Valor Numérico (EsSA-ESSEX)

Prévia do material em texto

1 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
 MATEMÁTICA 
 AULA 16 
TERMO ALGÉBRICO 
É o produto de um número real 
(coeficiente) por letras (variáveis) 
elevadas a expoentes racionais. 
Exemplo: 
2xy; -5a2 b3 c; 3
2
4
x
; 
3
23 7
cd
ab
; 
Termos algébricos semelhantes: São 
aqueles que possuem a mesma parte 
literal. 
Exemplos: 
 2x2 y e 
2
3
x2y 
 
Expressão Algébrica 
É o conjunto de operações envolvendo 
letras e números. 
Exemplos: 
x3 
termo: x3 
⇒ coeficiente: 3 
⇒ parte literal: x. 
 
 3x2y + ab 
 termos: 3x2y e ab 
⇒ coeficientes 3 e 1; 
⇒ partes literais: x2y e ab. 
Classificação das expressões 
algébricas quanto à natureza dos 
termos: 
Racionais inteiros 
Um termo algébrico ou monômio é 
racional inteiro quando não possuir 
variável em denominador ou variável 
elevada a expoente negativo e ainda 
quando não possuir variável submetida 
a um radical ou variável elevada a 
expoente fracionário. 
São exemplos de termos algébricos 
racionais: 
3ab; 7𝑥3𝑦2;5𝑚5𝑚2𝑝3;−
√3 𝑚2
11
 
Racionais Fracionários 
Um termo algébrico ou monômio é 
racional fracionário quando possuir 
variável em denominador ou variável 
elevada a expoente negativo e, 
também, quando não possuir variável 
submetida a um radical ou variável 
elevada a expoente fracionário. 
São exemplos de termos algébricos 
racionais fracionários: 
5𝑚2𝑝3
𝑚4𝑞
; −√2
3
𝑥2𝑦5𝑧−3 
Irracionais 
Um termo algébrico ou monômio é 
irracional quando possuir variável 
submetida a um radical ou variável 
elevada a expoentes fracionários: 
√𝑎
3
𝑏𝑐; - √
7𝑦5
𝑥
; ( x + 1)1/2 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
 MATEMÁTICA 
 AULA 16 
Monômio 
É todo termo algébrico racional inteiro 
Exemplos: 5a 2bc, -x3yz2, x
5
2
 
Grau de um Monômio 
É a soma dos expoentes da sua parte 
literal 
Exemplo:7𝑚2𝑥3𝑦2𝑧 é o 8º grau, do 2º 
grau em relação a m, do 3º grau em 
relação a x, do 2º grau em relação a y e 
do 1º grau em relação a z. 
Monômios semelhantes ou termos 
semelhantes 
São termos que possuem igual parte 
literal, podendo diferir nos coeficientes. 
Exemplos: 
a)2𝑥2𝑦 e 3𝑥2𝑦 ⇒ são semelhantes 
b)3𝑎2𝑏 e 5𝑎2𝑏 ⇒ são semelhantes 
c)7𝑎2𝑏 e 11𝑎𝑏2 ⇒ não são semelhantes 
 
Polinômio 
Polinômio é toda expressão algébrica 
racional inteira (os polinômios de um, 
dois e três termos recebem as 
denominações especiais de monômio, 
binômio e trinômio respectivamente). 
Exemplos: 
a)5x𝑦 - 3𝑥𝑦 ⇒ Binômio (dois termos); 
 
b)3𝑎2𝑏 - 4𝑎𝑏 + 3𝑥 ⇒ Trinômio (três 
termos); 
c) 13x3 + 2x4 z – x2 z2 –z3 ⇒ Polinômio 
Grau de um Polinômio 
É o grau do monômio de mais elevado 
grau do polinômio 
Exemplo: O polinômio 2x2y4 – 3x4y3 + 
12y2 é do 7º grau, do 4º grau em 
relação a x e do 4º grau em relação a y. 
Polinômio completo e polinômio 
ordenado: 
Polinômio completo em relação a uma 
de suas variáveis, é aquele que 
apresenta essa variável com todos os 
expoentes desde o mais elevado até o 
expoente zero. Polinômio ordenado em 
relação a uma variável é aquele em que 
os expoentes dessa variável estão 
dispostos em ordem crescente ou 
decrescente. 
Exemplos: 
– x2 z2 + 3x – 1 - Polinômio completo 
em relação a x (e incompleto com 
relação a z). 
13x3 + 2x4 z – x2 z2 –z3 - Polinômio 
ordenado em relação a z; não ordenado 
em relação a x. 
Valor numérico 
É o número obtido quando substituímos 
cada variável por um valor arbitrário. 
Exemplos: 
O valor numérico de x – 2y, para x = – 
1 e y = 3 é; 
(– 1) – 2 x 3 = – 1 – 6 = – 7 
 
 
 
 
3 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
 MATEMÁTICA 
 AULA 16 
O valor numérico de 
4
23
z
ba 
, para a = 2, 
b = – 3 e z = – 1 é: 
4
23
)1(
)3(2


