Análise estatística - 2015.1

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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uanderson Rebula de Oliveira 
 uanderson.rebula@yahoo.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE 
ESTATÍSTICA 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
 
 
 
 
EMENTA: 
Estatística: conceito e fases de estudo. Variáveis. Séries estatísticas: tabelas e 
gráficos. Medidas. Probabilidade. Distribuição Normal e Binomial. Correlação e 
Regressão. Números Índice. 
 
OBJETIVO: 
Refletir a partir da Estatística Básica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e 
pela ciência, disponíveis a todos, que auxiliam na tomada de decisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA 
Mestrando em Engenharia de Produção – Universidade Estadual Paulista – FEG/UNESP 
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA 
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA 
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM 
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC 
 Técnico em Segurança do Trabalho-ETPC 
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC 
 
Professor na UNIFOA no curso de Pós graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor na 
Universidade Barra Mansa – UBM nos cursos de Engenharia de Produção e de Petróleo. Professor da 
Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da 
Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística para o curso de Engenharia de Produção, 
Estatística I e II para o curso de Administração, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de 
Segurança e Análise de Processos Industriais (Gestão Ambiental), Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de 
férias). Professor na Associação Educacional Dom Bosco para os cursos de Adminitração e Logística. Ex-professor 
Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas 
nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica 
de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do 
Trabalho. Ex-professor do SENAI. Consultor interno, desenvolvedor e instrutor de cursos corporativos na CSN, a 
níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia. 
 
RJ – 2015.1 
ANÁLISE ESTATÍSTICA
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
 APRESENTAÇÃO 
DA DISCIPLINA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia 
pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros, 
jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e 
desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença 
da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, 
tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu 
inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como 
o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia, 
os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas 
as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas 
eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de 
qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento, 
modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos 
informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que 
ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões 
essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos 
de probabilidade. 
 
No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito 
antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos 
marcos consagrados na literatura probabilística foi a 
correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-
1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo 
com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o 
desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma 
paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma 
área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a 
incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos 
matemáticos. 
 
A análise combinatória deve grande parte de seu 
desenvolvimento à necessidade de resolver problemas 
probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em 
que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de 
teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação. 
 
Nesta apostila encontraremos as definições de 
Estatística, vocabulário básico, população e amostra, séries 
estatísticas, medidas estatísticas. Correlação e regressão. Números 
índices. Probabilidades e distribuições de probabilidades. 
 
 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Falou mais o Senhor a Moisés, no deserto de Sinai, na tenda da 
congregação, no primeiro dia do mês segundo, no segundo ano da sua 
saída da terra do Egito, dizendo: 
Tomai a soma de toda a congregação dos filhos de Israel, segundo as 
suas gerações, segundo a casa dos seus pais, conforme o número dos 
nomes de todo o varão, cabeça por cabeça; 
Da idade de vinte anos e para cima, todos os que saem à guerra em 
Israel; a estes contareis segundo os seus exércitos, tu e Aarão. 
Estará convosco, de cada tribo, um homem que seja cabeça da casa dos 
seus pais. 
Todos os contados, pois, foram seiscentos e três mil, quinhentos e 
cinquenta. 
 
Números 1: 1-4; 46 
 
 
 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
Sumário 
 
1 – CONCEITOS INTRODUTÓRIOS EM ESTATÍSTICA 
 
1.1 APLICAÇÕES DA ESTATÍSTICA NA ÁREA DE GESTÃO, 7 
1.2 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO, 11 
1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA, 12 
1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA, 14 
 
2 – TABELAS E GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
 
2.1 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS, 17 
2.2 TABELAS, 17 
2.3 GRÁFICOS, 18 
Gráfico em linhas, 18 
Gráfico de colunas, 18 
Gráficos em barras, 18 
Gráfico em setores, 19 
Gráfico de distribuição frequência, 19 
 
 3 – MEDIDAS 
 
3.1 REVISÃO DE MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, 21 
MÉDIA, 21 
Média simples, 21 
Média ponderada, 21 
Média de distribuição de frequência, 22 
MEDIANA, 23 
MODA, 24 
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA, 26 
 
