Para resolver essa questão, precisamos calcular a soma inferior e a soma superior da função \( f(x) = -x^3 + 2x \) no intervalo \([0, 1]\) dividindo-o em 4 retângulos. 1. Divisão do intervalo: O intervalo \([0, 1]\) dividido em 4 partes resulta em subintervalos de \( \Delta x = \frac{1-0}{4} = 0,25 \). Os pontos de divisão são: \( 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1 \). 2. Cálculo dos valores da função: - \( f(0) = 0 \) - \( f(0,25) = -0,25^3 + 2 \cdot 0,25 = -0,015625 + 0,5 = 0,484375 \) - \( f(0,5) = -0,5^3 + 2 \cdot 0,5 = -0,125 + 1 = 0,875 \) - \( f(0,75) = -0,75^3 + 2 \cdot 0,75 = -0,421875 + 1,5 = 1,078125 \) - \( f(1) = -1^3 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1 \) 3. Soma inferior: Usamos os valores mínimos de cada subintervalo: - \( f(0) = 0 \) (para \([0, 0,25]\)) - \( f(0,25) = 0,484375 \) (para \([0,25, 0,5]\)) - \( f(0,5) = 0,875 \) (para \([0,5, 0,75]\)) - \( f(0,75) = 1,078125 \) (para \([0,75, 1]\)) A soma inferior é: \[ A_{inf} = \Delta x \cdot (f(0) + f(0,25) + f(0,5) + f(0,75)) = 0,25 \cdot (0 + 0,484375 + 0,875 + 1,078125) = 0,25 \cdot 2,4375 = 0,609375 \] 4. Soma superior: Usamos os valores máximos de cada subintervalo: - \( f(0,25) = 0,484375 \) (para \([0, 0,25]\)) - \( f(0,5) = 0,875 \) (para \([0,25, 0,5]\)) - \( f(0,75) = 1,078125 \) (para \([0,5, 0,75]\)) - \( f(1) = 1 \) (para \([0,75, 1]\)) A soma superior é: \[ A_{sup} = \Delta x \cdot (f(0,25) + f(0,5) + f(0,75) + f(1)) = 0,25 \cdot (0,484375 + 0,875 + 1,078125 + 1) = 0,25 \cdot 3,4375 = 0,859375 \] 5. Intervalo da área: Portanto, temos: \[ 0,609375 < A < 0,859375 \] A alternativa correta é: 0,609375 < A < 0,859375.