= 
1
98 
= 17 
 
EXERCÍCIOS 
1)Classificar as expressões algébricas 
quanto à natureza dos termos: 
a) 2x3 – 
2
x2
+ 5x – 15 
b) 3 x2 – 
x
3
 + 1 
c) 2x3 – x2 + 3 x 
d) 2 x3 – 
5
x2
 + 3 3 x 
e)x3 – 3x-2 + 15 
f)x1/2 – 
x
5
 + 2 
2)Dê o grau dos monômios e 
polinômios abaixo: 
a) xyz 
b) 4x2y 
c) 11a2bc3d 
d) 4x3yz5 
e) 4x3y – 5x2 + y2 
f) 2x3yz5 – xy3 + 8z6 + 3x2z5 – z7 
 
3)Reduza os termos semelhantes 
a) 3a – 5b – c + 5a + 3b – 7a +2c + 4b 
b) 2x2y – 5xy2 – xy + 2xy2 – 3xy – x2y + 
3xy2 
c) 3a5x – 4a3x – 2a5x + a5x + a3x – 5a5 
+ 2a3x + a5x – a3x 
 
 
4)Calcule o valor numérico das 
expressões algébricas abaixo: 
a) 852  xx para 2x 
b) 852  xx para 2x 
c) xyx 22  para 4x e 0y 
d) xyx 22  para 2x e 3y 
e)
5
2
xy2z3 para x = 2, y = – 1 e z = ½ 
f) x3 – 3x2y – y5 +
3
x
 para x = – 2 e 
y = – 1 
g) 
32
22
)a(b
baab




, para a = – 1 e b = – 2 
 
h)
xy
yx


1
 para 
2
1
x e 
4
1
y . 
i)
x
yx


5
3 2
 para 2x e 16y 
j)
ma
am

5
 para 2a e 25m 
5)Existe o valor numérico da expressão 
yx
x

5
 para 2x e 2y ? Por quê? 
OPERAÇÃO COM MONÔMIOS E 
POLINÔMIOS 
Adição de monômios e polinômios 
Para somar ou subtrair monômios ou 
polinômios, somam-se ou subtraem-se 
os coeficientes dos termos 
semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
 MATEMÁTICA 
 AULA 16 
Exemplos: 
a) (2x2y) + (– 5xy2) – (3x2y) – (–xy2) = 
2x2y – 5xy2 – 3x2y + xy2 = – x2y – 
4xy2 
b) (x2 – 2x + 1) + (3x2 + x – 2 ) – (x2 – 
3x + 4) = x2 – 2x + 1 + 3x2 + x – 2 – 
x2 + 3x – 4 = x2 + 3x2 – x2 – 2x + x + 
3x + 1 – 2 – 4 = 3x2 + 2x – 5 
 
Multiplicação de monômios 
Para multiplicar dois ou mais 
monômios, multiplicam-se seus 
coeficientes e suas partes literais. 
Exemplos: 
a) 2a3 b2 . ( -3bc2) = 2 ( –3). a3 b2 . bc2 
= 
– 6 . a3. b2 . b . c2 = – 6a3 b3c2 
 
b) (– 3x2yz3) . (– xy3z) = (– 3) . (– 1). 
x2yz3 . xy3z = 3 . x2 . y . z3 . x .y3 .z = 
3 . x2 .x . y. y3 . z3 . z = 3x3 y4 z4 
 
Multiplicação de monômios por 
polinômios 
Para multiplicar um monômio por um 
polinômio, multiplica-se o monômio por 
cada termo do polinômio. 
Exemplo: 
(–2x2yz).( 4x3y2z – x2y3 + 3xz2) = – 
8x5y3z2 + 2x4y4z – 6x3yz3 
 
Multiplicação de polinômios 
Para multiplicar dois polinômios, 
multiplica-se cada termo de um por 
todos os termos do outro, reduzindo os 
termos semelhantes, se houver. 
 
Exemplos: 
a) (x –2) (2x + 3) = 2x2 + 3x – 4x – 6 = 
2x2 – x – 6 
b) (x2 – 5x +6) ( –3x + 1) = – 3x3 + x2 + 
15x2 – 5x – 18x + 6 = – 3x3 + 16x2 – 
23x + 6 
 
Divisão de monômios 
Para dividir dois monômios, dividem-se 
seus coeficientes e suas partes literais. 
Exemplo: 24x3yz2 : 4xz = 6x2yz 
Divisão de polinômios por 
monômios 
Para se dividir um polinômio por um 
monômio, divide-se cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
Exemplo: 
(18x2y5 – 12x3y4 + 6x4y3 – 21x5y2) : (– 
3x2y2) : (– 3x2 y2) = – 6y3 + 4xy2 
– 2x2y + 7x3 
Divisão de polinômios 
Para se dividir dois polinômios, deve-se 
proceder assim: 
1) Ordenam-se dividendo e divisor 
segundo as potências decrescentes 
de uma determinada letra; 
 
2) Completa-se o polinômio dividendo; 
 
3) Divide-se o primeiro termo do 
dividendo pelo primeiro termo do 
divisor, obtendo-se o primeiro termo 
do quociente; 
 
4) Multiplica-se o primeiro termo do 
quociente por todos os termos do 
divisor e escrevem-se os produtos 
com sinal trocado abaixo dos 
 
 
 
 
5 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
 MATEMÁTICA 
 AULA 16 
respectivos termos semelhantes do 
dividendo; 
 
5) Faz-se a soma; obtendo-se o 
primeiro resto parcial; 
 
6) Toma-se o primeiro resto parcial 
como novo dividendo e repete-se a 
operação sucessivamente, até que 
se encontre um resto nulo (divisão 
exata) ou um resto de grau menor 
que o divisor. 
 
