1 -Cederno-de-Matematica---Teoria-2B-Testes-da-EEAR-

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MATEMÁTICA
Teoria e prática
A minha missao
 e APROVAR 
 VOCE!
´
^
A minha missao
 e APROVAR 
 VOCE!
~
 
 
 
Índice 
 
Sequências 3 
Logaritmos 11 
Trigonometria 21 
Complexos 35 
Polinômios 43 
Geometria analítica no plano 51 
Matrizes, determinantes e sistemas lineares 69 
Geometria plana 89 
Geometria espacial 141 
Conjuntos 159 
Introdução às funções 167 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
SEQUÊNCIAS 
 
CAPÍTULO I: PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
I. Definição 
Uma P.A. é uma sequência em que cada termo, a partir so segundo, é a soma do anterior com 
uma constante r dada. 
 
1
n
1 2 3 n 1 n
n termos
a :primeiro termo
a :n ézimo termo
P.A. a ,a ,a , ,a ,a
n : número de termos
r : razão


      
  


 
2 1
3 2
4 3
n n 1
a a r
a a r
a a r
a a r, n ,n 2

 
 
 

    
 
 
II. Classificação 
A P.A. é classificada como: 
 
Exemplos: 
crescente
P.A. de r 3
2,5,8,... r 0

 
  
 
 

decrescente
P.A. de r 1
3, 4, 5,... r 0

 
     
 
 

cons tan te
P.A. de r 0
5,5,5,... r 0

 
  
 
 
 
crescente : r 0
P.A. constante : r 0
decrescente : r 0


 
 
 
 
III. Notação especial 
Quando queremos obter uma P.A. com três termos, é muito prática a notação seguinte: 
 
 x r,x,x r  
 
Nota: 
O termo central em uma P.A. é dado pela média aritmética dos termos equidistantes dele. 
 
 
1 3
2
1 2 3 4 5
1 52 4
3
a a
a
2
P.A. a ,a ,a ,a ,a ,...
a aa a
a
2 2



  

 
 
IV. Fórmula do termo geral 
Qualquer termo de uma P.A. é dado por: 
 
    n 1a a n 1 r 
 
 
 
4 
 
V. Interpolação aritmética 
Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre os números a e b significa obter uma 
P.A. de extremos 1 na a e a b  , com n k 2  termos. Para determinarmos os termos dessa 
P.A. é necessário calcular a razão, o que é feito assim: 
 
   n 1
b a
a a n 1 r b a k 2 1 r r
k 1

           

 
 
V. Soma 
A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por: 
 
  

1 n
n
a a n
S
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
CAPÍTULO II: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
I. Definição 
Uma P.G. é uma sequência em que cada termo, a partir so segundo, é o produto do anterior 
com uma constante q dada. 
1
n
1 2 3 n 1 n
n termos
a :primeiro termo
a :n ézimo termo
P.G. a ,a ,a , ,a ,a
n : número de termos
q : razão


      
  


 
2 1
3 2
4 3
n n 1
a a q
a a q
a a q
a a q, n ,n 2

 
 
 

    
 
 
II. Classificação 
A P.G. é classificada como: 
Exemplos: 
crescente
1
P.G. de q 3
a 0
2,6,18,...
q 1

  
  
   
decrescente
1
1
P.G. de q
3
a 01
3,1, ,...
3 0 q 1

 
 
      
 
 
crescente
1
1
P.G. de q
2
a 01
2, 1, ,...
2 0 q 1

 
 
        
 
 
 
decrescente
1
P.G. de q 2
a 0
1, 2, 4,...
q 1

  
     
   
 
alternante
1
P.G. de q 2
a 0
4,8, 16,...
q 0

  
    
   
estacionária
1
P.G. de q 0
a 0
3,0,0,...
q 0

  
  
   
cons tan te
1
P.G. de q 0
a 0
0,0,0,...
q qualquer

  
  
   
cons tan te
1
P.G. de q 1
a 0
5,5,5,...
q 1

  
  
   
 
 
 
 
III. Notação especial 
Quando queremos obter uma P.G. com três termos, é muito prática a notação seguinte: 
 
x
,x,x q
q
 
 
 
 
 
Nota: 
 
6 
 
O termo central em uma P.G. é dado pela média geométrica dos termos equidistantes dele. 
 
 
2 1 3
1 2 3 4 5
3 2 4 1 5
a a a
P.G. a ,a ,a ,a ,a ,...
a a a a a
  

   
 
 
 
IV. Fórmula do termo geral 
Qualquer termo de uma P.G. é dado por: 
 
n 1
n 1a a q
  
 
V. Interpolação geométrica 
Interpolar, inserir ou intercalar k meios geométricos entre os números a e b significa obter uma 
P.G. de extremos 1 na a e a b  , com n k 2  termos. Para determinarmos os termos dessa 
P.G. é necessário calcular a razão, o que é feito assim: 
 
n 1 k 2 1
k 1
n 1
b
a a q b a q q
a
  
       
 
VI. Produto 
O produto dos n termos iniciais de uma P.G. é dado por: 
 
 n n 1
n 2
n 1P a q

  
 
VII. Soma dos termos de uma P.G. finita 
A soma dos n termos iniciais de uma PG é dada por: 
 
n
n n
q 1
S a
q 1

 

 
 
VIII. Soma dos termos de uma P.G. infinita 
A soma dos infinitos termos P.G. com razão q no intervalo 1 q 1   é dada por: 
 



1aS
1 q
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
TESTES DE NIVELAMENTO 
 
 
1. (EEAR-SP) O Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ...) de razão q = 2. Se a1+ a5 = 272, o valor de a1 é 
a) 8 
b) 6 
c) 18 
d) 16 
 
2. (EEAR-SP) O 6º termo da sequência 2, 8, 32, 128, ... é um número cuja soma dos algaris-
mos é 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
 
3. (EEAR-SP) Os quatro primeiros termos da sequência definida por  
n
na 1 n 1, n *,     
são tais que 
a) formam uma PA de razão 4 
b) formam uma PG de razão 2 
c) a1 + a3 = a2 + a4 
d) a1 + a2 = a3 + a4 
 
4. (EEAR-SP) Considere esses quatro valores x, y, 3x, 2y em PA crescente. Se a soma dos 
extremos é 20, então o terceiro termo é 
a) 9 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
 
5. (EEAR-SP) Seja (a1, a2, a3, a4, a5,...) uma PG de termos não nulos. Se 2(a2+ a4) = a3+ a5, 
pode-se afirmar corretamente que a razão dessa PG é 
a) 4 
b) 2 
c) 1/2 
d) 2 
 
6. (EEAR-SP) A progressão aritmética, cuja fórmula do termo geral é dada por na 5n 18, 
 tem razão igual a 
a) -5 
b) -8 
c) 5
 
d) 8 
 
7. (EEAR-SP) Quatro números estão em PA de razão 3. Se o primeiro termo somado ao último 
é igual a 19, então o primeiro termo é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 9 
 
8 
 
8. (EEAR-SP) Em uma PG de razão 6, o quarto termo é 48. Assim, o primeiro termo é 
a) 2 
b) 3 
c) 1/ 6
 d) 2 / 9 
 
9. (EEAR-SP) Se a sequência (x, 3x+2, 10x+12) é uma PG de termos não nulos, então x² é 
a) 1 
b) 4 
c) 9 
d) 16 
 
10. (EEAR-SP) Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, obtém-se uma PA cujo 
sexto termo é 
a) 25 
b) 30 
c) 33 
d) 42 
 
11. (EEAR-SP) O 4.º termo de uma P.G. é – 80, e o 6.º termo é – 320. Se essa P.G. é alternan-
te, então sua razão é 
a) 4 
b) 3 
c) -1 
d) -2 
 
12. (EEAR-SP) Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é 
23n , n *,  então a razão 
dessa PA é 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
13. (EEAR-SP) Quatro números naturais formam uma PG crescente. Se a soma dos dois pri-
meiros números é 12, e a dos dois últimos é 300, a razão da PG é 
a) 7 
b) 5 
c) 4 
d) 2 
 
14. (EEAR-SP) A soma dos n primeiros termos da PG (1, – 2, 4, – 8, ... ) é – 85. Logo, n é 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
 
15. (EEAR-SP) A soma dos 10 primeiros termos de uma PA, cujo termo geral é dado pela ex-
pressão ak = 3k – 16, é 
a) 5 
b) 14 
c) 18 
d) -6 
 
9 
 
16. (EEAR-SP) Numa PG, onde o 1.º termo é 3, a soma dos três primeiros termos é 21. Se a 
soma dos quatro primeiros termos é 45, o quinto termo é 
a) 51 
b) 50 
c) 49 
d) 48 
 
17. (EEAR-SP) Uma PG de razão 3 tem cinco termos. Se o último termo é 9 3 , então o 
primeiro é 
a) 3 
b) 5 3 
c) 3 
d) 1/3 
 
18. (EEAR-SP) O quinto termo de uma PA vale 23, e o décimo segundo termo é – 40. O pri-
meiro termo negativo dessa PA é o 
a) sétimo 
b) oitavo 
c) nono 
e) décimo 
 
19. (EEAR-SP) Se (x + 3, 2x - 1, x + 5) é uma PA, então a soma dos três termos dessa PA é 
a) -13 
b) 15 
c) 19 
d) 27 
 
20. (EEAR-SP) Sabe-se que a sequência (x , y, 10) é uma PA e a sequência 
1
,3,3x 4
y
 
 
 
 é 
uma PG. Nessas condições, é correto afirmar 
a) a razão da PA é 2 
b) a razão da PG é -26 
c) x + y = 10 
d) x.y = -16 
 
21. (EEAR-SP) Dada a equação 20x + 10x + 5x + ... = 5, em que o primeiro membro represen-
ta a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, o valor de 1/x é 
a) 12b) 10 
c) 8 
d) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
LOGARITMOS 
 
I. Função exponencial 
Representação 
 
0
x
0
y y x 0
y y a a : base 0 a 1
x
  

   


 
Atenção  
 
Uma situação muito comum de função exponencial é aquela em que uma determinada gran-
deza, que pra um instante t = 0 ela apresenta uma medida 0y y , a partir deste instante, co-
meça a apresentar um k crescimento (k > 0) ou decrescimento (k < 0) por unidade de tempo. 
Sendo assim fica mais prático representar a função da seguinte forma: 
 
t
0y y 1 k   
 
Análise gráfica 
 
 
II. Função logarítmica 
 
Representação 
 
 
 
y
a
y : logaritmo
y log x a x a : base 0 a 1
x : logaritmando x 0


    


 
Consequências 
 
I. alog 1 0 
II. alog a 1 
III. 
alog a
   
IV. alog ba b 
V. a alog b log c b c   
 
 
 
 
 
12 
 
Propriedades 
I.  a a alog b c log b log c   
II. 
a a a
b
log log b log c
c
 
  
 
 
III. 
a alog b log b
    
IV. aa
1
log b log b  

 
V. c
a
c
log b
log b
log a
 (mudança de base) 
 
Análise gráfica 
 
 
Inequações ou desigualdades 
 
b c
a a
a 1 b ca a
se
0 a 1 b clog b log c
    
 
    
 
 
Comentários finais 
 
I. base decimal (a = 10) 
10log b logb 
 
II. base neperiano (a = e) 
 
 
III. cologaritmo 
a acolog b log b  
 
IV. Antilogaritmo 
a ay log x x antilog y   
 
 
 
 
 
elog b lnb
 
13 
 
TESTES DE NIVELAMENTO 
 
 
22. (EEAR-SP) O valor real que satisfaz a equação x x4 2 2 0   é um número 
a) entre -2 e 2 
b) entre 2 e 4 
c) maior que 4 
d) menor que 2 
 
23. (EEAR-SP) Na função  
x 2
xf x 27 ,

 tal que x 0, o valor de x para que   6f x 3 , é um 
número 
a) divisível por 2 
b) divisível por 3 
c) divisível por 5 
d) divisível por 7 
 
24. (EEAR-SP) Se log2 0,3 e log36 1,6, então log3 ___. 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,6 
d) 0,7 
 
25. (EEAR-SP) A desigualdade 
3x 5 x
1 1
2 4

   
   
   
tem como conjunto solução 
a)  S x / x 1   
b)  S x / x 5   
c)  S x / x 5   
d)  S x /1 x 5    
 
26. (EEAR-SP) As funções logarítmicas    0,4 4f x log x e g x log x  seja 3 são, respectiva-
mente 
a) crescente e crescente 
b) crescente e decrescente 
c) decrescente e crescente 
d) decrescente e decrescente 
 
27. (EEAR-SP) O conjunto solução da inequação 2x 1 x 2
5
2 2 2
4
    é 
a) 
1
S x / x 2
2
 
     
 
 
b)  S x / 1 x 1     
c)  S x / 0 x 1   
 d)  S x / x 1   
 
 
 
