Integrais de Superfcie e Fluxos

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2009−10 Ficha Prática 11 - Integrais de Superf́ıcie e Fluxos AM2D
1. Calcule a massa da superf́ıcie cónica S de equação z =
√
x2 + y2, z ≤ 1.
A densidade de S no ponto (x, y, z) é dada por
ρ(x, y, z) = 1− z.
2. Neste exerćıcio, as superf́ıcies consideradas possuem densidade ρo constante. Cal-
cule o momento de inércia:
i. da superf́ıcie lateral de um cilindro de altura h e de base circular de raio R, relati-
vamente ao seu eixo.
ii. da superf́ıcie esférica de raio R, relativamente a um dos seus diâmetros.
(Comece por escolher judiciosamente um sistema de eixos.)
3. Calcule o integral de f nas superf́ıcies S indicadas:
i. f(x, y, z) = xz, S é o interior do triângulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
ii. f(x, y, z) = x, S é a superf́ıcie definida por z = x2 + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
4.
Calcule a área de superf́ıcie terrestre situada mais a Norte do que o Campus da FCT.
(Raio da Terra: 6738 km; Latitude do Campus: 38o3′ N)
Alguns resultados: 1.
√
2π
3
; 2. i.2πρoR
3h = mR2, ii. 8
3
πρoR
4 = 2
3
mR2; 3.i.
√
3
24
;
4. Aproximadamente 109.106 km2;
5. Calcule os fluxos dos campos F através das superf́ıcies S indicadas:
i. F(x, y, z) = (x, y, z), S é a porção do parabolóıde de equação z = 1−x2−y2, z ≥ 0,
orientada “para cima”.
ii. F(x, y, z) = (y, x, z2), S é a porção de superf́ıcie ciĺıindrica de equação x2 + y2 = 1,
0 ≤ z ≤ 2, x ≥ 0, orientada “para fora”.
6. Considere a porção S do parabolóıde de equação z = 4 − x2 − y2, z ≥ 0, orien-
tada “para cima”. Considere o campo vectorial F(x, y, z) = (2z, 3x, 5y).
Verifique pelo cálculo o teorema de Stokes:∮
C
F.ds =
∫∫
S
rot(F).dS,
onde C é a circunferência x2 + y2 = 4, z = 0, orientada positivamente.
7. Utilize o teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo F(x, y, z) = (2x, 3y, z2)
através do cubo [0; 1]× [0; 1]× [0; 1].
8. Considere a porção de superf́ıcie ciĺındrica de equação x2 + y2 = 9, 0 ≤ z ≤ 2,
“fechada” por dois ćırculos nos planos de equação z = 0 e z = 2. Utilize o teorema de
Gauss para calcular o fluxo do campo F (x, y, z) = (x3, y3, z2) através de S.
Alguns resultados: 5. i.3π
2
; 6. 12π; 7. 6; 8. 279π.