Produtos Notáveis e Faturação (EsSA-ESSEX)

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EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 19 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
São casos especiais existentes entre o 
produto de termos algébricos. 
Quadrado da soma de dois termos 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Quadrado da diferença de dois termos 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Produto da soma pela diferença de 
dois termos 
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
Cubo da soma de dois termos 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
Cubo da diferença de dois termos 
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
Produto de Stevin: 
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 
 
FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES 
ALGÉBRICAS. 
É escrever uma expressão algébrica na 
forma de produto de termos algébricos 
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑦) 
𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑦) 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 
 
Casos especiais 
Fatoração do Trinômio Quadrado 
Perfeito 
Regra: 
 1º- verificar se o trinômio possui dois 
termos que são quadrados perfeitos. 
 2º- Verificar se o termo não quadrado 
perfeito é igual ao dobro do produto 
das raízes quadradas dos outros dois. 
 
 
 
Fatoração do Trinômio do 2º grau do 
tipo x2 + Sx + P: 
Regra: Deve-se procurar dois números 
inteiros p e q que atendam 
simultaneamente a soma “S” e o produto 
“P”. Formar com esses números o 
produto da forma (x+p). (x+q) 
 
 
 
 
 
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EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 19 
 
Exemplos: 
a) x2 + 7x + 10, temos S=7 e P=10, logo 
os nos são 5 e 2, pois 5 + 2 = 7 e 5 . 2 = 
10. 
Portanto x2 + 7x + 10 = (x + 2) . (x + 5), 
relembre a propriedade do produto de 
Stiven. 
 b) x2 + 7x –18 , temos S = 7 e P = - 18, 
logo os nos são –2 e 9, pois –2 + 9 = 7 
e –2 . (9) = – 18 . 
Portanto x2 + 7x –18 = (x –2) . (x + 9). 
Reforce a propriedade do produto de 
Stiven. 
 
EXERCÍCIOS: 
Desenvolva os seguintes produtos 
notáveis abaixo: 
1) (a + x)2 = 
2) (2x + 3y )2 = 
3) (x + 3)2 = 
4) (2x + y3)2 = 
5) (4x + 5)2 = 
6) (2x5 + 
3
y2
)2 = 
7) (a – y)2 = 
 
8) d) (4x2 –2)2 = 
9) (x – 3)2 = 
 
10) (x3 - 
2
y2
) 2 = 
11) (2x –9) 2 = 
12) (
2
k
 - 
8
y
)2 = 
13) (a + x) (a – x ) = 
14) (x2 – 3y) (x2 + 3y) = 
15) (x + 1) (x –1) = 
16) (x2 + 
4
y
) (x2 - 
4
y
) = 
17) (x - 4) (x + 4) = 
18) (2x3 + 
5
y3
) (2x 3 -
5
y3
)= 
19) (b + x)3 = 
20) (2x –3)3 = 
21) (x – 1)3 = 
22) (3x2 - 2)3 = 
23) (a + 1) (a + 2 ) = 
24) (x – 4) (x – 5) = 
25) (x + 4) (x + 6) = 
26) (x2 + 5) (x2 + 9) = 
27) (x – 3) (x + 5) = 
28) (x3 – 2) (x3 + 4) = 
29) (x + 7) (x – 3) = 
30) (x3 –7) (x3 +1) = 
 
Fatore as expressões abaixo: 
31)3𝑎2 + 2𝑎 
32)5𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 
33)2𝑎2𝑏 + 4𝑎𝑏2 
34)2𝑎𝑏3 − 6𝑎2𝑏2 
35)𝑎(𝑥 + 1) − 𝑏(𝑥 + 1) 
36)𝑎2𝑥 + 𝑎𝑥2 
37)𝑎𝑥 + 𝑎 − 𝑏𝑥 − 𝑏 
38)𝑥2 + 6𝑥 + 9 
39)𝑥2 − 6𝑥 + 9 
40)𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 𝑦2 
41)𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 𝑦2 
42)𝑥2 − 𝑎2 − 2𝑎𝑏 − 𝑏2 
43)100 − 𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 4𝑦2 
44) x2 + 2 xy + y2 = 
45)16a2 – 24ab + 9b2 
 
 
 
 
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EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 19 
 
46) 27a2 –18 a + 3 = 
47) 2a3 + 4a2 + 2a = 
48) x2 + 6x + 8 = 
49) x2 – 6x + 8 = 
50) x2 – 9x +14 = 
51) (x2 + 4x –5) = 
52) x2 –x –56 = 
53) a2 – 8a –20 = 
54) 6x2 + 7x + 2 = 
55) 2x2 –7x + 3 = 
56) 15x2 –x – 6 = 
57) 8x2 + 10x –3 = 
58) 10x2 + 31x + 15 = 
59) 6x2 –19x –7 = 
 
60) Calculando 9342872 - 9342862, 
obtemos: 
a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 
e) 0 
 
61) A expressão a seguir, se for 
simplificada, 
44
3223
8
23
xyyx
xyyxyx


vamos obter: 
a) 
22 42 yxyx
yx


 d) 
2)2( yx
yx


 
b) 
yx
yx


 e) 
22 42
2
yxx
yx


 
c) 
)(
)(
yxy
yxx


 
62) Seja a expressão 
P = (x-1) (x+2) –2 (x+2) (x – 5). 
Se Q = 2 (x+2) (x-5), simplifique o 
quociente 
Q
P
: 
 
 
 
a) 
x
x
2
9
 c) 
)5(2
9


x
x
 e) 
)2(2
9


x
x
 
b) 
)1(2
9


x
x
 d) 
)5(2
9


x
x
 
63) Simplificando a seguinte expressão 
 
223
33
mnnmm
nm


 obtemos: 
a)
2
3
n
mn 
 b)
mn
m

2
 c)
m
nm  d)
n
nm  e) 
mn
nm

 2 
 
64) Dentre as expressões x2 + x + 1, x3 – 
1, x2 – 1, x4 + x2 + 1, x4 + x e x2 – x, o 
número daquelas que são divisores de x7 
– x é igual a: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
65) Simplificando a expressão 
3011
209
2
2


xx
xx
, obtemos: 
a) 
6
4


x
x
 b) 
6
4


x
x
 c) 
4
6


x
x
 d) 
4
6


x
x
 e) 
6
4


x
x