14 
 
28. (EEAR-SP) O valor de x na equação  1 27
3
log log 3x 1 é 
a) 1 
b) 3 
c) 9 
d) 27 
 
29. (EEAR-SP) Se a 0, b 0, c 0 e c 1,    então é correto afirmar que 
a)      c c clog a b log a log b   
b)      c c clog a b log a log b   
c)      c c clog a b log a log b  
 d)      c c clog a b log a log b   
 
30. (EEAR-SP) Se   xf x a b 
 
é uma função tal que    
4
f 0 e f 1 1,
3
   então o valor de “a” 
é 
a) 1 
b) 2 
c) 1/2 
d) 3/2 
 
31. (EEAR-SP) Se  f x logx e a b 1,   então    f a f b é igual a 
a) 0 
b) 1 
c) 10 
d) 100 
 
32. (EEAR-SP) Para que exista a função    f x log x m ,  é necessário que x seja 
a) maior que m 
b) menor que m 
c) maior ou igual a m 
d) menor ou igual a m 
 
33. (EEAR-SP) No conjunto dos números reais, a equação  
x
x 83 9 tem por raízes 
a) um número positivo e um negativo 
b) um número negativo e o zero 
c) dois números negativos 
d) dois números positivos 
 
34. (EEAR-SP) Dada a função 
*f :

 definida por   2f x 5 log x,  o valor de    f 1 f 2 é 
a) 3 
b) 5 
c) 6 
d) 10 
 
 
 
15 
 
35. (EEAR-SP) A razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, numa mesma base b, sendo 
0 b 1, é  
a) 1/4 
b) 1/2 
c) 4 
d) 2 
 
36. (EEAR-SP) Considerando n 1, se alog n n, então o valor de a é 
a) n 
b) nn 
c) 
1
n
 
d) 
1
nn 
 
37. (EEAR-SP) Se x e y são números reais positivos, 2
1
colog x
32
 , e ylog 256 4, então x + y 
é igual a 
a) 2 
b) 4 
c) 7 
d) 9 
 
38. (EEAR-SP) Sejam x, y e b números reais maiores que 1. Se b blog x 2 e log y 3,  então o 
valor de  3 3blog x y é 
a) 15 
b) 11 
c) 10 
d) 8 
 
39. (EEAR-SP) Se x é a raiz da equação 
x
2
2,25,
3
 
 
 
 então o valor de x é 
a) 5 
b) 3 
c) -2 
d) -4 
 
40. (EEAR-SP) A raiz real da equação x x25 24 5 25   é um número múltiplo de 
a) 7 
b) 5 
c) 3 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
16 
 
41. (EEAR-SP) Estudando um grupo de crianças de uma determinada cidade, um pediatra 
concluiu que suas estaturas variavam segundo a fórmula  0,7h log 10 i , onde h é a altura (em 
metros), e i é a idade (em anos). Assim, segundo a fórmula, a estatura de uma criança de 10 
anos dessa cidade é, em m, 
a) 1,20 
b) 1,18 
c) 1,17 
d) 1,15 
 
42. (EEAR-SP) Sendo a 0 e a 1,  o conjunto solução da equação 
 2a alog x 3x 2 log 1010 6
 
 , está 
contida no conjunto 
a)  1,2,3,4 
b)  4, 3, 2, 1,0,1    
c)  1,0,1,2,3,4 
d)  0,1,2,3,4 
 
43. (EEAR-SP) Sejam as funções f, g, h e t definidas, respectivamente, por 
   
x
x2f x , g x ,
3

 
   
 
     
x
x 10
h x 2 e t x .
3
  
    
 
Dessas quatro funções, é(são) decres-
cente(s) 
a) todas 
b) somente três 
c) somente duas 
d) somente uma 
 
44. (EEAR-SP) Se log8 a, então 3log 2 vale 
a) a / 2 
b) a / 4 
c) a / 9 
d) a / 6 
 
45. (EEAR-SP) O logaritmo de 8 é 
3
4
, se a base do logaritmo for igual 
a) 4 
b) 8 
c) 16 
d) 64 
 
46. (EEAR-SP) O menor número inteiro que satisfaz a inequação  2log 3x 5 3  é um número 
a) par negativo 
b) par positivo 
c) ímpar negativo 
d) ímpar positivo 
 
 
17 
 
47. (EEAR-SP) Se log2,36 0,3729, então antilog3,3729 é 
a) 236 
b) 23,6 
c) 2360 
d) 23600 
 
48. (EEAR-SP) A soma dos valores de x que verificam a equação 2x x5 7,5 10 0 é   
a) log10 
b) 5log 10 
c) 2 5log 5 log 2 
d) 2 2log 2 log 5 
 
49. (EEAR-SP) Se 3 7log 2 a e log 3 b,  então 3log 14 ___ 
a) 
b 1
a

 
b) 
a 1
b

 
c) 
ab 1
b

 
d) 
ab 1
a

 
 
50. (EEAR-SP) Se x e y são números reais positivos e 3 4 4 3log log x log log y 0,  então x e y 
a) são iguais 
b) são inversos 
c) são consecutivos 
d) diferem de 2 unidades 
 
51. (EEAR-SP) Se o logaritmo de um número na base n é 4 e na base n/2 é 8, então esse nú-
mero está no intervalo 
a)  5,8 
b)  2,4 
c)  3,5 
d)  5,8 
 
52. (EEAR-SP) Se x 9 x/28 16 ,  então x é um número múltiplo de 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
53. (EEAR-SP) Na figura abaixo, a curva representa o gráfico da função y logx, para x 0. 
Assim, a soma das áreas das regiões hachuradas é igual a 
 
 
a) log2 
b) log3 
c) log4 
d) log6 
 
54. (EEAR-SP) Sejam m, n e b números reais positivos, com b 1. Se blog m x e se 
blog n y, então  
 
   
 
b b
n
log m n log
m
 é igual a 
a) x 
b) 2y 
c) x + y 
d) 2x – y 
 
55. (EEAR-SP) Considere que o número de células de um embrião, contadas diariamente 
desde o dia da fecundação do óvulo até o 30° dia de gestação, forma a sequência: 1, 2, 4, 8, 
16... A função que mostra o número de células, conforme o número de dias x, é f: {x  IN; 
 1 x 30}  IN; f ( x) = 
a) x 12 
b) 2x 1 
c) x2 1 
d) 2x 1 
 
56. (EEAR-SP) Sabe-se que 
 
 
 
x
x2 4 .
3
 Dessa forma, x + 2 é igual a 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
 
 
 
 
19 
 
57. (EEAR-SP) A população de uma determinada bactéria cresce segundo a expressão 
    xP x 30 2 , em que x representa o tempo em horas. Para que a população atinja 480 bacté-
rias, será necessário um tempo igual a _____ minutos. 
a) 120 
b) 240 
c) 360 
d) 400 
 
58. (EEAR-SP) O valor de 
 
  
 
3 3
4
64
log 1 log
27
 é 
a) 3/4 
b) 9/4 
c) 0 
d) -320 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
TRIGONOMETRIA 
 
I. Razões trigonométricas 
 
 
II. Redução de quadrante 
 
 
Ângulos notáveis 
 30° 45° 60° 
sen 
1
2
 2
2
 
3
2
 
cos 
3
2
 
2
2
 
1
2
 
tg 
3
3
 1 3 
 
22 
 
III. Fórmulas de soma 
  sen a b sena cosb senb cosa     
  cos a b cosa cosb sena senb    
  
tga tgb
tg a b
1 tga tgb

 

 
 
IV. Fórmulas de multiplicação 
 sen2a 2sena cosa  
 2 2cos2a cos a sen a  
 
2
2tga
tg2a
1 tg a


 
 
V. Fórmula da divisão 
 
a 1 cosa
sen
2 2

  
 
a 1 cosa
cos
2 2

  
 
a 1 cosa
tg
2 1 cosa

 

 
 
VI. Fórmulas de Werner 
 
p q p q
senp senq 2sen cos
2 2

   
 
p q p q
cosp cosq 2cos cos
2 2
 
   
 
p q p q
cosp cosq 2sen sen
2 2
 
    
 
 sen p q
tgp tgq
cosp cosq

 

 
 
VII. Equações fundamentais 
 
2k
sen sen ou
2k
    

  
     
 
 cos cos 2k      
 tg tg k      
 
VIII. Paridade 
  cos x cosx função par   
  sec x sec x função par   
  sen x senx função ímpar    
  cossec x cossec x função ímpar    
  tg x tgx função ímpar    
  cotg x cotgx função ímpar    
 
23 
 
TESTES DE NIVELAMENTO 
 
 
59.(EEAR-SP)Seja ABC um triângulo retângulo em B, tal que AC = 12 cm. Se D é um ponto de 
AB , tal que ˆBDC 45  , então CD = _______ cm. 
 
 
a) 3 
b) 6 
c) 3 2 
d) 6 2 
 
60.(EEAR-SP)Se
3
cos e
2
    é um arco cuja extremidade pertence ao 2° quadrante, então 
 pode ser ___ rad.
6

 
a) 7 
b) 17 
c) 27 
d) 37 
 
61.(EEAR-SP)Simplificando a expressão sen (2 – x) + sen (3 + x), obtém-se 
a) sen x 
b) – sen x 
c) 2 sen x 
d) –2 sen x 
 
62.(EEAR-SP)Gabriel verificou que a medida de um ângulo é 
3
10

rad. Essa medida é igual a 
a) 48° 
b) 54° 
c) 66° 
d) 72° 
 
63.(EEAR-SP)O valor de sen 1270° é igual a 
a) – cos 10° 
b) – sen 30° 
c) – sen 10° 
d) – cos 30° 
 
 
 
 
 
24 
 
64.(EEAR-SP)No intervalo [0, ], a soma das raízes da equação 2 23cos x 7sen x 2 0   é igual 
a 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d)  
 
65.(EEAR-SP)Ao somar as medidas angulares 120° e 
3
2

rad, obtém-se a medida de um arco 
pertencente ao ___ quadrante. 
a) 1° 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
 
66.(EEAR-SP)Seja 
cossec x sec x
M
cotgx 1



, com x  
k
2

, k  . Utilizando-se as identidades tri-
gonométricas, pode-se considerar M igual a 
a) sen x 
b) cos x 
c) sec x 
d) cossec x 
 
67.(EEAR-SP)O valor de cos 735º é 
a) 
1
4
 
b) 
3
4
 
c) 
2 6
4

 
d) 
2 6
8

 
 
68.(EEAR-SP)O valor correspondente ao cos 15º é 
a) 
2 6
4

 
b) 
2 3
2

 
c) 
3
4
 
d) 1 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
69.(EEAR-SP)Uma escada é apoiada em uma parede perpendicular ao solo, que por sua vez é 
plano. A base da escada, ou seja, seu contato com o chão, dista 10m da parede. O apoio des-
sa escada com a parede está a uma altura de 10 3 m do solo. Isto posto, o ângulo entre a es-
cada e o solo é de 
a) 60º 
b) 45º 
c) 30º 
d) 15º 
 
70.(EEAR-SP)No ciclo trigonométrico os valores de x, tais que 
1
cosx ,
2
 são 
a) 
5
{x x }
3 3
 
   
b) 
5
{x x }
3 3
 
   
c) 
11
{x x }
6 6
 
   
d) 
7
{x 0 x ,ou x 2 }
6 6
 
      
71.(EEAR-SP)Em um triângulo ABC, retângulo em C, a razão 
^
^
senB
senA
 é igual a 
a) 
AC
BC
 
b) 
AB
AC
 
c) 1 
d) 2 
 
72.(EEAR-SP)Se 
4
sen .cos
13
   e 
36
sen .cos
65
   , então sen( ) é igual a 
a) 
56
65
 
b) 
40
65
 
c) 
13
36
 
d) 
13
56
 
 
73.(EEAR-SP)Ao simplificar a expressão (1 + cos x)(1 – cos x), tem-se 
a) 2 
b) 2sen x 
c) 2cos x 
d) 2 + 2cos x 
 
 
26 
 
74.(EEAR-SP)Se x é um arco do terceiro quadrante tal que 
2
tgx
3
 , o valor de senx é 
a) 
13
13
 
b) 
13
13

 
c) 
2 13
13

 
d) 
3 13
13

 
 
75.(EEAR-SP)Dados sen a = x, cos a = y, sen b = z e cos b = w, então 
sen (a + b) é igual a 
a) xw + yz. 
b) xz + yw. 
c) xy – wz. 
d) xw – yz. 
 
76.(EEAR-SP)Se sen x = 
3
2
 e 0 ≤ x < 2, então a soma dos valores possíveis para x é 
a) 
2

 
b)  
c) 
3
2

 
d) 2 
 
77.(EEAR-SP)Ao expressar 
16
9

 rad em graus, obtém-se 
a) 170°. 
b) 220°. 
c) 280°. 
d) 320°. 
 
