PRODUTOS NOTÁVEIS - EXERCÍCIOS COM GABARITO

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GABARITO DE MATEMÁTICA 8º ano 
 
Produtos Notáveis 
Produtos Notáveis : exercícios com gabarito e teoria 
 
 
Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. 
Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais frequente. 
 
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS 
 
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b) 
_______________= a² + ab+ ab + b² 
_______________= a² + 2ab + b² 
 
Conclusão: 
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)² 
 
Exemplos : 
 
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x² 
 
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y² 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcule 
 
a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²) 
b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25) 
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²) 
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4) 
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4) 
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1) 
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²) 
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²) 
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²) 
j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²) 
l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²) 
m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²) 
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25) 
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²) 
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²) 
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1) 
r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9] 
s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²] 
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²] 
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4) 
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4) 
x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4] 
 
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 
 
 
 
 
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b) 
______________= a² - ab- ab + b² 
______________= a² - 2ab + b² 
 
Conclusão: 
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)² 
 
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x² 
 
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y² 
 
Exercícios 
 
2) Calcule 
 
a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²) 
b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9) 
c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²) 
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49) 
e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25) 
f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16) 
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²) 
h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²) 
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1) 
j) (x² - 1)² = (R: x⁴ - 2x² + 1) 
l) (9x² - 1)² = (R: 81x⁴- 18x² + 1) 
m) (x³ - 2)² = (R: x⁶ - 4x³ + 4) 
n) (x – 5y³)² = (R :x² - 10xy³ +25x⁶ ) 
o) (1 - mx)² = (R: 1 -2mx +m²x²) 
p) (3x + 5)² = ( R :9x² + 30 x + 25) 
 
 
 
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 
 
conclusão: 
(primeiro termo)² - (segundo termo)² 
 
Exemplos : 
 
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25 
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y² 
 
EXERCÍCIOS 
 
3) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos: 
 
a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²) 
b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : y² - 49) 
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9) 
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25) 
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 ) 
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16) 
g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² ) 
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² ) 
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² ) 
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²) 
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = (R: 1 - 49x⁴) 
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = ( R: 9x² - 16) 
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = (R: 9x⁴ - y⁴) 
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) = ( R : x² - 1/4) 
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) = ( R: x² - 4/6) 
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) = (R: x²/16 - 4/9) 
 
 
4) Desenvolva os seguintes produtos notáveis abaixo: 
 
a) (2a+3)² = (R: 4a² + 12a + 9) 
 
b) (2 + 9x)² = ( R: 4 + 36x + 81x² ) 
 
c) (6x - y)² = (R: 36 x² - 12xy + y²) 
 
d) (a - 2b)² = (R: a² - 4ab+ 4b²) 
 
e) (7a +1) (7a - 1) = (R: 49 a² -1) 
 
f) (10a - bc) (10a + bc) = (R:100a² - b²c²) 
 
g) (x² + 2a)² = (R: x⁴ + 4x²a + 4a²) 
 
h) (x - 5) (x + 5) = (R: x² - 25) 
 
i) (9y + 4 ) (9y - 4) = (R:81y² -16) 
 
j) (m - n)² = (R: m² - 2mn + n²) 
 
5) Sabendo que x² + y² = 153 e que xy = 36, calcule o valor de (x+y)². 
(R: 235) 
 
 
https://3.bp.blogspot.com/-PIJSI6qujOQ/T7-bF5muq1I/AAAAAAAAANM/BIJ1j76E7iE/s1600/876c59f76fc2cdda56a3337b611b141a.jpg
6) Qual o valor numérico da expressão (a - 2b)², sabendo-se que a² + 4b² = 30 e ab = 5. 
(R: 10) 
 
 
 
7) Simplifique as expressões: 
 
a) (x+y)2–x2-y2 
(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy 
 
b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) 
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) = 
x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29 
 
c) (2x-y)2-4x(x-y) 
(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2 
 
 
8) Desenvolva: 
 
a) (3x+y)2 
(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2 
 
b) ((1/2)+x2)2 
((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4 
 
c) ((2x/3)+4y3)2 
((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6 
 
d) (2x+3y)3 
(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3 
 
e) (x4+(1/x2))3 
(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6) 
 
f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5) 
(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2 
 
 
 
9) Se x - y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x² + y² é: 
 
a) 53 
b) 109 
c) 169 
d) 420 
 
Solução: 
 
Do problema, temos a seguinte equação x - y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x² + y², mas vamos traçar 
uma estratégia para resolução da questão: 
 
Na equação x - y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim: 
 
(x - y)² = 7², desenvolvendo temos: 
 
x² - 2xy + y² = 49, veja que já apareceram o x² e y², arrumando 
 
x² + y² = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí 
 
x² + y² = 49 + 2.60, resolvendo: 
 
x² + y² = 49 + 120, logo x² + y² = 169. 
 
Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado - podemos fazer isto, desde que façamos 
em ambos os membros - e logo apareceu x² + y². 
 
10)A expressão (x - y)² - (x + y)² é equivalente a: 
 
a) 0 
b) 2y² 
c) -2y³ 
d) -4xy 
 
Solução: 
 
Primeiro vamos desenvolver os binômios separadamente: 
 
(x - y)² - (x + y)² 
(x-y)² = x² - 2xy + y² e (x + y)² = x² + 2xy + y² 
 
Após desenvolver, voltamos para a expressão e substituímos: 
 
(x - y)² - (x + y)² = x² - 2xy + y² - (x² + 2xy + y²) = x² - 2xy + y² - x² - 2xy - y² = 
x² - x² - 2xy - 2xy + y² - y² = -2xy - 2xy = - 4xy 
 
Logo, (x-y)² - (x + y)² = - 4xy 
 
11) (TRT-2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que 
gostava muito de Matemática, respondeu: 
- O número de processos que arquivei é igual a (12,25)2 - (10,25)2 
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: 
a)38 < X < 42. 
b) X > 42. 
c) X < 20. 
d)20 < X < 30. 
e)30 < X < 38 
Solução: 
Temos que o produto da soma pela diferença de dois termos pode ser vista como: 
 
 
 
12) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos: 
 
a) (x + y) . ( x - y) = 
b) (y – 7 ) . (y + 7) = 
c) (x + 3) . (x – 3) = 
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = 
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = 
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = 
g) (3x + y ) (3x – y) = 
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = 
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = 
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = 
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = 
 
13) Desenvolva: 
 
a) ( x + y)³ = 
b) (x – y)³ = 
c) (m + 3)³ = 
d) (a – 1 )³ = 
e) ( 5 – x)³ = 
 
14) A expressão (a + b + c)² é igual a 
 
a) a² + 2ab + b² + c² 
b) a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc 
c) a² + b² + c² + 2abc 
d) a²+ b² + c² + 4abc 
e) a² + 2ab + b² + 2bc + c² 
 
 
 
15) Seja N o resultado da operação 375² - 374². A soma dos algarismos de N é: 
a) 18 
b) 19 
c) 20 
http://clickexatas.files.wordpress.com/2012/04/produt_3.jpg
d) 21 
e) 22 
 
16) Efetuando-se (579865)² - (579863)², obtém-se 
a) 4 
b) 2 319 456 
c) 2 319 448 
d) 2 086 246 
e) 1 159 728 
 
17) O produto (x + 1)(x² - x +1) é igual a: 
 
a) x³-1 
b) x³ + 3x² - 3x + 1 
c) x³ + 1 
d) x³ - 3x² + 3x - 1 
e) x² + 2 
 
 
Gabarito: 
 
12) a) (R : x² - y²) b) ( R : y² - 49) c) ( R: x² - 9) d) ( R: 4x² - 25) e) ( R: 9x² - 4 ) 
f) ( R: 25x² - 16) g) (R: 9x² - y² ) h) ( R: 1 - 25x² ) i) ( R: 4x² - 9y² ) j) (R: 49 - 36x²) l) (R: 1 - 49x⁴) 
 
13) a) (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³) b) (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³) c) ( R: m³ + 9m² + 27m +27) 
d) (R: a³ - 3a² + 3a -1) e) (R: 125 - 75x + 15x² -x³) 
 
 
14) B 
 
15) C 
16) B 
17) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatoração de polinômios 
 
1) Fatore o polinômio ax² + bx² - 7x². x² .( a + b - 7 ) 
 
 
2) Escreva a forma fatorada do polinômio 8a5 b + 12a³. 4a³. ( 2a²b + 3 ) 
 
 
3) Fatore os seguintes polinômios: 
 
a) 5x + 5y 5. ( x + y ) 
 
b) 7ab – 14bx 7b. ( a - 2x ) 
 
c) a³ + 3a² + 5a a.( a² + 3a + 5 ) 
 
d) 4x² + 12x³y – 28x²z 4x². ( 1 + 3xy - 7z ) 
 
4) Fatore o polinômio 21a²b²c³ + 9abc – 6abcd. 3abc. ( 7abc² + 3 - 2d ) 
 
 
5) Qual é o valor numérico do polinômio 2m + 2n , sabendo que m + n = 10? 
 
 2( m + n ) = 2. 10 = 20 
 
6) Que valor numérico tem a expressão 5ab + 5a², quando a = 4 e a + b = 8? 
 
