Exercicios_de_integral_definida

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y 
y = f(x) 
O x0 =a , 
1 
1 
FIGURA 5.14 Amostra de valores de uma 
função em um intervalo [a, b]. 
y 
2 f(x) = V 4 - x 2 
'TT y=-
2 
1 
_ _.____ _ _.__ ___ ___. __ _._____ X 
-2 - 1 1 2 
FIGURA 5.15 Valor médio de 
J(x) = ~ em [-2, 2] é 7r/2 
(Exemplo 5). 
Exerácios 5.3 
Interpretação de limites como integrais 
Capítulo 5 Integração 309 
Dividimos [a, b] em n subintervalos de larguras iguais a 6..x = (b - a)/n e calcula-
mos f em um ponto ck em cada subintervalo (Figura 5.14). A média dos n valores 
amostrados é 
/(c1) + /(c2)n + · · · + J(cn) = ~ f j(ck) 
k= l 
~ X n 
= b - a fi f ( Ck) 
1 n 
= b _ ~j(ck) ~ X ª k= t 
b - a _ ) ~ X 
~ X = J1 , CntaO n = b _ 
Regra da multiplicação 
por constante 
Obtemos a média dividindo uma soma de Riemann para f em [ a, b] por ( b - a). 
Ao aumentar o tamanho da amostra e fazer a norma da partição se aproximar de 
zero, a média chega perto de (1/ (b - a)) fab J(x) dx. Ambos os pontos de vista nos 
levam à seguinte definição. 
DEFINIÇÃO Se fé integrável em [a , b], então o seu valor médio em [a, b], 
chamado também de média, será 
Média (/) = b ~ 1b f (x) dx. 
a a 
EXEMPLO 5 Determine o valor médio de f(x) = \147 em [- 2, 2]. 
Solução Reconhecemos J(x) = \147 como uma função cujo gráfico é o semi-
círculo superior de raio 2, centrado na origem (Figura 5.15). 
A área entre o semicírculo e o eixo x de - 2 até 2 pode ser calculada usando-se 
a fórmula geométrica 
, 1 2 1 2 
Area = 
2 
· 'TTr = 2 • 7r(2) = 27T. 
Como f é não negativa, a área também é o valor da integral de - 2 até 2, 
1
2 
\147 dx = 27T. 
2 
Portanto, o valor médio de f é 
média(/) = 2 _ 1( -Z) .l: \147 dx = ! (21r) = ;. 
O Teorema 3 da próxima seção afirma que a área do semicírculo superior sobre 
[- 2, 2] é a mesma área do retângulo cuja altura é o valor médio de f sobre [- 2, 2] 
(veja a Figura 5.15). 
ti 
Expresse os limites nos Exercícios 1-8 como integrais definidas. 
3. lim L(ck2 - 3ck) d xk, onde Pé uma partição de [- 7, 5] 
IIPII-O k= 1 
4. lim ± (; ) 6.xk, onde Pé uma partição de [l , 4] n 
1. lim L ck2 d xk, onde P é uma partição de [O, 2] 
IIPII-O k= I 
li 
2. lim L2ck3 dxk, onde Pé u1na partição de [- 1, O] 
IIPll-0 k= 1 
IIPII-O k= 1 k 
5. lim ± 
1 
1 
d xk, onde Pé uma partição de [2, 3] 
IIPll-0 k= 1 - Ck 
Paulo Henrique
Nota
Resolver os exercícios de 1 a 70.
310 Cálculo 
n 
6. lim L V 4 - ck2 fl xk, onde P é uma partição de [O 1] 
IIPII-O k= 1 ' 
n 
7. lim L (sec ck) flxk, onde Pé uma partição de [-1r/4, O] 
IIPII-O k= I 
li 
8. 
11
1
1
i
1
m 
O 
L ( tg ck) 6.xk, onde P é uma partição de [O, 1r/4] 
p - k= I 
Uso das regras de integral definida 
9. Suponha que f e g sejam integráveis e que 
12/(x) dx = - 4, 15/(x) dx = 6, f 5g(x) dx = 8. 