78.(EEAR-SP)Sejam 
3 4 a
senx ,cosx esen2x .
5 5 b
   Se 
a
b
 é uma fração irredutível, então 
b – a é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
79.(EEAR-SP)Sendo tg x = 
1
t
 e sen x = u, uma maneira de expressar o valor de cos x é 
a) t . 
b) 
u
t
 
c) u.t . 
d) u + t . 
 
80.(EEAR-SP)Um arco de circunferência de 
5
6

 rad pode ser dividido em _____ arcos de 30°. 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
81.(EEAR-SP)Se a e b são arcos do 2º quadrante tais que 
2
sena
2
 e 
1
cosb
2
 , então 
sen (a + b) é 
 
a) 
2( 3 2)
4
 
 
b) 
2(1 3)
4
 
 
c) 
3( 2 1)
4

 
d) 
3(3 2)
4

 
 
82.(EEAR-SP)Se sen x + cos 2x = 1, então um dos valores de sen x é 
 
a) 1 
b) 
1
2
 
c) 
2
2
 
d) 
3
3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
83.(EEAR-SP)Seja x = 150°. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das senten-
ças, a seguir assinale a alternativa que apresenta o número de sentenças verdadeiras. 
I) 
3
cosx
2
 
II) sen2x 0 
III) 
x
tg 0
2
 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
 
84.(EEAR-SP)Se x e y são arcos do 1º quadrante, sen x =
3
2
 e cos y = 
2
2
, então o valor de 
cos(x+y) é igual a 
 
a) 
2 6
2

 
b) 
3 6
4

 
c) 
2 6
4

 
d) 
3 6
2

 
 
85.(EEAR-SP)Considere as igualdades: 
I- tg 10° = tg (– 10°) 
II- tg 770° = – tg 50° 
III- sen 250° = sen 20° 
IV- sen 460° = sen 100° 
O número de igualdades verdadeiras é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
 
86.(EEAR-SP)Sejam a e b arcos do primeiro quadrante. Se a + b = 90°, então cos (a – b), em 
função de b, é igual a 
a) sen 2b. 
b) cos 2b. 
c) 
sen2b
2
 
d) 
cos2b
2
 
 
 
 
 
29 
 
87.(EEAR-SP)Simplificando-se a expressão 
tgx cotgx
cossec x

, obtém-se 
a) cossec x 
b) cos x 
c) sec x 
d) tg x 
 
88.(EEAR-SP)O valor da expressão 
tgx
cossec x 1
, para 0 < x < 
2

 e sen x = 
1
3
, é 
a) 
1
4
 
b) 
1
2
 
c) 
2
3
 
d) 
2
8
 
89.(EEAR-SP)Se 0 <  < 
2

 e sen  = 
2
3
, então sen2 é igual a 
a) 
3
3
 
b) 
5
3
 
c) 
4 5
9
 
d) 
4 3
9
 
90.(EEAR-SP)Se 0 < x < 
2

, e 
sen x .cossec x
2 2
y
cos x .tg x
2 2
    
    
   
    
    
   
, então y é igual a 
a) tg x 
b) cos x 
c) sec x 
d) sen x 
 
91.(EEAR-SP)Se 0 < x < 
4

 e tg x + cotg x = 3, então sen 2x é igual a 
a) 
1
2
 
b) 
1
3
 
c) 
2
3
 
d) 
2
5
 
 
30 
 
92.(EEAR-SP)Se  < x < 
3
2

, então a maior raiz positiva da equação   2tgx 1 4sen x 3 0   
é 
a) 
4
3

 
b) 
5
4

 
c) 
7
6

 
d) 
7
4

 
 
93.(EEAR-SP)Dois ângulos medem 
2
rad
9

 e 
5
rad
18

. O menor deles, em graus, mede 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
d) 60 
 
94.(EEAR-SP)O conjunto imagem da função f(x) = 3 + 5sen x é 
 
a) [-2, 8] 
b) [3, 7] 
c) [-1, 5] 
d) [0, 4] 
 
95.(EEAR-SP)Seja x um arco do 1º quadrante. Se 
1
cosx
8
 , então 
x
tg
2
 
a) 
7
3
 
b) 
6
2
 
c) 
5
4
 
d) 
3
5
 
96.(EEAR-SP)Se x  1º quadrante e 
3
cosx
8
 , então 
x
cos
2
 
a) 
5
4
 
b) 
5
8
 
c) 
11
4
 
d) 
11
8
 
 
31 
 
97.(EEAR-SP)Sejam as medidas de arcos trigonométricos: 
I- 
17
rad
8

 e 
41
rad
8

 
II- 1490º e -1030º 
É correto afirmar que as medidas 
a) em I são de arcos côngruos 
b) em I são de arcos suplementares 
c) em II são de arcos côngruos 
d) em II são de arcos complementares 
 
98.(EEAR-SP)Seja sen a . cos a  0. Simplificando-se a expressão 
sena cosa sena cosa
sena cosa
 
 , 
obtém-se 
a) 
1
sen2a
 
b) 
1
cos2a
 
c) 
2
sen2a
 
d) 
2
cos2a
 
 
99.(EEAR-SP)Sendo sen  = 
3
5
 e 0 <  < 
2

, o valor de tg
4
 
 
 
 é 
a) 1 
b) 7 
c) 
1
7
 
d) 
7
16
 
100.(EEAR-SP)Seja x um arco do 1º quadrante. Se cossec x = 
5
2
, então o cos2x é 
a) 
4
25
 
b) 
33
25
 
c)21
25
 
d) 
17
25
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
101.(EEAR-SP)O sen 
122
9

 é igual ao 
a) sen 
5
9

 
b) sen 
4
9

 
c) – cos 
5
9

 
d) – sen 
4
9

 
102.(EEAR-SP) A solução da inequação 
1
2
 < cos x < 1, no intervalo 0 x 2   , é dada por “x” 
real, tal que 
a) 
5
0 x ou x 2
3 3
  
     
 
 
b) 
5
0 x ou x 2
3 3
  
     
 
 
c) 
5
0 x ou x 2
3 3
  
     
 
 
d) 
5
0 x ou x 2
3 3
  
     
 
 
103.(EEAR-SP) Se  é um ângulo tal que 0 <  < 
2

 e o dobro do seu seno é igual ao triplo do 
quadrado da sua tangente, então o valor do seu cosseno é 
a) 
3
3
 
b) 
3
2
 
c) 
2
2
 
d) 
2
3
 
 
104.(EEAR-SP) Num triângulo ABC retângulo em A, o cateto AC mede 1,5 cm e a altura traça-
da sobre a hipotenusa determina o segmento HB que mede 1,6 cm. O valor da secante do ân-
gulo interno C é 
a) 
4
3
 
b) 
5
4
 
c) 
4
5
 
d) 
5
3
 
 
33 
 
105.(EEAR-SP) Se 0º x 90º  e se 
3
sen4x
2
  , um dos possíveis valores de x é 
a) 30º 
b) 45° 
c) 75º 
d) 85º 
 
106.(EEAR-SP)O valor de sen(a + b) – sen(a – b) é igual a 
a) sen2a 
b) cos2a 
c) 2.senb.cosa 
d) 2.sena.cosb 
 
107.(EEAR-SP) As funções f(x) = senx e g(x) = cosx, no segundo quadrante, são, respectiva-
mente, 
a) decrescente e decrescente 
b) decrescente e crescente 
c) crescente e decrescente 
d) crescente e crescente 
 
108.(EEAR-SP) São negativas, no 4º quadrante, as funções 
a) seno, cosseno e tangente 
b) seno, cosseno e cotangente 
c) cosseno, tangente e secante 
d) seno, tangente e cossecante 
 
109.(EEAR-SP)O domínio da função f(x) 3tg x
4
 
  
 
 é 
a) x / x k ,k
2
 
     
 
 
b) x / x k ,k
4
 
     
 
 
c) x / x 2k ,k
2
 
     
 
 
d) x / x 2k ,k
4
 
     
 
 
 
110.(EEAR-SP) O quadrante em que as funções seno, cosseno e tangente são, simultanea-
mente, crescentes é o 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
 
 
 
 
 
34 
 
111.(EEAR-SP) A solução real da inequação 
1 2
senx
2 2
  , no intervalo 0 x 2   , é 
a) 
3 5
, ,
6 4 4 6
      
   
   
 
b) 
3 5
, ,
6 4 4 6
      
   
   
 
c) 
3 5
, ,
6 4 4 6
      
   
   
 
d) 
3 5
, ,
6 4 4 6
      
   
   
 
 
112.(EEAR-SP) Se tg = 
1
3
, então tg2 é 
a) 
1
3
 
b) 
2
3
 
c) 
3
8
 
d) 
3
4
 
 
 
 
35 
 
COMPLEXOS 
 
I. Forma algébrica 
 
z x y.i  
 x e y 
 
 
    

   
x : parte real Re z
y : parte imaginária Im z
 
i 1  : unidade imaginária 
 
Notas: 
 Número complexo: 
 real    Im z 0 
 
 imaginário puro  
 
 


Re z 0
Im z 0
 
 imaginário  
 
 


Re z 0
Im z 0
 
 
II. Potências de i 
0
1
2
3
4
i 1
i i
i 1
i i
i 1


 
 
 
n ri i
Onde r é o resto da divisão de n por 4

 
 
III. Identidade 
1 1 1 1 2
1 2
2 2 2 1 2
z x y .i x x
z z
z x y .i y y
   
   
   
 
 
IV. Plano de Argand-Gauss 
 
 
: argumento principal 
 
 
 
 
 
36 
 
V. Módulo de Z 
 
2 2z x y  
 
VI. Forma trigonométrica 
 
 z z cos i.sen   
ou 
z z cis  
 
VII. Forma exponencial 
 
iz z e  
 
VIII. Conjugado de um complexo 
 
z x y.i   z x y.i  
 
IX. Propriedades de módulo 
o z z 
o z.w z . w 
o 
zz
w w
 
 
X. Propriedades de conjugado 
 
o  z z 2Re z  
o 
2
z.z z 
o 
1 2 1 2z z z z   
o 
1 2 1 2z z z z   
 
XI. Potenciação de complexos 
 
nnz z cisn  n 
 
XII. Radiciação de complexos 
 
n n
2k
z z cis
n
   
  
 
k

 
Nota: 
Os n afixos da 
n z pertencem a uma mesma circunferência de centro (0,0) e raio R = n z . 
Sendo que para n > 2 os afixos correspondem aos vértices de um polígono regular inscrito 
nessa circunferência. 
o 
nnz z 
o z w z w  
 
 
o 1 1
2 2
z z
z z
 
 
 
 
o 
1 2 1 2z .z z .z 
o  
nnz z 
 
 
37 
 
TESTES DE NIVELAMENTO 
 
 
113.(EEAR-SP)Sejam Z1 = 3 + 3i, Q e R as respectivas representações, no plano de Argand-
Gauss, dos números complexos Z2 e Z3. Assim, é correto afirmar que Z1 = 
 
 
a) Z2 - Z3 
b) Z2 + Z3 
c) –Z2 + Z3 
d) –Z2 - Z3 
 
114.(EEAR-SP) Se i é a unidade imaginária dos números complexos, o valor de i15 + i17 é 
a) - i 
b) - 1 
c) 0 
d) 1 
 
115.(EEAR-SP) Sejam os números complexos 
1Z = 1 – i, 2Z = 3 + 5i e 3Z = 1Z + 2Z . O módu-
lo de 
3Z é igual a 
a) 2 2 
b) 4 2 
c) 2 3 
d) 4 3 
 
116.(EEAR-SP) Considere 
1Z = (2 + x) + (x
2 – 1)i e 
2Z = (m – 1) + (m
2 – 9)i. Se 
1Z é um número 
imaginário puro e 
2Z é um número real, é correto afirmar que x + m pode ser igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
117.(EEAR-SP) Se i é a unidade imaginária, então 2i3 + 3i2 + 3i + 2 é um número complexo que 
pode ser representado no plano de Argand-Gauss no ___________ quadrante. 
a) primeiro 
b) segundo 
c) terceiro 
d) quarto 
 
 
38 
 
118.(EEAR-SP) Sabe-se que os números complexos    1Z 2m 3 m 3n 5 i      e 
   22Z 2m 12 4 n 1 i      são iguais. Então, os valores de m e n são, respectivamente 
a) 3 e 1 
b) 2 e 1 
c) 2 e - 1 
d) 3 e - 1 
 
119.(EEAR-SP) Sejam 
1Z e 2Z dois números complexos. Sabe-se que o produto de 1Z e 2Z é 
– 10 + 10i. Se 
1Z = 1 + 2i, então o valor de 2Z é igual a 
a) 5 + 6i 
b) 2 + 6i 
c) 2 + 15i 
d) -6 + +i 
 