 5a.( b + a ) 5 . 4 . 8 20.8 = 160 
7) Fatore : 
 
a) 3a + 6b 3.( a + 2b ) 
 
b) 4x + 8 4. ( x + 2 ) 
 
c) – 2a – 4b - 2.( a + 2b ) 
 
d) – 10m – 5n - 5.( 2m + n ) 
 
8) Fatore as expressões. 
 
a) x² - 4 (x - 2 ). ( x + 2 ) c) 4a² - 9b² ( 2a - 3b ) ( 2a + 3b ) 
 
b) a² - 1 ( a - 1 ) ( a + 1 ) d) 9x4 – 16y6 (3x² - 4y³ ). (3x² + 4y³) 
 
9) verifique se os polinômios são trinômios quadrados perfeitos: 
 
a) x² + 12x + 64 não e) a²x² + 2ax + 1 sim 
 
b) a² - 22a + 121 sim f) y² - 2y + 4 não 
 
c) 4b² + 10b + 25 não g) x² + 5x + 16 não 
 
10) Fatore os trinômios quadrados perfeitos: 
 
a) x4 + 8x² + 16 ( x² + 4)² c) m² - 6mn + 9n² ( m - 3n)² 
 
 
b) 1 + 2x²y³ + x4y4 ( 1 + x²y² )² d) 1/4a2b² - 5a²b + 25a² ( 1/2ab - 5a)² 
 
 
11) De a forma fatorada das seguintes expressões. 
 
a) 2x + 2y + 3x + 3y c) 3a – 3b + ma – mb 
 
5.( x + y ) ( 3 + m ) ( a - b ) 
b) a – ax + b – bx + c – cx 
 
( a + b + c ) ( 1 - x ) 
12) Qual o valor numérico da expressão ax + ay + 3x + 3y, sabendo-se que 
a = 2 e x + y = 5? 25 
 
 
 
 
13) Expressões algébricas fatoradas (fatoração simples). 
a) ax + ay + az = a(x + y + z) 
b) 4m2 + 6am =2m(2m 3a) 
c) 7xy2 - 21x2y = 7xy(y - 3x) 
 
14) Expressões algébricas fatoradas (por agrupamento) 
a) ax + bx + am + bm = x(a + b) + m(a + b) = (a + b).(x + m) 
b) 2x + 4y + mx + 2my = 2(x + 2y) + m(x + 2y) = (x + 2y).(2 + m) 
 
15) Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados) 
a) 9x2 - 16 = (3x - 4).(3x + 4) 
 
b) 25 - 4a2m6 = (5 - 2am3).(5 + 2m3) 
 
c) 0, 81b4 - 36 = (0,9b2 - 6).(0,9b2 + 6) 
 
d) (a + 3)2 - 9 = (a + 3 - 3).(a + 3 +3) = a(a + 6) 
 
e) (m + 1)2 - (k - 2)2 = [(m + 1 - (k - 2].[m + 1 + (k -2)] = 
 (m +1 - k + 2).(m + 1 + k - 2) = (m - k +3).(m + k - 1) 
 
16) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos 
a) x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 = (x - 2).(x - 2) 
 b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 = (x - ).(x - 3) 
c) x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 = (x - 5).(x - 5) 
d) m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = (m + 4).(m + 4) 
e) p2 - 2p + 1 = (p - 1)2 = (p - 1).(p - 1) 
f) k4 + 14k2 + 49 = (k2 + 7)2 = (k2 + 7).(k2 + 7) 
g) (m + 1)2 - 6(m + 1) + 9 = (m + 1 - 3)2 = (m - 2)2 = (m - 2).(m - 2) 
 
16) Fatoração da soma e da diferença de dois cubos 
a) a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) 
b) m3 - 8n3 = m3 - (2n)3 = (m - 2n)(m2 + 2mn + 4n2) 
c) x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16) 
d) y3 - 125 = y3 - 53 = (y - 5).(y2 + 5y + 25) 
 
17) Fatore até as expressões tornarem-se irredutíveis: 
a) m8 - 1 = (m4)2 - 1= 
(m4 + 1) (m4 - 1). = 
 (m4 + 1) (m2 + 1) (m2 - 1)(m2 + 1)= 
(m4 + 1) (m2 + 1) (m + 1).(m – 1). 
 
 
b) ax3 - 10ax2 + 25ax = ax(x2 - 10x + 25) = ax(x - 5)2 = ax(x - 5).(x - 5) 
 
c) 2m3 - 18m = 2m(m2 - 9) = 2m(m - 3).(m + 3) 
 
d) [(x -3)2 - 4(x - 3) + 4] - [(x - 3)2 + 4(x - 3) + 4] = [(x - 3 - 2)2] - [(x - 3 + 2)2 = (x - 5)2 - (x - 1)2 
[(x - 5 - (x - 1)] .[x - 5 + (x - 1)] = - 4(2x - 6) = - 4. 2(x - 3) = -8.(x - 3)