Use as regras na Tabela 5.4 para determinar 
a. fi 2g(x) dx d. Ji 5f(x) dx 
b.11g(x) dx e.j 5 U(x) - g(x)] dx 
c. j\J(x) dx r. j\4J(x) - g(x)] dx 
10. Suponha que f eh sejam integráveis e que 
19/(x) dx = - 1, Í, 9J(x) dx = 5, J, \cx) dx = 4. 
Use as regras na Tabela 5.4 para calcular 
a. j
9
-2f(x) dx d.1 1/(x) dx 
b. J, 9U(x) + h(x)] dx e. j 11(x) dx 
e. J, 9[2/(x) - 3h(x)] dx r. J\h(x) - J(x)] dx 
11. Suponha que ff f(x) dx = 5. Calcule 
a. ] \cu) du e. fi 11(1) dt 
b. j \Í3f(z) dz d. j\-J(x)] dx 
12. Suponha que J03 g(t) dt = \/2. Calcule 
1- 3 1º a. g(t) dt e. [-g(x)] dx - 3 
l o 1º g(r) b. _3 g(u) du d. 3 V2 dr 
13. Suponha que f seja integrável e que f~ f(z) dz = 3 e 
f0
4 f (z) dz = 7. Calcule 
a. 14J(z) dz b. 13J(t) dt 
14. Suponha que h seja integrável e que f ~1 h(r) dr = O e 
f 31 h(r) dr = 6. Calcule 
a. j 3h(r) dr b. -J, 1h(u) du 
Uso de áreas conhecidas para calcular integrais 
Nos Exercícios 15-22, esboce o gráfico dos integrandos e use áreas 
para calcular as integrais. 
15. 1 : (; + 3) dx 19. 1~ lxl dx 
1 3/2 11c1 -16. (-2x + 4) dx 20. lxl) dx 
/2 1 
17. 1 3~dx 21. 1'c2 - lxl) dx 
3 l 
1ºV16 - x 2 dx 1i ( 1 + ~)dx 18. 22. 
4 
Nos Exercícios 23-28, use áreas para calcular as integrais. 
23. 1 b; dx, b>O 25. 1 b2s ds, O<a<b 
24. 1\xdx, b > o 26. 1 \idt, O<a<b 
27. J(x) = V4--=-? em a. [- 2, 2], b. [O, 2] 
28. J(x) = 3x + ~ em a. [- 1, O] , b. [-1, l] 
Cálculo de integrais definidas 
Use os resultados das Equações 1 e 3 para calcular as integrais nos 
Exercícios 29-40. 
29. 1\h xdx 33. x 2 dx 1 ~ 37. 1~ 
0 
xdx 
12,5 10,3 1V3a 30. xdx 34. s 2 ds 38. xdx 
,5 a 
31. 12n f) df) 35. l'P t 2 dt 39. b x 2 dx 1 ~ 
Js\h l n/2 1 3h 32. rdr 36. 02 dfJ 40. x 2 dx 
V2 
Use as regras na Tabela 5.4 e as Equações 1-3 para calcular as inte-
grais dos Exercícios 41-50. 
41. f,\ dx 
42. 1\x dx 
43. 1\21 - 3) dt 
44. lv'i ( t - \/2) dt 
46. J, ºc2z - 3) dz 
41. j \u2 du 
48.1 1 24u2 du 
/2 
49. 12(3x 2 + x - 5) dx 
45. 1' (1 + ;) dz 50. i º(3x 2 + x - 5) dx 
Determinação de área por integrais definidas 
Nos Exercícios 51-54, use uma integral definida para determinar a 
área da região entre a curva dada e o eixo x no intervalo [O, b]. 
51. y = 3x2 
52. y = 7TX2 
53. y = 2x 
X 
54. y = 2 + 1 
Determinação do valor médio 
Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu 
valor médio ao longo do intervalo dado. 
55. f(x) =x2 - 1 em [ O, \/3] 
x2 
56. f(x) = - 2 em [O, 3] 
57. f(x) = - 3x2 - 1 em [O, 1] 
58. f(x) = 3x2 - 3 em [O, l] 
59. f(t) = (t- 1)2 em [O, 3] 
60. f(t)=t2-t em [-2, 1] 
61. g(x)= lxl- 1 em a.[- 1, 1],b.[1,3]ec.[- 1,3] 
62. h(x) = -lxl em a.[- l,O],b.[O,l]ec.[- 1,1] 
Integrais definidas como limites 
Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas 
nos Exercícios 63-70. 
