Lista_3_CDI_1

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Lista 3: Limites notáveis e continuidade - Cálculo Diferencial e Integral I
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
1. Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
(a) lim
x→2
sin x− sin 2
x− 2
(b) lim
x→0
sen (a+ x)− sen (a− x)
x
(c) lim
x→0
sin2 x.cotg (x)
x
(d) lim
x→−∞
(
x
1 + x
)x
(e) lim
x→pi
sen x
x− pi
(f) lim
x→pi
3
1− 2 cos x
sen
(
x− pi
3
)
(g) lim
x→0
tg (x)− sen x
x3
(h) lim
x→0
ln (1 + ax)
x
(i) lim
x→0
eax − ebx
x
(j) lim
x→3
lnx− ln 3
x− 3
(k) lim
x→0
(1 + 3tg2 (x))
cotg
2(x)
(l) lim
x→3
ex − e3
x− 3
(m) lim
x→1
ln (2− x)
x− 1
(n) lim
x→1
sen (x2 − 1)
x3 − 3x2 − x+ 3
(o) lim
x→−2
3
x+2
7 − 1
x+ 2
(p) lim
x→∞
[
xtg
(
1
x
)]
(q) lim
x→0
x
√
1− 2x
(r) lim
x→−4
x+4
√
(x+ 5)2
(s) lim
x→+∞
[
5 +
(
1 +
1
x
)x]2
(t) lim
x→1
(
ex−1 − ax−1
x2 − 1
)
(u) lim
x→1
e(2x−2) − 1
e(5x−5) − 1
(v) lim
x→0
(
2
sen
2x
− 1
1− cos x
)
(w) lim
x→0
2x − 5x
sen(2x)− senx
(x) lim
x→+∞
(√
x+
√
x−√x
)
(y) lim
x→+∞
[x (ln (x− 1)− lnx)]
(z) lim
x→∞
[
10 +
(
1 +
1
x
)x+5]
2. Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
(a) lim
x→0
x2 − 3sen x
x
(b) lim
x→0
1− 2 cos x+ cos (2x)
x2
(c) lim
x→1+
lnx√
x− 1
(d) lim
x→0
esen x − 1
sin (2x)
(e) lim
x→0
e2x − ex
sen (2x)− senx
(f) lim
x→1
3
x−1
4 − 1
sin [5 (x− 1)]
(g) lim
x→pi
4
1− tg (x)
cos x− sin x
(h) lim
x→∞
(
x2 + 1
x2 − 3
)x2
(i) lim
x→pi
2
(sen2x+ 2 cos2 x)
sec2 x
(j) lim
x→∞
[x ( x
√
e− 1)]
(k) lim
x→0
x√
1− cos x
(l) lim
x→1
[
(1− x) tg (pix
2
)]
1
3. Sejam f e g duas funções de�nidas por g (x) = x− 2 e f (x) = (x− 4)
2
ex − e4 cosec (x− 4) . Determine
lim
x→6
h (x) ., sendo h (x) = (f ◦ g) (x) .
4. Sejam f (x) = ln
√
2− 2x, para todo x < 1, e k = lim
x→+∞
(
x+ c
x− c
)x
. Encontre, se possível, o
valor da constante c para que f−1 (0) = k.
5. Considere a função f (x) de�nida por f (x) =
{ a
x
sin (2x) + (x+ 1) b, se x < 0
a (x2 + 1) + 3b, se x ≥ 0
. Encontre, se
possível, uma relação entre as constantes a e b de tal forma que a função f (x) seja contínua em
0.
6. Obtenha lim
x→−1
F (x), sabendo que F (x) = h (f (g−1 (x))) com f (x) = ex, g (x) = ex − 2 e
h (x) =
1− cos (x− 1)
x− 1
7. Sejam f (x) = 3
√
ln (2x− 1 + |1− x|) e g (x) = ex3 .
(a) Determine o domínio da função f.
(b) Estude a continuidade da função h (x), sabendo que
h (x) =

g (f (x)) , se x ∈ Df
0, se x = 0
sin (2x)
x
− 2, se x ∈ R∗ − {Df}
.
Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classi�que a(s) descontinuidade(s).
8. Use a de�nição de continuidade para decidir se a função
f (x) =

1− e3 sinx
sin (2x)
, se x ≤ 0
x− lim
x→+∞
(√
x+
√
x−√x+ 1
)
, se x > 0
é contínua em x = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classi�que essa descontinui-
dade.
9. Sejam f (x) = sin(5x), g (x) = x2 − 1 e h (x) = ln (x− 1) . Determine lim
x→1
F (x), sabendo que
F (x) =
f (g (x))
g (x) .h (h−1 (x− 3)) .
10. Considere a função f , de�nida por f (x) =

2
(
ebx
2 − 1
)
5− 5 cos2 x , se x < 0
a, se x = 0
(x+ 1)(ln 5)/x , se x > 0
.
Encontre, se possível, o valor das constante a e b para que a função f (x) seja contínua em 0.
2
11. Determine o valor dos seguintes limites, justi�cando sua resposta.
(a) lim
x→+∞
1 + cos(x)
x
(b) lim
x→0
xq(x), sendo q(x) =
{
1, se x ∈ Q
−1, se x ∈ R−Q
(c) lim
x→−∞
ex sin(x)
12. Temos que
ˆ sin(x) ≤ x ≤ tan(x) para todo x ∈
[
0,
pi
2
)
ˆ tan(x) ≤ x ≤ sin(x) para todo x ∈
(
−pi
2
, 0
]
Use o Teorema do confronto para provar que lim
x→0
x
sin(x)
= 1.
13. Seja f de�nida em R tal que para todo x 6= 1 tem-se que
−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1 .
Calcule lim
x→1
f(x) justi�cando sua resposta.
Respostas:
1. .
(a) cos 2
(b) 2 cos a
(c) 1
(d) e−1
(e) −1
(f)
√
3
(g)
1
2
(h) a
(i) a− b
(j)
1
3
(k) e3
(l) e3
(m) −1
(n) −1
2
(o)
1
7
ln 3
(p) 1
(q) e−2
(r) e2
(s) (e+ 5)2
(t)
1
2
− 1
2
ln a
(u)
2
5
(v)
1
2
(w) ln
(
2
5
)
(x)
1
2
(y) −1
(z) e+ 10
2. .
3
(a) −3
(b) −1
(c) 0
(d)
1
2
(e) 1
(f)
1
20
ln 3
(g)
√
2
(h) e4
(i) e
(j) 1
(k)
√
2, se x→ 0+; −√2, se x→ 0−
(l)
2
pi
3. e−4
4. c = − ln(√2)
5. a = 2b
6. 0
7. (a) (0,+∞) (b) h(x) é contínua para todo x ∈ R∗
8. lim
x→0+
f (x) = −3
2
; lim
x→0+
f (x) = −1
2
; descontinuidade essencial em x = 0.
9. −5
2
10. a = 5 e b = 25
2
11. Todos os limites dão zero.
12.
13. lim
x→1
f(x) = 2
4