120.(EEAR-SP) Seja  Z 3 cos20º i.sen20º  um número complexo na forma trigonométrica. 
Assim, 2Z é igual a 
a)  3 cos20º i.sen20º 
b)  3 cos40º i.sen40º 
c)  2 3 cos20º i.sen20º 
d)  2 3 cos40º i.sen40º 
 
121.(EEAR-SP) Se i é a unidade imaginária, pode-se afirmar que i7 é igual a 
a) i 
b) i2 
c) i3 
d) i4 
 
122.(EEAR-SP) Sejam ρ1 e ρ2, respectivamente, os módulos dos números complexos 
1Z = 1 + 2i e 2Z = 4 – 2i. Assim, ρ1 + ρ2 é igual a 
a) 5 
b) 5 
c) 2 5 
d) 3 5 
 
123.(EEAR-SP) Se Z = 3 + 2i é um número complexo, então Z2 é igual a 
a) 5 + 12i 
b) 9 + 12i 
c) 13 + 4i 
d) 9 + 4i 
 
124.(EEAR-SP) O módulo do número complexo Z = -1 + 3i é 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 10 
 
 
39 
 
125.(EEAR-SP)O número complexo Z = (a – 4) + (b – 5)i será um número imaginário puro se 
a) a = 4 e b = 5 
b) a = 4 e b  5 
c) a  4 e b = 5 
d) a  4 e b  5 
 
126.(EEAR-SP) Multiplicando-se o número complexo 2 – 3i pelo seu conjugado, obtém-se 
a) 0 
b) -1 
c) 11 
d) 13 
 
127.(EEAR-SP)O valor de i11- i21- i38 é 
a) 1 – 2i 
b) 2 - i 
c) - 2 
d) 1 
 
128.(EEAR-SP) Sejam dois números complexos 
1Z e 2Z . Se 1Z tem imagem P (4, -1) e 
2Z = -1 + 3i, então 1Z - 2Z é igual a 
a) 3 + 4i 
b) 1 – 5i 
c) 5 – 4i 
d) 2 + 2i 
 
129.(EEAR-SP) Se a forma algébrica de um número complexo é −1 + i, então sua forma trigo-
nométrica tem argumento igual a 
a) 
5
6

 
b) 
3
4

 
c) 
6

 
d) 
4

 
 
130.(EEAR-SP) Na figura, o ponto P representa um número complexo, cujo conjugado é 
 
 
a) – 3 + 4i 
b) – 4 + 3i 
c) 4 – 3i 
d) 3 – 4i 
 
40 
 
131.(EEAR-SP) Calculando i2053, obtém-se 
a) 1 
b) i 
c) – i 
d) – 1 
 
132.(EEAR-SP) A forma algébrica do número complexo Z = 
3 3 2i
3 i i 2


 
 é 
a) 0,1 – 3i 
b) 0,1 – 1,1i 
c) 1,7 + 11i 
d) 1 – 1,7i 
 
133.(EEAR-SP) O quadrante em que se representa, no plano de Argand-Gauss, o número 
complexo Z = 1 + i3 é o 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
 
134.(EEAR-SP) Sendo m – ni = i e mi – n = 1 + 3i, os números complexos “m” e “n” são tais, 
que sua soma é igual a 
a) 
1 3
i
2 2
  
b) 
1 3
i
2 2
  
c) 
1 3
i
2 2
 
d) 
1 3
i
2 2
 
 
135.(EEAR-SP) O produto Z . Z’, sendo Z = 
5 5
2 cos i.sen
4 4
  
 
 
 e Z’ = 
3 3
a cos i.sen
4 4
  
 
 
, 
pode ser expresso por 
 
a)  2a cos0 i.sen0 
b) 2a cos i.sen
2 2
  
 
 
 
c) a cos i.sen
2 2
  
 
 
 
d)  a cos2 i.sen2  
 
 
 
 
 
 
41 
 
136.(EEAR-SP)Se Z = 
5 5
2 cos i.sen
4 4
  
 
 
, então 7Z é igualao produto de 8 2 por 
a) cos i.sen
4 4
 
 
b) 
5 5
cos i.sen
4 4
 
 
c) 
7 7
cos i.sen
4 4
 
 
d) 
3 3
cos i.sen
4 4
 
 
 
137.(EEAR-SP) Sendo i a unidade imaginária, a potência    
3
2 2
1 i 1 i   
 
 é igual a 
a) 64 
b) – 64 
c) 64i 
d) – 64i 
 
138.(EEAR-SP) Seja M o afixo de um número complexo Z. A forma polar de Z é 
a) 
4 4
2 cos i.sen
3 3
  
 
 
. 
b) 
4 4
cos i.sen
3 3
 
 
c) 
7 7
2 cos i.sen
6 6
  
 
 
 
d) 
7 7
cos i.sen
6 6
 
 
 
139.(EEAR-SP) Sendo i a unidade imaginária, simplificando-se a expressão 
cosx i.senx
cosx i.senx


, ob-
tém-se 
a)  i cos2x sen2x 
b)  i cos2x sen2x 
c) cos2x i.sen2x 
d) cos2x i.sen2x 
 
140.(EEAR-SP)Um quadrado ABCD está inscrito num círculo com centro na origem do plano 
de Gauss. O vértice “A” é imagem do complexo 3 + 4i. Os afixos dos outros três vértices são os 
complexos: 
a) – 3 + 4i; - 3 - 4i; 3 - 4i 
b) – 4 + 3i; - 3 - 4i; 4 - 3i 
c) – 4 + 3i; - 3 - 4i; 3 - 4i 
d) – 3 + 4i; - 3 - 4i; 4 - 3i 
 
 
 
42 
 
141.(EEAR-SP) Seja Z um número complexo, cujo módulo é 2 e cujo argumento é 
3

. A forma 
algébrica do conjugado de Z é 
a) 1 3i 
b) 3 i 
c) 3 i 
d) 1 3i 
 
142.(EEAR-SP) Dado o número complexo Z = a + bi, se Z Z 10  , e Z Z 16i  , então a + b é 
a) -6 
b) -3 
c) 2 
d) 8 
 
143.(EEAR-SP) Seja Q a imagem geométrica de um número complexo. O argumento desse 
número é 
a) 
1
arc sen
3
 
b) 
2 2
arc sen
3
 
c) 
1
arccos
3
 
d) 
2 2
arccos
3
 
  
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
POLINÔMIOS 
 
I. Introdução 
Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: 
 
    
2
2 n
0 1 nP(x) a a x a x ... a x , onde 
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
0
n
a ,a ,a ,...,a :coeficientes
a ,a x,a x ,...,a x : termos
n
a : termo independente
a : coeficiente do termo de maior expoente









 
Atenção! 
o  0P(0) a 
o     
20 1 n
P(1) a a a ... a 
 
II. Definições 
Dizemos que o grau de um polinômio é dado pela ordem do maior expoente com coeficiente 
não nulo. 
 
Dois polinômios são idênticos quando todos os seus coeficientes correspondentes são 
iguais. 
 
Um polinômio é dito identicamente nulo quando e só quando todos seus coeficientes forem nu-
los. 
 
Dizemos que um número α é raiz do polinômio P(x) quando P(α) = 0. 
 
III. Raízes de um equação polinomial 
Número de raízes: para uma equação polinomial de grau n 1 temos n raízes 
complexas ou no máximo n raízes reais. 
 
Raízes complexas: se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raiz o nú-
mero complexo  z a bi b 0   , então essa equação também admite como raiz o número 
complexo z a bi  , conjugado de z. 
 
Raízes múltiplas: uma equação polinomial tem multiplicidade n quando apresenta n raízes 
iguais. 
 
IV. Operações com polinômios 
Soma e Multiplicação de Polinômios 
A soma e multiplicação de polinômios são feitas algebricamente como qualquer outra expres-
são numérica. 
 
Divisão de Polinômios 
 
P(x) D(x)
R(x) Q(x)
P(x) D(x).Q(x) R(x)
 
P(x) :Dividendo
D(x) :Divisor
Q(x) : Quociente
 
 
   

R x D X
R(x) :Resto
Grau Grau
 
 
44 
 
Atenção! 
Quando um polinômio é divisível por outro o resto é igual a zero. 
 
Divisão de Polinômios pelo método das chaves 
Veja o exemplo abaixo: 
Se a divisão do polinômio   3 2P x x px qx 3    por   2f x x x 1   for exata, quais os valo-
res de p e q? 
 
 
3x     2 2px qx 3 x x 1
 
  3x  2x x  x p 1 
   2p 1 x    q 1 x 3 
    
 
     
p 2 0 p 2
q p 0 p q 2
 
  p 1       2x p 1 x p 1 
 
 
   
R x 0
q p x p 2 
 
Teorema do resto 
O resto da divisão de P(x) por (x - a) é dado por P(a) 
 
R(x) = P(a) 
 
Teorema de D’ Alembert 
Um polinômio P(x) é divisível por (x - a) se, e somente se, a é raiz de P(x). 
 
De acordo com o teorema do resto, temos R(x) = P(a). Então: 
 
R(x) = 0  P(a) = 0 
 (divisão exata) (a é uma raiz de P(x)) 
 
Divisibilidade de Polinômios 
P(x) é divisível por Q(x) se todas as raízes de Q(x) forem também raízes de P(x). 
 
Algoritmo de Briot-Ruffini 
Geralmente é usado para baixar o grau de um polinômio, veja o exemplo abaixo: 
Quais as raízes do polinômio       4 3 2P x 2x x 3x x 1, sendo que o mesmo apresenta duas 
raízes iguais a -1. 
 
4º GRAU 2 1 1 -3 1 -1 
3º GRAU 2 -1 -2 1 0 -1 
2º GRAU 2 -3 1 0 
 
                
 
2
32
4
3 3 4 2 1
x 1
2x 3x 1 0 x
2 2 x 1/ 2
 
 
  
 
1
S 1, ,1
2
 
 
45 
 
V. Fatoração de D’ Alembert 
De forma geral, podemos fatorar o polinômio de raízes α1, α2, α3, ..., αn e coeficiente do termo 
de maior grau na da seguinte forma: 
 
    n 1 2 3 nP(x) a (x ).(x ).(x )...(x ) 
 
VI. Relações de Girard 
Aplicação: 
   
    

     

       

     
 
4 3 2
1A1 3A3 4A42A2
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 3 4 1 2 4 2 3 4
1 2 3 4
x 7x 5x 11x 1 0
7
x x x x 7
1
5
x x x x x x x x x x x x 5
1
11
x x x x x x x x x x x x 11
1
1
x x x x 1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
TESTES DE NIVELAMENTO 
 
 
144.(EEAR-SP)Seja a equação polinomial x3 + bx2 + cx + 18 = 0. Se -2 e 3 são suas raízes, 
sendo que a raiz 3 tem multiplicidade 2, o valor de “b” é 
a) 8 
b) 6 
c) -3 
d) -4 
 
145.(EEAR-SP)Sejam os polinômios 3 2A(x) x 2x x 4    , 3 2B(x) ax bx 4x 1    e 
P(x) A(x) B(x)  . Para que P(x) seja de grau 2, é necessário que 
a) a  1 e b = - 2 
b) a = 1 e b = - 2 
c) a = 1 e b  - 2 
d) a  1 e b  2 
 
146.(EEAR-SP)Ao dividir 3x3+8x2+3x+4 por x2+3x+2 obtém-se ____ com resto. 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
147.(EEAR-SP)Considere P(x) = 2x3+bx2+cx, tal que P(1) = -2 e P(2) = 6. Assim, os valores de 
b e c são, respectivamente, 
a) 1 e 2 
b) 1 e -2 
c) -1 e 3 
d) -1 e -3 
 
148.(EEAR-SP)Dado o polinômio: ax3 + (2a + b)x2 + cx + d – 4 = 0, os valores de a e b para 
que ele seja um polinômio de 2º grau são 
a) a = 0 e b = 0 
b) a = 1 e b  0 
c) a = 0 e b  0 
d) a = -1 e b = 0 
 
149.(EEAR-SP)Dada a equação 3x3 + 2x2 – x + 3 = 0 e sabendo que a, b e c são raízes dessa 
equação, o valor do produto a.b.c é 
a) 1 
b) -1 
c) 
1
3
 
d) 
1
3
 
 
 
 
 
 
47 
 
150.(EEAR-SP)Seja a equação x3 – 5x2 + 7x – 3 = 0. Usando as relações de Girard, pode-se 
encontrar como soma das raízes o valor 
a) 12 
b) 7 
c) 5 
d) 2 
151.(EEAR-SP)A equação (x2 + 3)(x – 2)(x + 1) = 0 tem ____ raízes reais. 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
 
152.(EEAR-SP)Seja a equação polinomial 2x3 + 4x2 – 2x + 4 = 0. Se S e P são, respectivamen-
te, a soma e o produto de suas raízes, então 
a) S = P 
b) S = 2P 
c) S = 2 e P = -4 
d) S = -2 e P = 4 
 