63.1b cdx 
64. 12 ( 2x + 1 ) dx 
65. 1 b x 2 dx, a < b 
66. 1
1
º (x - x 2) dx 
Teoria e exemplos 
67. 
68. 
69. 
70. 
1
1
2 
(3x 2 - 2x + 1) dx 
1,1 x3 dx 
1
b 
x 3 dx, 
I 
a<b 
11 ( 3x - x 3) dx 
71. Que valores de a e b maximizam o valor de 
1\x -x 2) dx? 
(Dica: qual é o integrando positivo?) 
72. Que valores de a e b minimizam o valor de 
1\x• - 2x 2 ) dx? 
73. Use a desigualdade max-min e determine os limites superior e 
inferior para o valor de 
11 _l _+_l _x_2 dx. 
74. (Continuação do Exercício 73.) Use a desigualdade max-min 
e determine mn limitante superior e um limitante inferior para 
10,s_l _ l _ 2 dx +x e 1
1 l 
---
2
dx. 
,5 1 + X 
Some esses limitantes para chegar a uma estimativa mais pre-
cisa de 
1
1 
1 
---
2
dx. 
O 1 + X 
Capítulo 5 Integração 311 
75. Demonstre que não é possível que o valor de J~ sen (x2) dx 
seja 2. 
76. Demonstre que o valor de f0
1 ~ dx situa-se entre 
2\h ~ 2,8 e 3. 
77. Integrais de funções não negativas Use a desigualdade 
max-min para mostrar que, se fé integrável, então 
J (x) > O em [a, b] => i bf(x) dx > O. 
78. Integrais de funções não positivas Mostre que, se f for in-
tegrável, então 
J(x) < O em [a, b] 
79. Use a desigualdade sen x < x, que é válida para x > O, para 
determinar um limitante superior para o valor de Íõ sen x dx. 
80. A desigualdade sec x > l + (x2/2) vale em (--'TT/2, 7T/2). Use-a 
para determinar um limitante inferior para o valor de f 6 sec x dx. 
81. Você concorda que, se média(!) é realmente um valor típico 
da função integrável f(x) em [a, b ], então a função constante 
média(!) deveria ter a mesma integral e1n [ a, b] que f? Isto é, 
é verdade que 
J.· b 1b média(J) dx = a J(x) dx? 
Justifique sua resposta. 
82. Seria bom se as médias dos valores das funções integráveis 
obedecessem às regras a seguir em um intervalo [a, b]. 
a. média(! + g) = média(!) + média(g) 
b. média(kf) = k média(!) ( qualquer número k) 
c. média(!) < média(g) se f(x) < g(x) em [a, b]. 
Será que essas regras são válidas? Justifique sua resposta. 
83. Somas superior e inferior para funções crescentes 
a. Suponhamos que o gráfico de uma função contínua f (x) 
suba gradualmente conforme x se move da esquerda para a 
direita em um intervalo [a, b]. Seja Puma partição de [a, b] 
em n subintervalos de comprimento Lix = (b - a)/n. Obser-
vando a f igura a seguir, demonstre que a diferença entre 
as somas superior e inferior para f nessapartição pode ser 
representada graficamente como a área de um retângulo R, 
cujas dimensões sejam [f(b) - f(a)] por Lix. 
(Dica: a diferença U - L é a soma das áreas dos retângulos 
cujas diagonais Q0 Ql' Q 1 Q2, ..• , Q11_ 1 Qn situam-se ao lon-
go da curva. Não há sobreposição quando esses retângulos 
são transladados horizontalmente para R.) 
b. Suponha que, em vez de serem iguais, os comprimentos 
Lixk dos subintervalos da partição de [a, b] variam em ta-
manho. Demonstre que 
U -L < lf(b) - f(a)I Lixmax' 
onde Lixmax é a norma de P, e que, portanto, lllllilPII-O (U - L) 
= O.