Laboratório de Matemática e Física - GRA1583 - Atividade 04 FMU

Prévia do material em texto

Teste ATIVIDADE 4 (A4) 
Iniciado 22/06/20 10:30 
Enviado 22/06/20 13:27 
Status Completada 
Resultado da tentativa 8 em 10 pontos 
Tempo decorrido 2 horas, 57 minutos 
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
 
 
 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio 
de três vetores linearmente independentes, , e , pode ser expresso 
como um produto misto do tipo . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 
10, -30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro. 
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido. 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. Justificativa: Denominando (20-(-10), 
10-20, -30-0), (10-(-10), 10-20, 10-0) e (30-(-10), -
20-20, 30-0) temos, pelo teorema, que X = u.v. 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
Pela geometria euclidiana, três pontos distintos, P, Q e R, definem um plano, e suas 
coordenadas coincidem com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto é 
definido em que é valor do ângulo entre os vetores. Considere os pontos de 
coordenadas seguintes em um sistema de eixos cartesianos: A(6, 9, 3), B(6, 3, -3) e C(6, 6, 
-6). 
Com base no exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. Os pontos A, B e C definem um triângulo retângulo. 
PORQUE 
II. O produto escalar . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. Justificativa: São três pontos distintos em ℝ 3 
o que define os vértices de um triângulo. O produto 
escalar = (0, -6, -6) (0, -3, 3) = . Significa que os 
vetores e são ortogonais entre si e implica que o 
triângulo é retângulo em B. 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
Seja dado um triângulo de vértices A, B e C. Considere que o ponto médio do 
segmento é o ponto M e que N é o ponto médio do segmento . As 
propriedades da geometria euclidiana podem, também, ser definidas em termos da notação 
vetorial. 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Assim, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. é paralelo a . 
PORQUE 
II. . 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Feedback 
da resposta: Resposta correta. Justificativa: . Portanto, . Se dois 
vetores são proporcionais entre si é porque possuem a mesma 
direção. Então, por isso, os segmentos e são 
paralelos entre si. 
 
 
 Pergunta 4 
0 em 1 pontos 
 
Sejam e vetores em um plano cujo ponto O é origem comum a ambos. Ao 
vetor é permitido girar em torno de O, de modo que define um 
ângulo com . O produto escalar entre e , representado pela 
notação , é o valor numérico . O produto vetorial entre e , 
representado pela notação , é o vetor (a y b z -a z b y ) + (a z b x -
a x b z ) + (a x b y -a y b x ) que possui módulo . 
 Considere os gráficos seguintes: 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Os valores numéricos dos produtos e podem ser representados, em função 
de , respectivamente, pelos gráficos: 
 
Resposta Selecionada: 
V e IV. 
 
Resposta Correta: 
IV e III. 
Feedback 
da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta. Justificativa: Pela definição, e 
o valor numérico do produto sofre variação cossenoidal com 
amplitude de valor 2ab. O módulo do produto 
vetorial é . O valor numérico sofre variação senoidal 
com amplitude de valor 2ab, considerando-se que = a 
e = b). 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Uma função gradiente é uma medida da taxa de variação de uma grandeza escalar por 
unidade de espaço e é uma medida vetorial. Isotermas são conjuntos de pontos que 
identificam uma mesma medida de temperatura. Considere o mapa do Rio Grande do Sul 
que foi, hipoteticamente, noticiado no bloco de previsão do tempo. Ele registra as 
isotermas, em graus Celsius, pelo território em um dado momento do dia. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Assim, qual dos trajetos lineares, identificados de I a V, apresenta o maior gradiente de 
temperatura naquele momento? Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
I. 
 
Resposta Correta: 
I. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: No trajeto I do território, a 
variação da temperatura é maior em uma distância linear 
relativamente pequena quando comparada aos demais trechos. 
Então, o gradiente de temperatura é o mais alto. No trajeto II, 
por exemplo, a variação de temperatura é a mesma que em I, 
mas a distância territorial é maior. Portanto, o gradiente em II é 
menor do que em I. 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Os vetores , e , na figura a seguir, podem ser indicados = (16, 
30 o ) em coordenadas polares, ou = (10, 0) e = (-25, 30) em coordenadas 
cartesianas. Suponha que eles representem deslocamentos consecutivos de um 
corpo, , a partir do ponto de origem (0, 0). 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Assinale a alternativa que indica a posição final do corpo. 
 
Resposta Selecionada: 
(-15+8 , 38). 
Resposta Correta: 
(-15+8 , 38). 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento total do 
corpo é = (R x, R y) com R x = 10 + 16cos30 o - 25 e R y = 
0 + 16sen30 o 
+ 30, por conversão das coordenadas polares do 
vetor em coordenadas cartesianas. Assim, a posição final 
do corpo é (0,0) + = (-15+ 8 , 38). 
 
 
 Pergunta 7 
0 em 1 pontos 
 
Em um plano, a posição de um ponto P pode ser definida por meio de um par ordenado de 
valores do tipo (x, y) em um sistema de coordenadas cartesianas. Outra possibilidade é 
determinar a posição do ponto P pela distância r em relação à origem O e pelo ângulo que 
a reta que une a origem O ao ponto P define com um dos eixos cartesianos. Essa 
representação, expressa ( , ), é denominada coordenadas polares. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
 
A partir das descrições apresentadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) . 
II. ( ) . 
III. ( ) . 
IV. ( ) . 
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
Resposta Selecionada: 
V, V, F, F. 
Resposta Correta: 
V, V, V, V. 
Feedback 
da resposta: 
Sua resposta está incorreta. Justificativa: As relações de 
conversão entre as coordenadas cartesianas e polares podem 
ser definidas trigonometricamente a partir do triângulo de 
vértices OxP. Assim, , , e . 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa figura, há um losango de 
vértices E, F, G e H, sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do 
quadrado. O ponto O é a interseção das diagonais do losango. Um vetor que porventura 
tenha origem no ponto I e término em J é representado por . 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) . 
II. ( ) // 
III. ( ) . 
IV. ( ) . 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, V, V, F. 
Resposta Correta: 
V, V, V, F. 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: Dois vetores, para serem 
equivalentes entre si, necessitam possuir mesmo módulo, 
direção e sentido. Como os vetores e possuem 
sentidos opostos, então são vetores distintos e a 
equivalência está incorreta. Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Dados dois vetores, = (a x , a y , a z ) e = (b x , b y , b z ), define-se como 
produtor escalar, representado por , o número real a x b x 
+ a y b y + c x c y ou ao equivalente em que θ é o ângulo compreendido entre eles. 
Suponha, então, os vetores = (2, 1, m), = (m+2, –5, 2) e = (2m, 8, m). 
Para quais valores de m os vetores resultantes das 
operações + e serão ortogonais entre si? Assinale a alternativa 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
m = -6 ou m = 3. 
Resposta Correta: 
m = -6 ou m = 3. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: Para serem ortogonais entre si, 
é condição necessária que o ângulo entre os vetores seja . 
Assim e ou . 
 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza 
escalar por unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu gradiente é definido 
por , em que , e são vetores canônicos. Vetores canônicos 
possuem módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as 
direções dos eixos cartesianos x, y e z. 
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
O gradiente de uma função escalar é um vetor. 
 
PORQUE 
A grandeza possui módulo, direção e sentido. 
 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: Esta é a própria definição de 
uma grandeza vetorial. A função identifica o módulo, a 
direção e o sentido em que a função escalar apresenta a 
maior taxa de variação por unidade de comprimento em um 
dado ponto de coordenadas . 
 
Segunda-feira, 22 de Junho de 2020 13h28min03s BRT