153.(EEAR-SP)Seja r a maior raiz da equação x(x + 2)(x - 1)3 = 0. Se m é a multiplicidade de r, 
então r.m é igual a 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
154.(EEAR-SP)Se o polinômio P(x) = ax3 – 3x2 – bx – 3 é divisível por (x – 3)(x + 1), então o 
valor de a + b é 
a) 10 
b) 8 
c) 7 
d) 5 
 
155.(EEAR-SP)Se a maior das raízes da equação x3 – 6x2 + 11x - 6 = 0 é igual a soma das 
outras duas, então seu valor é divisor de 
a) 10 
b) 16 
c) 18 
d) 20 
 
156.(EEAR-SP)Seja A = {-2, -1, 1, 2} o conjunto formado pelas raízes de um polinômio P(x) do 
4º grau. Se o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 1, então o termo independente é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
157.(EEAR-SP)O resto da divisão de kx2 + x – 1 por x + 2k é 
a) k - 1 
b) - 2k - 1 
c) k3 - k - 1 
d) 4k3 - 2k – 1 
 
48 
 
158.(EEAR-SP)Se 3, 5 e -2, são raízes da equação 4(x – a)(x – b)(x – 5) = 0, o valor de a + b é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
159.(EEAR-SP)Ao dividir x5 – 3x4 + 2x2 + x + 5 por x – 3, obtém-se um quociente cuja soma 
dos coeficientes é 
a) 4b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
160.(EEAR-SP)Se f(x) = mx2 + (2m – 1)x + (m – 2) possui um zero real duplo, então o valor de 
m é 
a) 
1
4
 
b) 
3
5
 
c) 4 
d) 5 
 
161.(EEAR-SP)Se (x + b)2 – (x – a)(x + a)  2x + 17, sendo a e b números reais positivos, en-
tão o valor de a + b é 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
 
162.(EEAR-SP)Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes números 
3 + i, 7 e 2 – 3i. Essa equação tem, no mínimo, grau 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
163.(EEAR-SP)O polinômio (m – n – 3)x2 + (m + n – 5)x = 0 será identicamente nulo, se o valor 
de m2 – n2 for 
a) - 12 
b) - 5 
c) 10 
d) 15 
 
164.(EEAR-SP)Se 3 e – 3 são duas das raízes da equação x4 – 5x2 – 36 = 0, as outras raízes 
são 
a) 3i e 2i 
b) 2i e -2i 
c) –i e -3i 
d) 3i e -3i 
 
 
49 
 
165.(EEAR-SP)A equação, cujas raízes são 2 , 2 , 5 e 5 , é x
4 + ax2 + b = 0. O 
valor de a b é 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
166.(EEAR-SP)Sejam os polinômios A(x) = a(x2 + x + 1) + (bx + c)(x + 1) e B(x) = x2 – 2x + 1. 
Se A(x)  B(x), então a + b – c = 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 
167.(EEAR-SP)Para que o polinômio P(x) = 2x4 + x3 - 6x2 + x +  tenha como raiz dupla o nú-
mero 1, os valores de  e  devem ser, respectivamente, 
a) 1 e 2 
b) 2 e 1 
c) -2 e 1 
d) 1 e -2 
 
168.(EEAR-SP)O resto da divisão de kx2 + x + 1 por x – k é 
a) k2 + 1 
b) k2 + k + 1 
c) k3 + k2 + 1 
d) k3 + k + 1 
 
169.(EEAR-SP)Se o polinômio x3 – 9x2 + 14x + 24 tem uma raiz igual a 6, decompondo-o em 
fatores, obtém-se 
a) (x – 6)(x – 4)(x + 1) 
b) (x + 6)(x – 4)(x + 1) 
c) (x – 6)(x + 4)(x – 1) 
d) (x + 6)(x + 4)(x – 1) 
 
170.(EEAR-SP)Um dos zeros do polinômio P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x é uma fração imprópria cujo 
módulo da diferença entre seus termos é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
171.(EEAR-SP)Uma das raízes da equação 2x3 + x2 – 7x – 6 = 0 é x1 = 2. Pode-se afirmar que: 
a) as outras raízes são números imaginários puros 
b) as outras raízes são -3 e -2 
c) só uma das outras raízes é real 
d) as outras raízes estão entre -2 e 0 
 
 
 
 
 
50 
 
172.(EEAR-SP)A equação x3 – 10x2 – 2x + 20 = 0 tem como raízes a, b e c. Então, o valor da 
expressão a2bc + ab2c + abc2 é 
a) 100 
b) 250 
c) -200 
d) -400 
 
173.(EEAR-SP)É verdadeira a afirmação: 
A equação x8 – 13x4 + 36 = 0 
a) admite 4 raízes reais irracionais 
b) admite 4 raízes reais racionais positivas 
c) não admite raízes reais 
d) admite 4 raízes reais inteiras 
 
174.(EEAR-SP) Se os números 2, 5, 1 + i e 3 – 5i são raízes de uma equação polinomial de 
grau 6, a soma das outras duas raízes dessa equação é 
a) 4 + 4i 
b) 4 + 3i 
c) 3 + 4i 
d) 3 + 3i 
 
175.(EEAR-SP) Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números 
3 + i, 7 e 2 – 3i. Essa equação tem, no mínimo, grau 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
176.(EEAR-SP) Se 3 e -3 são duas das raízes da equação x4 – 5x2 – 36 = 0 
a) 3i e 2i 
b) 2i e -2i 
c) -i e -3i 
d) 3i e -3i 
 
177.(EEAR-SP) A parte real das raízes complexas da equação x2 – 4x + 13 = 0, é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
178.(EEAR-SP) A equação x2 – 4x + 5 = 0, no campo complexo, tem como conjunto verdade 
a) {2 – i, 2 + i} 
b) {2 – 2i, 2 + 2i} 
c) {1 – i, 1 + i} 
d) {4 – i, 4 + i} 
 
179.(EEAR-SP) Uma das raízes da equação 2x3 + x2 – 7x – 6 = 0 é x1 = 2. Pode-se afirmar 
que: 
a) as outras raízes são números imaginários puros 
b) as outras raízes são -3 e -2 
c) só uma das outras raízes é real 
d) as outras raízes estão entre -2 e 0 
 
51 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO 
 
I. Distância entre dois pontos 
A distância entra dos pontos    1 1 1 2 2 2A x ,y e A x ,y é dada por: 
 
 
 
       
1 2
2 2
A ,Ad x y 
 
II. Coordenadas do ponto médio 
As coordenadas do ponto médio M entre os postos coordenados  1 1 1A x ,y , e  2 2 2A x ,y são: 
 
 
 
 
  
 
 
1 2 1 2x x y yM ,
2 2
 
 
III. Coordenadas do baricentro 
Sendo  1 1 1A x ,y ,  2 2 2A x ,y e  3 3 3A x ,y os vértices de um triângulo. Então as coordenadas do 
baricentro B deste triângulo são: 
 
 
 
    
 
 
1 2 3 1 2 3x x x y y yB ,
3 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
IV. Condição de alinhamento de pontos 
A condição para que os postos coordenados  1 1 1A x ,y ,  2 2 2A x ,y e  3 3 3A x ,y estejam ali-
nhados é que: 
 
 
 
1 2 n
1 2 n
x x x
0
y y x
  
  
  
 
 
V. Área de um polígono 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Equação de uma reta 
Equação geral 
  ax by c 0 
 
Retas concorrentes r x s 
 
 
 
 
 
 
Retas paralelas r // s ou r  s =  
 
 
 
 
 
 
 
Retas coincidentes r = s 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
3 41 2 1
3 41 2 1
1
A , pela regra de cadarço temos :
2
x xx x x
y yy y y
 
 
 
A 
 1 1x ,y 
 2 2x ,y 
 3 3x ,y 
 4 4x ,y 
1 1 1r : a x b y c 0   
2 2 2s : a x b y c 0   
1 1
2 2
a b
a b
 
1 1 1r : a x b y c 0   
2 2 2s : a x b y c 0   
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
  
1 1 1r : a x b y c 0   
2 2 2s : a x b y c 0   
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
  
 
53 
 
Equação reduzida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação segmentária 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação fundamental 
Se uma reta r de coeficiente angular m passa polo ponto de coordenadas  0 0x ,y . Então, te-
mos: 
 
 
 
 
   0 0y y m x x 
 
Reta paralela 
Uma reta s é paralela a uma reta r se: 
 
 
 
 
r // s 
r sm m  
 
 
 
Reta normal 
Uma reta n é normal a uma reta r se: 
 
 
 
 
 
n rm m 1   
 
 
r 
y 
x 
n 
θ 
r 
y 
x 
n 
q 
 0 0P x ,y 
n r 
r 
 

 
y mx n
m tg
 
 
x y
1
q n
 
r 
s 
 
54 
 
VII. Distância entre ponto e reta 
A distância entre o ponto  0 0P x ,y e a reta r ax by c 0   é dada por: 
 
 
 
 
 
 


0 0
P,r
2 2
ax by c
d
a b
 
 
VIII. Distância entre duas retas 
A distância entre o ponto r de equação rax by c 0   e a reta s de equação sax by c 0   é 
dada por: 
 
 
 
 
 



r s
r,s
2 2
c c
d
a b
 
 
IX. Ângulo agudo entre retas 
O ângulo agudo θ formado por duas retas de coeficientes angulares mr e ms é determinado por: 
 
 
 

 
 
r s
s t
m m
tg
1 m m
 
 
Nota: 
O ângulo agudo θ formado por duas retas r de coeficiente angular mr e a reta s perpendicular 
ao eixo dos x é determinado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
P 
dP,r 
r 
s dr,s 
 
r
1
tg
m
 
 
55 
 
X. Equação de uma circunferência 
Equação reduzida e equação geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      
2 2 2
C Cx x y y R 
Equação reduzida 
 
      2 2 2 2 2C C C Cx y 2x x 2y y x y R 0 
Equação geral 
 
Atenção! 
Para uma circunferência de centro (0,0), temos que 2 2 2x y R  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x,y
 
 C CC x ,y 
y 
x 
R 
Cy 
Cx 
 
56 
 
TESTES DE NIVELAMENTO 
 
 
180.(EEAR-SP)Sejam r: y = 3x + 6 e s: y = - 4x -1 as equações de duas retas cuja interseção é 
o ponto A. A área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B(0, 0) e C(7/2, 0) é igual a 
a) 16 
b) 21 
c) 16/3 
d) 21/4 
 
181.(EEAR-SP) Considere os pontos A(2, 3) e B(4, 1) e a reta r: 3x + 4y = 0. Se dA,r e dB,r são, 
respectivamente, as distâncias de A e de B até a reta r, é correto afirmar que 
a) dA,r > dB,r 
b) dA,r < dB,r 
c) dA,r = dB,r 
d) dA,r = 2 dB,r 
 
182.(EEAR-SP) Para que os pontos A(x, 3), B(-2x, 0) e C(1, 1) sejam colineares, é necessário 
que x seja 
a) - 2 
b) - 1 
c) 2 
d) 3 
 
183.(EEAR-SP) Sejam A(-3, 3), B(3, 1), C(5, -3) e D(-1, -2) vértices de um quadrilátero conve-
xo. A medida de uma de suas diagonais é 
a) 15 
b) 13 
c) 12 
d) 10 
 
184.(EEAR-SP) Os pontos B, C e D dividem o segmento AE em 4 partes iguais, conforme a 
figura. Se A(2, 7) e E(6, 1), então a abscissa de B é 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
185.(EEAR-SP) Se A(x, y) pertence ao conjunto dos pontos do plano cartesiano que distam d 
do ponto C(x0, y0), sendo d>2, então 
a) (x – x0)
2 + (y – y0)
2 + d2 = 0 
b) (x – x0)
2 + (y – y0)
2 = d2 
c) (x – x0)
2 + (y – y0)
2 = 2d 
d) y – y0 = d(x – x0) 
 
186.(EEAR-SP) Seja aequação geral da reta ax + by + c = 0. Quando a = 0, b  0 e c  0, a 
reta 
a) passa pelo ponto (c, 0) 
b) passa pelo ponto (0, 0) 
c) é horizontal 
d) é vertical 
 
57 
 
187.(EEAR-SP) As retas de equações y + x – 4 = 0 e 2y = 2x – 6 são, entre si, 
a) paralelas 
b) coincidentes 
c) concorrentes e perpendiculares 
d) concorrentes e não perpendiculares 
 
188.(EEAR-SP) Seja (x – 1)2 + (y – 6)2 = 25 a equação reduzida de uma circunferência de cen-
tro C(a, b) e raio R. Assim, a + b + R é igual a 
a) 18 
b) 15 
c) 12 
d) 9 
 