Exemplos: 
1º) ( x3 – 2x +1) : (x2 – x +2) 
 
2º) (5y4 – 10xy3 + x3 y + 6x4 – 2x2y2) : 
(2x2 – 3xy + y2) 
Ordenando segundo as potências 
decrescentes de x, temos: 
 Obs: 
1) O grau do produto de dois 
polinômios é a soma dos graus dos 
polinômiosmultiplicados. 
2) Elevar um monômio a um expoente 
é elevar cada um dos fatores a esse 
expoente 
 
Exemplos: (– 2a3b2)2 = 4a6b4.(– 3xy2)3 = 
– 27x3y6 
Resto de uma divisão de polinômios. 
O resto da divisão de um polinômio P(x) 
por um binômio da forma (ax + b) é P (-
b/a). 
Exemplo: O resto da divisão de P(x) = -
x3 + 2x2 –4x +3 por 3x – 2 é P 
(2/3) = – (2/3)3 + 2. (2/3)2 – 4 (2/3) + 3 = 
 – 8/27 + 8/9 – 8/3 + 3 = 24/27 = 8/9 
O resto da divisão de P(x) = 2x3 –5x2 + 
3x – 2 por x – 2 é P(2) = 2 . 23 – 5 . 
22 + 3 . 2 – 2 = 0, isto é, se o resto é 
zero, P(x) é divisível por x – 2. 
Em particular, dado um polinômio P(x), 
se P(a) = 0, então P(x) é divisível por x 
– a e o número real “a” é chamado de 
raiz de P(x). 
6)Adicione os polinômios abaixo: 
a)7𝑎3 - 5𝑎2 + 3 e 3𝑎3 - 𝑎2 + 2a + 4 
b)9𝑥2𝑦3 - 2𝑥3𝑦2 + 6xy e -(3𝑥2𝑦3 −
 4𝑥3𝑦2 + 5xy − 1 ) 
c)8𝑎2b – 3a𝑏2 + 5𝑎2c - 6𝑏2c e -5𝑎2b + 
5a𝑏2 + 3𝑎2c - 11𝑏2c 
d)5𝑎3p – 9𝑎2𝑝2 + 12a𝑝3- 𝑝4c e 2𝑎3p – 
7𝑎𝑝3 + 3𝑎2𝑝2-6 𝑝4 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
 MATEMÁTICA 
 AULA 16 
7)Subtraia os polinômios abaixo: 
a)8𝑥3 - 13𝑥2 + 5x - 4 e 3𝑥3 + 17 𝑥2 + 
5x + 6 
b)9a – 2b+ 6c – 7d e –(4a – 5b – 3c 
+6d – 10) 
c)7𝑎2m – 2a𝑚2 + 𝑎2c - 17𝑚2c e -𝑎2m + 
13𝑎2𝑐 - 11𝑚2c + 8a𝑚2 
8)Efetue as multiplicações: 
a)(2𝑥2 − 3𝑥 − 5)(−3𝑥) 
b)(4𝑎2𝑏 − 6𝑎𝑏 − 7𝑎𝑏2 + 3)(2𝑎𝑏) 
c)(𝑚2𝑝 − 4𝑚𝑝 + 1)(5 − 𝑚𝑝) 
d)(3𝑥2𝑚 − 4𝑥𝑚 + 2)(2𝑥2𝑚 − 3𝑥𝑚 − 5) 
e)(– 7a2xy2) (3a3x3y2) 
f)(a + b) (a + b) 
g)xm+a . xa-m 
h)(x3 – 7x + 6) (x + 2) 
i)3am. 
225
a5 p
 . (– 15a ) 
j)2mp+q . 4m2p-q . 3m1+2p 
k)(a +b) ( a2 + 2ab + b2) 
l)(a-2) 2 (am+ 2am+1 + a6 ) 
m)(am + b2) (a – b) 
 
 
 
 
 
 
9)Efetue as divisões abaixo: 
a) (2x2 + 3x –1) : (x + 2) 
b) (x3 – x2 + 4x – 6) : (3x2 – x + 3) 
c) (2x5 – 4x3 + 21) : (x3 + 7) 
d) (x5 + x4 – 8 ) : (x2 – 3 ) 
e) (3x5– 5x3 + 3x2 + 2x – 3) : (3x2 + 1) 
 
10)Determine os restos das divisões 
abaixo: 
a) (x5 – 2x2 + 1) : (x – 1) 
b) (2x3 – 3x2 + 2x – 1 ) : (x + 1) 
c) (2x2 – x + 1) (2x + 1)