Introdução à Álgebra Linear - Lista 01

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UFPB

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PEDRO JUNIOR

08/09/2022

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Álgebra

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA LINEAR
Lista de Exerćıcios 1: Espaços Vetoriais Reais
Observação: A menos que mencionado o contrário, o corpo utilizado nos espaços vetoriais é o corpo dos
números reais.
1. Determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por
escalar é um espaço vetorial.
(a) O conjunto de todos os vetores em R2 da forma (x, x) com as operações usuais de adição
de vetores e de multiplicação por escalar;
(b) O conjunto de todos os vetores em R2 com a operação usual de adição e multiplicação por
escalar definida por: c(x, y) = (cx, y);
(c) O conjunto de todos os números racionais, com as operações usuais de adição e multiplica-
ção;
(d) O conjunto de todas matrizes 2×2, M(2, 2) , triangulares inferiores com as operações usuais
de adição de matrizes e de multiplicação por escalar;
(e) O conjunto das funções cont́ınuas definidas num intervalo I ⊂ R e tomando valores reais
com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar;
(f) O conjunto de todas funções reais definidas em toda reta e tais que f(1) = 0, com as
operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar;
(g) O conjunto de todas as matrizes 2× 2 da forma[
a 1
1 b
]
com as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação por escalar;
(h) O conjunto de todas as matrizes 2× 2 da forma[
a 0
0 b
]
com as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação por escalar.
2. Você considera posśıvel que um espaço vetorial tenha dois vetores nulos distintos? Explique-se.
3. Você considera posśıvel que um espaço vetorial tenha dois vetores opostos distintos? Explique-se.
4. Determinar se W é um subespaço de V .
(a) V = R3, W = {(a, 0, a)};
(b) V = R3, W = {(a,−a, 2a)};
(c) V = R3, W = {(a, b, |a|)};
(d) V = R3, W = {(a, b, c); a ∈ Z};
(e) V = R3, W = {(a, b, c); b é irracional};
(f) M(n, n), W = {A ∈M(n, n); detA = 1};
1
(g) V = {conjunto de todas funções}, W = {f ∈ V ; f(−x) = f(x)};
(h) V = {conjunto de todas funções}, W = {f ∈ V ; f(−x) = −f(x)};
(i) V = {conjunto de todas funções}, W = {f ∈ V ; f(x) > 0};
(j) V = {conjunto de todas funções}, W = {conjunto de todas funções integráveis};
5. Sejam V = M(2, 2), o espaço das matrizes 2× 2,
W1 =
{[
a b
c 0
]
∈ V ; a, b, c ∈ R
}
e W2 =
{[
a 0
0 d
]
∈ V ; a, d ∈ R
}
subespaços de V . Determine W1 ∩W2.
6. Sejam V = {conjunto de todas funções}, W1 = {conjunto de todas funções cont́ınuas} e W2 =
{conjunto de todas funções integráveis}. Determine W1 ∩W2.
7. CONTINUA...
Bons estudos!
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