189.(EEAR-SP) Se os pontos A(a, 2), B(b, 3) e C(-3, 0) estão alinhados, o valor de 3a – 2b é 
a) 3 
b) 5 
c) - 3 
d) - 5 
 
190.(EEAR-SP) As posições dos pontos A(1, 7) e B(7, 1) em relação à circunferência de equa-
ção (x – 6)2 + (y – 2)2 = 16 são, respectivamente, 
a) interna e interna 
b) interna e externa 
c) externa e interna 
d) externa e externa 
 
191.(EEAR-SP) O triângulo ABC formado pelos pontos A(7, 3), B(-4, 3) e C(-4, -2) é 
a) escaleno 
b) isósceles 
c) equiângulo 
d) obtusângulo 
 
192.(EEAR-SP) A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0, 1) e B(6, 8) é dada 
por 
a) y = 7x + 1 
b) y = 6x + 1 
c) 
7
y x 1
6
  
d) 
6
y x 1
7
  
 
193.(EEAR-SP) Considere os segmentos de retas AB e CD , onde A(0, 10), B(2, 12), C(-2, 3) 
e D(4, 3). O segmento MN , determinado pelos pontos médios dos segmentos AB e CD é da-
do pelos pontos M e N, pertencentes respectivamente a AB e a CD . Assinale a alternativa 
que correspondente corretamente a esses pontos. 
a) M(
1
2
, 1) e N(-1, 3) 
b) M(-2, 10) e N(-1, 3) 
c) M(1, -2) e N(1, 3) 
d) M(1, 11) e N(1, 3) 
 
58 
 
194.(EEAR-SP) Considere os pontos A(2, 8) e B(8, 0). A distância entre eles é de 
a) 14 
b) 3 2 
c) 3 7 
d) 10 
 
195.(EEAR-SP) O triângulo determinado pelos pontos A(-1, -3), B(2, 1) e C(4, 3) tem área igual 
a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 6 
 
196.(EEAR-SP) Dada a reta r: 2x – 3y + 5 = 0 e o ponto P(5, 6), a distância de P à reta r é 
a) 91 
b) 30 13 
c) 
3 91
91
 
d) 
3 13
13
 
 
197.(EEAR-SP) A reta s que passa por P(1, 6) e é perpendicular a r: y = 
2
x 3
3
 é 
a) 
3
y x
2
 
b) y = x + 5 
c) 
2 20
y x
3 3
   
d) 
3 15
y x
2 2
   
 
198.(EEAR-SP) Dada a reta DG , conforme ilustração abaixo, e, sabendo que a área do qua-
drado ABCD é igual a 9m2 e a área do quadrado BEFG é 25m2, a equação da reta DG é 
 
a) -2x -3y -9 = 0 
b) 2x -3y -9 = 0 
c) -2x -3y = -9 
d) 2x -3y = -9 
 
59 
 
199.(EEAR-SP) Analisando o gráfico, temos que a reta forma com os eixos coordenados um 
triângulo de 4 unidades de área. Marque a alternativa correspondente à equação da reta que 
passa pelos pontos P e Q 
 
a) 2x + y – 4 = 0 
b) -2x + y = 4 
c) 2x + y = -4 
d) 2x – y = 4 
 
200.(EEAR-SP) O valor de a para que os pontos A(-1, 3-a), B(3, a+1) e C(0, -1) sejam colinea-
res é um número real 
a) primo 
b) menor que 1 
c) positivo e par 
d) compreendido entre 2 e 5 
 
201.(EEAR-SP) A figura ilustra um círculo com centro em O, origem do plano cartesiano, e 
uma reta r. Considerando tal figura, a área da região sombreada corresponde a 
 
 
a) 2 - 4 
b) 2 - 2 
c)  - 4 
d)  - 2 
 
202.(EEAR-SP) Para que uma circunferência : x2 + y2 – mx – 4y – c = 0 tenha centro C(1, 2) e 
raio R = 5, os valores de m e de c são respectivamente 
a) -1 e -10 
b) -2 e 25 
c) 1 e -20 
d) 2 e 20 
 
 
 
 
 
60 
 
203.(EEAR-SP) A reta r, de equação y + 2x -1 = 0, corta o eixo x em x = a e o eixo y em y = b. 
Assim, a + b é igual a 
a) 3 
b) 2 
c) 
3
2
 
d) 
1
2
 
 
204.(EEAR-SP) Existe uma reta passando pelos pontos (1, 4), (t, 5) e (-1, t). A soma dos pos-
síveis valores de t é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
205.(EEAR-SP) Seja O o centro da circunferência : (x – 1)2 + (y – 3)2 = 9. O ponto P(3, 2) é 
a) interior a , estando mais próximo de  do que de O 
b) interior a , estando mais próximo de O do que de  
c) pertencente a  
d) exterior a  
 
206.(EEAR-SP) Se C(a, b) e r são, respectivamente, o centro e o raio da circunferência de 
equação (x – 2)2 + (y + 1)2 = 16, o valor de a + b + r é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
207.(EEAR-SP) Sejam os pontos A(x, 1), M(1, 2) e B(3, y). Se M é ponto médio de AB , então 
x.y é igual a 
a) -3 
b) -1 
c) 1 
d) 3 
 
208.(EEAR-SP) A distância do ponto (3, 1) à reta cuja equação geral é 2x – 2y + 2 = 0 
a) 
5 2
2
 
b) 
3 2
2
 
c) 2 2 
d) 2 
 
 
 
 
 
 
61 
 
209.(EEAR-SP) Para que os pontos A(2, 0), B(a, 1) e C(a + 1, 2) estejam alinhados, é necessá-
rio que o valor de a seja 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
210.(EEAR-SP) Se os pontos (1, - a), (2, 3) e (- 1, - 3) estão alinhados, o valor de a é 
a) -2 
b) -1 
c) 3 
d) 4 
 
211.(EEAR-SP) Se as retas r e s são perpendiculares, e a equação de s é 2y + x – 2 = 0, o co-
eficiente angular mr da reta r é 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
212.(EEAR-SP) A parábola y = x2 intercepta a circunferência de centro (0, 0) e raio 2 nos 
pontos 
a) (-1, 1) e (2, 4) 
b) (-1, 1) e (1, 1) 
c) (-2, 4) e (2, 4) 
d) (-2, 4) e (1, 1) 
 
213.(EEAR-SP) Sejam as retas r e s de equações y = 2x – 3 e y = - 3x + 2. A tangente do ân-
gulo agudo formado pelas retas r e s é 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 
3
3
 
 
214.(EEAR-SP) Seja M(4, a) o ponto médio do segmento de extremidades A(3, 1) e B(b, 5). 
Assim, o valor de a + b é 
a) 8 
b) 6 
c) 4 
d) 2 
 
215.(EEAR-SP) As retas y = kx + 2 e y = - x + m interceptam-se no ponto (1, 4). Assim, o valor 
de k + m é 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
 
 
62 
 
216.(EEAR-SP) Sejam os pontos A(-2, 2), B(2, -1) e C(5, k). Se a distância entre A e B é a 
mesma que a entre B e C, a soma dos possíveis valores de k é 
a) 1 
b) 0 
c) -1 
d) -2 
 
217.(EEAR-SP) Os vértices de um triângulo são A(2, 5), B(0, 0) e C(4, -2). A altura desse triân-
gulo, relativa a BC , é 
a) 10 5 
b) 
12 5
5
 
c) 
5
5
 
d) 5 
 
218.(EEAR-SP) Se o ponto Q(2, 1) pertence à circunferência de equação x2+y2+4x–6y+k=0, 
então o valor de k é 
a) 6 
b) 3 
c) -7 
d) -10 
 
219.(EEAR-SP) Considere o segmento que une os pontos (- 1, - 3) e (5, 5) e uma reta perpen-
dicular a ele. O coeficiente angular dessa reta é 
a) 
2
5
 
b) 
3
4
 
c) 
1
2
 
d) 
2
3
 
 
220.(EEAR-SP) Os pontos M(-2, a), N(a, 5) e P(0, a) estão alinhados. Assim, o quadrante a 
que N pertence é 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
221.(EEAR-SP) Na figura, OABC é um quadrado de lado 3. Sabendo que o ponto D tem coor-
denadas (0, 6), o coeficiente angular da reta r é 
 
 
a) - 6 
b) - 4 
c) - 2 
d) – 1 
 
 
222.(EEAR-SP) O baricentro de um triângulo, cujos vértices são os pontos M(1, 1), N(3, - 4) e 
P(-5, 2), tem coordenadas cuja soma é 
a) 2 
b) 1 
c) 
2
3
 
d) 
1
3
 
 
223.(EEAR-SP) Seja M(a, b) = r s. O valor de 
a
b
 é 
 
a) 
20
21
 
b) 
21
20
 
c) 
20
17
 
d) 
17
20
 
 
 
 
64 
 
224.(EEAR-SP) Os pontos A(3, 5), B(4, 3), C(1, 0) e D(0, 4) são vértices de um quadrilátero 
ABCD. A área desse quadrilátero é 
a) 
15
2
 
b) 
7
2
 
c) 11 
d) 15 
 
225.(EEAR-SP) Dada a reta (s) 2x – y + 3 = 0, a equação da reta r, perpendicular a s, que in-
tercepta o eixo y no ponto de ordenada 2, é 
a) 2y + x – 4 = 0 
b) 2y + x – 2 = 0 
c) 2x + y + 4 = 0 
d) 2x + y + 2 = 0 
 
226.(EEAR-SP) Para que a reta de equação y 3x n  seja tangente à circunferência de 
equação x2 + y2 = 4, o valor de n deve ser 
a) - 3 ou 3 
b) -2 ou 2 
c) -3 ou 3 
d) -4 ou 4 
 
227.(EEAR-SP) Se a distância entre uma reta t e o centro da circunferência () x2 + (y – 2)2 = 
16 é 17 , então t e  são 
a) secantes 
b) tangentes 
c) exteriores 
d) interiores 
 
228.(EEAR-SP) Em um plano cartesiano desenhado no chão, uma formiga, andando em linha 
reta, se deslocou do ponto A(2, -1) para o ponto B(-1, 3), e depois para o ponto C(2, 3). Se ca-
da unidade deste plano representa 1 cm, então a distância percorrida pela formiga, em cm, foi 
a) 4 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
 
229.(EEAR-SP) Se uma reta passa pelo ponto P(3, 4) e tem coeficiente angular 2, então o coe-
ficiente linear dessa reta é 
a) -4 
b) -2c) 1 
d) 3 
 
230.(EEAR-SP) Se a circunferência de equação x2 + by2 + cx + dy + k = 0 tem centro C(1, -3) e 
raio 3 , então “b + c + d + k” é igual a 
a) 12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
 
65 
 
231.(EEAR-SP) A distância do ponto P(-3, -2) à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano car-
tesiano é 
a) 2 
b) 5 2 
c) 
5 2
2
 
d) 
2
2
 
 
232.(EEAR-SP) A equação da reta que passa pelo ponto E(-1, -3) e que tem 45° de inclinação 
é 
a) x – y + 2 = 0 
b) x – y – 2 = 0 
c) x + y + 2 = 0 
d) x + y – 2 = 0 
 
233.(EEAR-SP) Se uma circunferência tem centro C(1, 0) e raio 1 e outra tem equação 
x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0, então essas circunferências são 
a) secantes 
b) externas 
c) tangentes internas 
d) tangentes externas 
 
234.(EEAR-SP) Seja um ponto Q, de ordenada -3, equidistante dos pontos A(0, 1) e B(2, 3). O 
produto das coordenadas do ponto Q é: 
a) 3 
b) -6 
c) 12 
d) -18 
 
235.(EEAR-SP) A equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(-2, -7) e B(1, -5) é 
a) 
3y 2x
1
17 17
  
b) 
2x 3y
1
17 17
  
c) 
3x 2y
1
17 17
  
d) 
3y 2x
1
17 17
  
 
236.(EEAR-SP) Considere as afirmações: 
I As retas (r) x – 3y + 1 = 0 e (s) – 2x + 6y + 1 = 0 são paralelas distintas 
II As retas (t) – 2x + y + 5 = 0 e (u) – 6x + 3y + 15 = 0 são coincidentes 
III As retas (v) – 5x – 4y – 3 = 0 e (w) – 10x + 8y + 6 = 0 são concorrentes 
Das afirmações anteriores, é(são) verdadeira(s) 
a) apenas duas 
b) apenas uma 
c) nenhuma 
d) todas 
 
66 
 
237.(EEAR-SP) Sejam os pontos D(k, -3), E(2, t) e F(-1, 1). Se F divide DE em duas partes 
iguais, então os números k e t são tais que a soma deles é 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
 
