas nas escala do eixo vertical e os tempos no
eixo horizontal. No tı́tulo do eixo deve-se utilizar um sı́mbolo adequado para a grandeza
enquanto que a unidade é informada em parêntesis. Exemplos:
• v (cm/s) ou v (cm s−1)
• t (s)
Escala dos eixos
Fornece a escala em que a grandeza é representada no eixo graduado. O eixo possui
uma graduação principal, podendo também possuir uma graduação secundária, sendo que
apenas para a principal é colocado o texto de legenda da escala. As legendas da escala
devem ser números redondos, preferencialmente, múltiplos de 2 ou 5.
Legenda do gáfico
Quando mais de um conjunto de pontos é representado num único gráfico, é necessário
diferenciar os conjuntos de dados usando sı́mbolos diferentes. A legenda é um quadro
inserido no gráfico onde se coloca o sı́mbolo ao lado de um texto curto que especifica
qual conjunto de dados aquele sı́mbolo representa.
• Atenção: É errado colocar os valores dos pontos experimentais como legendas nos
eixos.
Estética
Um gráfico é uma figura, portanto, deve ser bem proporcionado e esteticamente agradávelpara facilitar sua observação e análise. Por exemplo, um gráfico achatado, assim como
uma escala inadequada, dificulta a análise das dependências matemáticas. Uma ilustração
22
Figura 6: Exemplo de construção de um gráfico.
de um gráfico construı́do de forma a satisfazer as regras descritas nessa seção é dado na
Fig 6.
8.2 Análise de gráficos: ajuste linear
Seja um experimento que fornece como resultado um conjunto de N pares de medidas (Xi,Yi)
que graficamente representados geram uma reta. O ajuste linear é a análise matemática de
dados que apresentam uma dependencia linear
Y = a + bX,
para a obtenção do coeficientes linear a e do coeficiente angular b. Apresentaremos abaixo
um exemplo que analisaremos primeiro pelo método da triangulação e depois pelo método dos
mı́nimos quadrados.
Método dos mı́nimos quadrados
O método dos mı́nimos quadrados resulta da minimização do quadrado da distância entre
os valores experimentais de Y e os valores calculados como Y ′ = a + bX.
23
O coeficiente linear a e o coeficiente angular b são fornecidos pelas equações
a =
∑
Y
∑
X2 −
∑
X
∑
XY
N
∑
X2 − (
∑
X)2
; (0)
b =
N
∑
X Y −
∑
X
∑
Y
N
∑
X2 − (
∑
X)2
(0)
As incertezas de a e b são, respectivamente,
σa =
√
σ2
∑
X2
N
∑
X2 −(
∑
X)2 , σb =
√
N σ2
N
∑
X2 −(
∑
X)2 ,
onde
σ2 =
∑
(∆Y)2
N−2 ,
e ∆Y é a diferença entre os valores experimental e teórico
∆Y = Y − (a + bX).
Na Tabela 2 o método dos mı́nimos quadrados (MMQ) é aplicado aos dados de um exem-
plo.
Tabela 2: Cálculo do método dos mı́nimos quadrados para dados do comprimento e da força magnética
sobre um fio com I = 5 A.
X Y X2 XY (a + bX) ∆Y2
n L(mm) F (mN)
1 12,5 8,0 156,25 100 7,5 0,25
2 25,0 14,0 625 350 14 0,00
3 50,0 26,2 2500 1310 27 0,64
4 100 53,6 10000 5360 53 0,36∑
187,5 101,8 13281,25 7120 1,26
A aplicação das fórmulas acima leva aos valores dos coeficientes da reta e suas incertezas
mostrados na Tabela 3.
Tabela 3: Resultado dos ajustes lineares pelos métodos da triangulação e dos mı́nimos quadrados.
MMQ Triangulação
a ( mN ) 1, 0 ± 0, 7 1
b ( Nm−1 ) 0, 52 ± 0, 01 0,53
24
	Revisão: teoria de erros e gráficos
	Teoria de erros
	Revisão: gráficos
	Dinâmica de fluidos: Torre-d'água
	Transformação de um gás a temperatura constante
	Ondas estacionárias em cordas
	Reflexão e refração da luz
	Interferência e difração
	Apêndice I: Teoria de erros e gráficos
	Apêndice II: Gráficos e método dos mínimos quadrados
	Construção de gráficos
	Análise de gráficos: ajuste linear