Determinantes de Matrizes Quadradas

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Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.
Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
= a11 · a22 – a12 · a21
 
a11 · a22
- (a12 · a21)
Seja a matriz de 2ª ordem:
A = 
a11
a12
a21
a22
O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
a11
a12
a21
a22
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex: 1)
+
-
7
2
 3
5
= 7.5 
- 2.3
= 29 
Ex: 2)
Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.
Ex: 1)
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
Ex: 2)
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 
1)
2)
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)
4)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
5)
6)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
Outras propriedades:
• det(A)=det(At)
Ex: 
1)
2)
1)
2)
Ex: 
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades:
1)
Ex: 
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
2)
Outras propriedades:
Ex: 
1)
2)
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1)
2)
Ex: 
Outras propriedades:
• det(A.B)=detA.detB
Ex: 
Outras propriedades:
• det(A-1)=1/detA
Ex: 
ú
û
ù
ê
ë
é
=
5
3
2
7
A
2
18
20
6
.
3
10
.
2
10
6
3
2
=
-
=
-
=
4
1
3
1
2
5
3
1
2
-
1
3
2
5
1
2
-
1001
620
211
-
-
100
62
01
-
0
0
0
0
8
9
2
5
3
1
=
-
0
16
0
5
8
0
2
5
0
1
=
0
9
1
8
0
9
2
1
2
3
1
8
0
9
2
1
=
-
-
p
0
8
8
4
2
0
1
6
9
3
=
-
-
3
1
L
L
=
3
1
C
.C
2
=
0
9
11
4
0
5
3
9
6
1
=
0
0
9
5
7
8
7
7
0
9
7
1
3
0
5
3
1
=
-
-
3
2
1
L
L
L
=
+
3
2
1
C
C
.C
2
=
+
6
12
18
9
4
3
2
=
-
=
6
12
18
9
3
4
2
=
-
=
,
10
 
Se
=
t
s
r
z
y
x
c
b
a
10
 
então
=
t
z
c
s
y
b
r
x
a
=
7
9
7
0
3
5
0
0
2
42
7
.
3
.
2
=
=
-
2
0
0
0
5
3
0
0
6
8
5
0
0
8
7
2
60
2
.
3
.
5
.
2
-
=
-
3
15
18
9
3
5
2
=
-
=
3
18
15
3
9
2
5
-
=
-
=
,
5
 
Se
=
t
s
r
z
y
x
c
b
a
5
 
então
-
=
c
b
a
z
y
x
t
s
r
6
9
4
3
2
=
30
6
.
5
9
4
.
5
3
2
.
5
=
=
70
10
.
7
.
7
.
7
.
7
 
então
=
=
t
s
r
z
y
x
c
b
a
150
6
.
5
9
.
5
3
.
5
4
.
5
2
.
5
2
=
=
=
=
det(2.A)
 
então
 
5,
det(A)
 
com
 
3x3
 
é
A 
 
Se
=
2.det(A)
3
40
5
.
8
=
.
3
2
1
4
B
 
e
 
7
5
2
3
A
 
Sejam
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
det(A.B)?
 
 vale
Quanto
110
11.10
det(A.B)
 
=
=
11
detA
 
=
10
detB
 
=
:
ia
Consequênc
I
A.A
-1
=
det(I)
)
det(A.A
-1
=
Þ
1
)
(A
det(A).det
-1
=
Þ
/detA
1
)
det(A
-1
=
Þ
:
é
 
9
3
5
2
A
 
de
 
inversa
 
da
 
te
determinan
 
O
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
1/3
/detA
1
)
det(A
-1
=
=