238.(EEAR-SP) Seja  o ângulo formado por duas retas cujos coeficientes angulares são 
1
3
 e 
1
3
. O valor de tg  é 
a) 
3
4
 
b) 1 
c) 
5
4
 
d) 
3
2
 
 
239.(EEAR-SP) Os pontos 
7 5
A ,
2 2
 
 
 
 e 
5 7
B ,
2 2
 
  
 
 definem uma reta de equação ax + by + c 
=0. O valor de 
c
b
 é 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
 
240.(EEAR-SP) O raio da circunferência de equação x2 + y2 – 2x + 10y + 1 = 0 é igual a 
a) 5 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
 
241.(EEAR-SP) Seja o gráfico da função definida por y = 2x2 + 3x – 2. O ponto do gráfico de 
menor ordenada tem coordenadas 
a) 
3 25
,
4 8
 
  
 
 
b) 
3
, 1
4
 
  
 
 
c) 
3 25
,
2 8
 
  
 
 
d) 
3
, 1
2
 
  
 
 
 
 
 
 
67 
 
242.(EEAR-SP) Uma circunferência passa pelos pontos A(3, 1) e M(4, 0) e tem o seu centro 
sobre o eixo das ordenadas. Nessas condições, o raio dessa circunferência é 
a) 2 5 
b) 3 2 
c) 5 
d) 6 
 
243.(EEAR-SP) A equação da reta (r), que é perpendicular à reta (s): 2x + 3y – 6 = 0 no ponto 
onde a reta (s) corta o eixo das abscissas, é 
a) 3x + 2y – 9 = 0 
b) 2x – 3y + 6 = 0 
c) 2x + 3y – 6 = 0 
d) 3x – 2y – 9 = 0 
 
244.(EEAR-SP) Dois pontos sobre a reta y = 2 distam 4 unidades da reta 4x – 3y + 2 = 0. A 
distância, em unidades, entre as abscissas dos pontos é 
a) 10 
b) 2 
c) 6 
d) 4 
 
245.(EEAR-SP) Dada a reta de equação y = 
3x
3
 e a circunferência de equação x2+ y2– 4x= 0. 
A área do triângulo determinado pelo centro da circunferência e os pontos de intersecção entre 
a reta e ela, em unidades de área, é igual a 
a) 3 
b) 3 
c) 3 3 
d) 6 
 
246.(EEAR-SP) A fórmula que define a função quadrática, cuja representação gráfica é uma 
parábola, cuja concavidade é voltada para baixo e que não intercepta o eixo das abscissas, é 
a) y = – x2 – 2x – 1 
b) y = – 5x + x2 + 7 
c) y = 3x – 2x2 – 2 
d) y = – 6 – x2 – 5x 
 
247.(EEAR-SP) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), considerando a geometria de posição es-
pacial e plana 
( ) A condição r s   é necessário para que as retas r e s sejam paralelas e distintas 
( ) Duas retas que formam um ângulo reto são necessariamente perpendiculares. 
( ) Se duas retas têm um único ponto em comum, então elas são concorrentes 
( ) A condição r s   é suficiente para que as retas r e s sejam reversas 
A sequência correta é: 
a) F – V – F – V – V 
b) F – V – V – V – F 
c) F – V – F – V – F 
d) F – F – V – V – F 
 
 
68 
 
248.(EEAR-SP) O baricentro do triângulo de vértices A(-5, 6), B(-1, -4) e C(3, 2) é o ponto 
a) 
7 3
,
4 2
 
 
 
 
b) 
3
1,
2
 
 
 
 
c) 
7 4
,
4 3
 
 
 
 
d) 
4
1,
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
 
MATRIZES 
 
1. Noção de matriz 
Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se de matriz m por n (indica-se m x n) 
toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas. 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
ij m xn
m1 m3 mn
a a a
a a a
M a
. . . .
a a a
m por n
   
 
  
  
 
 
   
 
2. Matrizes especiais 
 
2.1 Matriz linha 
É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, é uma matriz que tem uma única linha. 
 
Exemplo 
 
 1 ) 1 1 0 1
1por 4
 
 
 
2.2 Matriz coluna 
É toda matriz do tipo m x 1, isto é, é uma matriz que tem uma única coluna. 
 
Exemplo 
 
1
2
1 )
0
1
4 por 1
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Matriz nula 
É toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero. 
 
Exemplo 
 
0 0 0
1 )
0 0 0
2 por 3
 
  
  
 
 
 
 
 
70 
 
2.4 Matriz quadrada 
É a matriz do tipo n x n ou matriz de ordem n, isto é, é uma matriz que tem igual número de 
linhas e colunas. 
 
Exemplos 
 
1 4
1 )
3 1
ordem 2
 
  
  
 
1 1 0
2 ) 2 5 1
0 3 3
ordem 3
 
 

 
  
 
 
1 0 3 1
3 4 1 0
3 )
1 0 2 5
0 1 1 1
ordem 4
 
 
 
 
 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 
 
 
  
 
 
 
 
2.5 Matriz diagonal 
É toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem a diagonal principal são 
iguais a zero. 
 
Exemplos 
 
1 0
1 )
0 1
 
  
 
 
 
1 0 0
2 ) 0 5 0
0 0 3
 
 

 
  
 
 
1 0 0 0
0 4 0 0
3 )
0 0 2 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagonal Principal Diagonal Secundária 
 
71 
 
2.6 Matriz identidade 
A matriz unidade (ou matriz identidade) de ordem n (indica-se nI ) é toda matriz diagonal em 
que os elementos que pertencem a diagonal principal são iguais a 1. 
 
Exemplos 
2
1 0
I
0 1
 
  
 
 
 
3
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
 
 

 
  
 
 
4
1 0 0 0
0 1 0 0
I
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Igualdade 
Para que duas matrizes sejam iguais é necessário que elas sejam de mesma ordem e todos os 
elementos correspondentes sejam iguais. 
 
Exemplo 
Determine x e y de modo que se tenha 
2x 3y x 1 2y
.
3 4 3 y 4
   
   
   
 
 
2x x 1 x 1
Resolução
y 4 4 y 0
   

   
 
 
4. Adição 
A soma de duas matrizes A e B do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipo em que cada ele-
mento é a soma dos elementos correspondentes em A e B. 
 
Exemplo 
Determine os valores de , , e    afim de que se tenha 
1 2 3 2
.
1 2 0 1
      
      
       
 
2 3 1
1 2 1
Resolução
1 0 1
2 1 1
    

    

   
    
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
5. Produto de número por matriz 
Multiplicar uma matriz A por um número k é construir uma matriz B formada pelos elementos de 
A todos multiplicados por k. 
 
Exemplo 
 
1 0 1 2 0 2
2 2 3 1 4 6 2
1 0 1 2 0 2
    
   
 
   
      
 
 
6. Matriz oposta 
Chama-se matriz oposta de A (indica-se –A) a matriz A’ tal que A A' 0.  
 
Exemplo 
 
1 0 2 1 0 2
1 ) A 3 1 4 A 3 1 4
1 1 3 1 1 3
    
   
       
   
        
 
 
7. Produto de matrizes 
Definição 
 
Dadas duas matrizes    ij jkmxn nxpA a e B b  chama-se de produto AB a matriz  ik mxpC c 
tal que 
 
Exemplo 
 
2 x 32 x 2 2 x 3
1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 3 5 4 7
1 )
3 1 2 1 3 3 1 1 2 3 2 1 1 3 1 1 3 5 7 6
               
          
               
 
 
Teorema 
 
Se  ij mxnA a entãon mAI A e I A A  
 
Propriedades: 
 
   
 
 
     
é associativa : AB C A BC
é distributiva à direita A B C AC BC
é distributiva à esquerda C A B CA CB
kA B A kB k AB

  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
Notas 
 Para duas matrizes A e B não quadradas, temos: 
AB BA 
 
 Para duas matrizes A e B quadradas geralmente, temos: 
AB BA 
 
 Se duas matrizes A e B comutarem elas necessariamente são quadradas e de mesma or-
dem. 
 
 A implicação AB 0 A 0 ou B 0    é falsa 
 
Exemplo 
 
1 0 0 0 0 0
1º )
0 0 0 1 0 0
     
     
     
 
 
 Quando A e B são tais que AB = BA, dizemos que A e B comutam. Notemos que uma condi-
ção necessária para A e B comutarem é que sejam quadradas de mesma ordem. 
 
Se A e B são matrizes comutáveis então valem as igualdades: 
 
  
 
 
 
2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
n n n
A B A B A B
A B A 2AB B
A B A 3A B 3AB B
AB A B
    

    

    


 
 
8. Matriz transposta 
Para encontrarmos matriz transposta At de uma matriz A é só transformamos cada linha da 
matriz A em uma coluna. 
 
Exemplo 
 
t
1 3
1 0 1
1 ) A A 0 4
3 4 2
1 2
 
   
      
    
 
Propriedades: 
 
 
 
 
 
t
t
t t t
t t
t t t
A A
A B A B
kA kA
AB B A

  


 
 
 
 
 
74 
 
9. Matriz simétrica 
Chama-se de matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que 
 
tA A 
 
Isto é, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são iguais. 
 
Exemplo 
 
t
2 3 5 2 3 5
1 ) A 3 1 2 A 3 1 2 A
5 2 3 5 2 3
   
   
      
   
      
 
 
Define-se como matriz antissimétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que 
 
tA A  
 
Isto é, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos. 
 
Exemplo 
 
t
0 3 5 0 3 5
1 )A 3 0 2 A 3 0 2 A
5 2 0 5 2 0
    
   
       
   
       
 
 
10. Matrizes inversíes 
Definição 
 
Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz A-1 (que é única) tal que 
 
1 1
nA A A A I
     
 
1
nA A I
   
 
É evidente que A-1 deve ser quadrada de ordem n, pois A-1 comuta com A., 
 
Se A não é inversível, dizemos que A é uma matriz singular. 
 
Aplicações 
 
Sendo A, B e C matrizes inversíveis de ordem n, isole o X a partir de cada equação abaixo: 
a) AX B b) nAXB I c)  
1
AX B

 
d) BAX A e)  
t
AX B f)  
t
A X B  
g) AXB C 
 
 
 
75 
 
DETERMINANTES 
 
1. Definição de determinante de ordem 3 
1.1 Se M é uma matriz de ordem n = 1, então o det M é o único elemento de M. 
 
 11 11 11M a detM a a    
 
Exemplo 
 
 M 2 detM 2 2       
 
1.2 Se M é uma matriz de ordem n = 2, então o det M é o produto dos elementos da diagonal 
principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
11 12
21 22
a a
M
a a
 
  
 
 
 
11 12
21 22
a a
det M
a a
 
 
11 22 12 21det M a a a a  
 
Exemplo 
 
2 1
2 3 2 1 4
2 3
     
 
1.3 Se M é uma matriz de ordem n = 3, então o det M é calculado pela Regra de Sarrus. 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
M a a a
a a a
 
 

 
  
 
 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
detM a a a a a
a a a a a
 
 
11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31det M a a a a a a a a a a a a a a a a a a      
 
Exemplo 
 
1 2 1 1 2
1 ) 2 3 2 2 3 3 4 6 6 3 4 0
1 3 1 1 3
       
 
 
 
76 
 
2. Teorema fundamental (de Laplace) 
O determinante da matriz M, de ordem n 2 , é a soma dos produtos dos elementos de uma 
fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n3 nn
a a a
a a a
M
. . . .
a a a
   
 
  
 
 
 
   
 
 
1n 1n 2n 2n nn nndetM a C a C ... a C    
 
Exemplo 
 
1 2 1 3
1 1 2 1
1 ) M
2 1 1 2
1 2 1 1
 
 
  
 
 
  
 
       
11 12 13 14
1 1 1 2 1 3 1 4
cofator de a cofator de a cofator de a cofator de a
1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
detM 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1
2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1
   
                
 
Nota 
 
O Teorema de Laplace torna-se prático quando pegamos uma fila qualquer (linha ou coluna) 
com a maior quantidade de zeros possíveis. 
 
3. Propriedades dos determinantes 
3.1 Matriz transposta 
Se M é uma matriz de ordem n e Mt sua transposta, então 
 
tdetM detM 
 
Exemplos 
 
1 4 1 2
1 ) 3
2 5 4 5
    
 
1 0 2 1 3 4
2 ) 3 1 3 0 1 5 9
4 5 2 2 3 2
   
 
 
 
 
77 
 
3.2 Fila nula 
Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem 
todos nulos, então 
 
detM 0 
Exemplos 
 
3 1 4
1 ) 0 0 0 0
a b c
  
 
1 5 x 0
3 7 y 0
2 ) 0
4 2 z 0
2 3 t 0
 

 
 
3.3 Multiplicação de uma fila por uma constante 
Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um número K, o determi-
nante da nova matriz M’ obtida será o produto K pelo determinante de M, isto é, 
 
det M' kdetM 
 
Exemplos 
 
7 14 49 1 2 7
1 ) 3 5 2 7 3 5 2
0 2 7 0 2 7
   
 
5 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ) 10 28 8 5 7 2 2 4 4 5 7 2 2 1 2 2 140 1 2 2
15 7 16 3 7 8 3 7 8 3 7 8
            
 
 
Nota 
 
Se A é uma matriz de ordem n, então 
 
  ndet k A k detM   
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
3.4 Trocas de filas paralelas 
Seja M uma matriz de ordem n 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas 
ou colunas), obteremos uma nova matriz M’ tal que 
 
det M' det M  
 
Exemplos 
 
3 4 7 2
1 ) 22 22
7 2 3 4
     
 
1 4 1 1 4 1
2 ) 3 1 2 37 2 1 3 37
0 3 2 2 3 0
 
     
 
3.5 Filas paralelas iguais 
Se uma matriz M de ordem n 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou colunas) formadas 
por elementos respectivamente iguais, então 
 
det M 0 
 
Exemplos 
 
3 2 3
1 ) 1 8 1 0
7 2 7
  
 
a b c
2 ) 1 4 7 0
a b c
  
 
3.6 Filas proporcionais 
Se uma matriz M de ordem n 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) forma-
das por elementos respectivamente proporcionais, então 
 
det M 0 
 Exemplo 
 
1 2x x
1 ) 2 2y y 0
3 2z z
  
 
 
 
 
 
79 
 
3.7 Matriz Triangular 
Chamamos de matriz triangular a matriz M quadrada de ordem n cujos elementos situados “de 
um mesmo lado” da diagonal principal são iguais a zero. O determinante da matriz triangular é 
dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. 
 
11
21 22
n1 n3 nn
a 0 0
a a 0
M
. . . .
a a a
   
 
  
 
 
 
   
 
 
Aplicando-se sucessivamente o teorema de Laplace, através da 1ª linha, é imediato que: 
 
n
11 22 33 nn ii
i 1
det M a a a ... a a

      
Exemplos 
 
3 0 0
1º ) 2 5 0 3 5 1 15
4 3 1
    
3 2 3 5
0 1 4 7
2º ) 3 1 2 6 36
0 0 2 2
0 0 0 6
     
 
Nota 
 
O determinante de uma matriz diagonal é calculado da mesma forma que o determinante da 
matriz triangular. 
 
Exemplos 
 
3 0 0
1º ) 2 5 0 3 5 1 15
4 3 1
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
3.8 Teorema de Jacobi 
Adicionando a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente mul-
tiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M’, tal que 
 
det M' det M 
Exemplos 
 
 
 
 
1 3 5 1 1 3 3 5 1 0 5
1º ) 4 2 7 4 4 3 2 7 4 10 7
4 1 6 4 4 3 1 6 4 11 6
  
     
      
 
 
       
       
       
1 2 3 4 0 1 0 11 1 1 3 1 2 3 1 3 5 1 4
3 2 5 7 0 11 4 81 3 3 3 3 2 3 3 5 5 3 7
2º )
2 1 4 6 0 5 2 41 2 2 3 2 1 3 2 4 5 2 6
1 3 3 5 1 3 3 51 3 3 5
            
              
 
             
 
 
3.9 Teorema de Binet 
 
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então: 
 
     det A B det A det B   
 
Consequência 
 
     1 1 1n nA A I det A Adet I det A det A 1          
 
 
 
1 1det A
det A
  
 
Desse modo, uma matriz A só admite inversa se e somente si o  det A 0 . 
 
4. Regra de Chió 
Como consequência do teorema de Jacobi, veremos agora um processo útil bastante prático, 
para reduzirmos em uma unidade a ordem de um determinante de ordem n 2 e que apre-
senta pelo menos um elemento igual a 1, sem alterá-lo, e facilitar seu cálculo. 
 
 
11
1 1
a
1 2 1 3
1 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 2
1 1 2 1
1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 3 1 4 8
2 1 1 2
2 2 1 1 1 1 1 3 1 0 0 2
1 2 1 1

       
               
      
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
5. Matriz Vandermonde (ou das potências) 
Chamamos de matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n 2 , do tipo, 
por exemplo: 
 
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
x y z w
M
x y z w
x y z w
 
 
 
 
 
 
            2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
x y z w
det M y x z x z y w x w y w z
x y z w
x y z w
             
 
Exemplo 
 
     
1 1 1
2 3 4 3 2 4 2 4 3 2
4 9 16
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
SISTEMAS LINEARES 
1. Teorema de Cramer 
Consideremos um sistema linear em que o número de equações é igual ao número de incógni-
tas. Nestas condições a matriz incompleta é quadrada. 
 
Para facilitar a compreensão do Teorema de Cramer, vamos usar o sistema abaixo: 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
S a x b y c z d
a x b y c z d
  

  
   
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
x 2 2 2
3 3 3 yx z
1 1 1
y 2 2 2
3 3 3
1 1 1
z 2 2 2
3 3 3
a b c
D a b c
a b c
d b c
D d b c
d b c DD D
x , y , z
D D Da d c
D a d c
a d c
a b d
D a b d
a b d










    

 




 


 
 
De acordo com o Teorema de Cramer um sistema linear em que o número de equações é igual 
ao número de incógnitas poderá ser 
 
 
 
 
x y z
x y z
Possível Determinado Única solução D 0
Sistema Possível Indeterminado Infinitassoluções D D D D 0
Impossível Nenhumasolução D 0 e D 0,D 0 e D 0
  


    

    
 
 
2. Sistema linear homogêneo 
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele que o termo independente de todas as 
equações vele zero. 
 
Exemplo 
 
3x 4y z 0
1 ) S 3x y 3z 0
x 2y z 0
  

   
   
 
 
Notas 
Um sistema linear homogêneo admite sempre como solução Trivial a sequência (0,0,0,...,0). 
Logo este sistema nunca será impossível. 
 
Um sistema linear homogêneo pode ser classificado apenas como: 
Possível e determinado: tem como única solução a sequência (0,0,0,...,0) 
Possível e indeterminado: infinitas soluções 
 
83 
 
TESTES DE NIVELAMENTO 
 
 
249. (EEAR-SP) Se 
0 x y
A x 0 2
y 2 0
 
 
  
 
 
 e det A 4 3 , então 2 2x y é igual a 
a) 24 
b) 12 
c) 6 
d) 3 
 
250. (EEAR-SP) Considere a matriz 
1 x 1
A
2x 4x 1
 
  
 
. Os termos x 1,2x,4x 1  , são, nessa 
ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética. Dessa forma,  det A é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
251. (EEAR-SP) Considere as matrizes reais 
2x 1
A
2 y z
 
  
 
 e 
9 z
B
y x
 
  
 
. Se tA B , então 
y z é igual a 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) -1 
 
252. (EEAR-SP) Se 
1 a b 1
e
1 2 x 2k
   
   
   
 são matrizes opostas, os valores de a, b, x e k são 
respectivamente 
a) 1, -1, 1, 1 
b) 1, 1, -1, -1 
c) 1, -1, 1, -1 
d) -1, -1, -2, -2 
 
253. (EEAR-SP) Para que o determinante as matriz 
1 1 1
1 0 b
1 2 1
 
 
 
 
 
 seja 3, o valor de b deve ser 
igual a 
a) 2 
b) 0 
c) -1 
d) -2 
 
 
 
84 
 
254. (EEAR-SP) O valor do determinante 
1 0 2
1 0 2
2 3 4
 
 
  
 
 
 é 
a) -2 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
 
255. (EEAR-SP) Seja a matriz 
4 2
A
6 2
 
  
 
. A matriz 
1
X A
2
 tem como soma de seus elemen-
tos o valor 
a) 7 
b) 5 
c) 4 
d) 1 
 
256. (EEAR-SP) O valor de x que é solução do sistema 
x 2y 1
2x 3y 3
 

 
 é um número 
a) par primo 
b) ímpar primo 
c) par não primo 
d) ímpar não primo 
 
257. (EEAR-SP) Sejam as matrizes 
1 1 1 2
A e B
0 1 1 0
   
    
   
. A soma dos elementos de 
A B é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
258. (EEAR-SP) Na matriz 
1 0 1
A ... 2 1
5 ... 3
 
 
  
 
 
 faltam 2 elementos. Se nessa matriz 
ija 2i j  , a 
soma dos elementos que faltam é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
259. (EEAR-SP) Sejam as matrizes 
2 1 3
A 0 5 1
3 2 1
 
 
  
 
 
 e 
2 3
B
0 9
 
  
 
. O valor de    det A detB é 
a) 4 
b) 3 
c) -1 
d) -2 
 
85 
 
260. (EEAR-SP) Para que o sistema 
kx y z 0
2x 4y z 1
3x 4y z 1
  

  
    
 seja possível e determinado, deve-se 
ter 
a) k 9 / 8 
b) k 2 / 5 
c) k 7 / 6 
d) k 1/ 3 
 
261. (EEAR-SP) Se 
2 1 x 6
1 1 y 0
     
      
     
, então o valor de x y é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
262. (EEAR-SP) Seja 
1 2 1A
1 x

 
  
 
a matriz inversa de 
1 1
A .
1 2
 
  
 
 Sabendo que 1
2A A I
  , 
o valor de x é 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
263. (EEAR-SP) Seja a matriz 
2
1 1 1
M 2 3 x
4 9 x
 
 
   
 
 
 Se 2detM ax bx c,   então o valor de a é 
a) 12 
b) 10 
c) -5 
d) -7 
 
264. (EEAR-SP) Sejam as matrizes 
4 a b
A e B .
2 1 2
   
    
   
 Se A B é uma matriz nula 2x1, 
então a b é 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
 
265. (EEAR-SP) Se 
ax 2y 1 2x y 1
e
3x by 3 x y 4
     
 
     
 são sistemas equivalentes, então o valor de 
a b é 
a) 11 
b) 9 
c) -5 
d) -7 
 
86 
 
266. (EEAR-SP) A soma dos elementos da diagonal principal da matriz  ij 3x3A a , tal que 
2
ij
i se i j
a
i j se i j
 
 
 
 
a) múltiplo de 3 
b) múltiplo de 5 
c) divisor de 16 
d) divisor de 121 
 
267. (EEAR-SP) Considere a soma S: 
cos1 cos2 sen1 sen2 cos3 cos4 sen3 sen4 cos9 cos9 sen9 sen10
S ...
cos2 cos1 sen2 sen1 cos4 cos3 sen4 sen3 cos10 cos10 sen10 sen9
      
 
O valor de logS é 
a) zero 
b) positivo 
c) negativo 
e) inexistente 
 
268. (EEAR-SP) Sejam as matrizes 
1 1 1 1
A e B .
2 2 0 3
    
    
   
 Se t tA e B são matrizes 
transpostas de A e de B, respectivamente, então t tA B é igual a 
a) 
0 2
0 1
 
 
 
 
b) 
2 1
2 3
 
 
  
 
c) 
0 2
2 2
 
 
  
 
d) 
0 1
0 5
 
 
 
 
 
269. (EEAR-SP) Se as matrizes 
a b 2a 2c
e
c d 3b 3d
   
   
   
 têm determinantes respectivamente 
iguais a x e y, e ad bc , então o valor de 
y
x
 é 
a) 2 
b) 3 
c) -6 
d) -4 
 
 
 
 
 
87 
 
270. (EEAR-SP) Seja 
x my 1
4x 5y 2
 

 
um sistema de equação do 1º grau nas incógnitas x e y. Ele 
será impossível se o valor de m for 
a) 5/4 
b) 3/2 
c) 5/3 
d) 2 
 
271. (EEAR-SP) Seja 
x y 3
2x my 6
 

 
é possível e indeterminado para 
a) m 2 
b) m 2 
c) m 2  
d) m 2  
 
272. (EEAR-SP) Se 
2 1
B
x y
 
  
 
 é a matriz inversa de 
1 2
A
1 4
 
  
 
, então x y é 
a) 2 
b) 1 
c) 1 
d) 0 
 
273. (EEAR-SP) A solução do sistema 
3x 1 4x 6
x 3 0
  

 
é 
a)  3,7 
b)  3,7 
c)  7,3 
d)  7,3 
 
274. (EEAR-SP) Sendo 
2 1 4 5 3
A e B ,
4 5 1 0 3
   
    
   
 a soma dos elementos da 1ª linha de 
A B é 
a) 22 
b) 30 
c) 46 
d) 58 
 
275. (EEAR-SP) Sendo 
3 4 5 2
A e B ,
2 1 0 3
   
    
   
 a soma dos elementos da 2ª linha de 
 
t
A B é igual a 
a) 4 
b) 2 
c) 2 
d) 4 
 
 
88 
 
276. (EEAR-SP) O determinante da matriz 
1 0 0 3
2 3 5 1
1 2 3 1
3 0 1 4
 
 
 
 
 
 
 é 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
 
 
 
 
89 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
I. Introdução 
Ponto Plano 
 
 
Reta