3.2 REVISÃO DE MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIAÇÃO),27 
Introdução, 27 
Amplitude Total, 28 
Desvio médio Absoluto, 28 
Variância e Desvio Padrão, 29 
Coeficiente de Variação, 31 
 
3.3 MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE, 32 
Assimetria e coeficiente de assimetria, 32 
Curtose e coeficiente de curtose, 33 
 
4 – PROBABILIDADE 
 
4.1 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES, 35 
Experimento aleatório, 35 
Espaço amostral, 35 
Eventos, 36 
4.2 CÁLCULOS DE PROBABILIDADES, 36 
Probabilidade , 36 
Eventos complementares, 37 
Eventos mutuamente exclusivos, 38 
Eventos independentes, 38 
5 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E NORMAL 
 
 5.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL, 40 
 5.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL, 42 
 
6 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
6.1 CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES, 48 
Introdução, 48 
Diagrama de Dispersão, 48 
Correlação Linear, 48 
Coeficiente de correlação de Pearson, 49 
 
6.2 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES, 51 
Introdução, 51 
Ajustamento da reta aos pontos grafados, 51 
 
7 – NÚMEROS INDICE 
 
7.1 NÚMEROS INDICE, 54 
Introdução, 54 
Relativos de preço, quantidade e valor, 54 
Elos de relativos, 55 
Relativos em cadeia, 55 
Índices agregativos, 55 
Deflacionamento de dados, 56 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 58 
 
ANEXO I – LIVROS RECOMENDADOS, 59 
ANEXO II – Software BIOESTAT , 60 
ANEXO III – Estatística no Excel, 61 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONCEITOS INTRODUTÓRIOS EM 
ESTATÍSTICA 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
1.1 APLICAÇÕES DA ESTATÍSTICA NA ÁREA DE GESTÃO 
 
ESTATÍSTICA NA PRÁTICA 
Analise as informações abaixo para melhor compreensão do conceito de Estatística. 
 
 ACIDENTES DO TRABALHO NO BRASIL – 1970 a 2005 
Conceito de Acidente: Lesão corporal ou doença, relacionada com o exercício do trabalho. (Lei 8.213/91 – art. 19 a 21) 
INSS: Órgão público responsável pela coleta, organização e representação dos dados. 
 
; Coleta: Por meio de um formulário eletrônico denominado “CAT – Comunicação de Acidente do Trabalho”, enviado 
pelas empresas quando da ocorrência, conforme determina o art. 22 da Lei 8.213/91. 
; Organização: Através de um grande banco de dados do INSS. 
; Representação: Através de um documento denominado “Anuário Estatístico de Acidentes do Trabalho”, contendo 
tabelas, gráficos e diversas análises. Disponível no site www.previdencia.gov.br, na seção “Estatística”. 
 
Motivo: Quando o trabalhador se afasta por motivo de acidente, o INSS concede benefícios acidentários, como auxílio 
doença acidentário, auxílio acidente, aposentadoria por invalidez, pensão por morte, reabilitação entre outros. 
 
COMPILAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS (INFORMAÇÕES) sobre acidentes do trabalho, de 1970 a 2005: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se ao longo dos anos o aumento gradativo da quantidade de trabalhadores no Brasil, de 7.284.022 chegando a 33.238.617, 
reflexo do crescimento econômico do País. Essas informações (dados) são importantes para fins de comparação com a evolução da 
quantidade de acidentes do trabalho no mesmo período, como segue abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No período de 1970 a 1976 a quantidade de acidentes foi alta, comparando-se com a pequena quantidade de trabalhadores no 
mesmo período. Somente a partir de 1978 os acidentes começaram a reduzir, em razão da aprovação das Normas 
Regulamentadoras – NR’s (disponível no www.mte.gov.br), tornando-se de aplicação obrigatória em todo o País. Esta redução pode 
ser vista como positiva, entretanto, não podemos comemorar esses números, pois a quantidade de acidentes ainda é alarmante e 
está praticamente estagnada, desde 1994. 
7.284.022
8.148.987
11.537.024
14.945.489
16.638.799
18.686.355
19.476.36219.673.915
22.163.827
23.661.57923.198.656
22.272.843
23.667.24123.830.312
24.491.635
26.228.629
27.189.614
28.683.91329.544.927
31.407.576
33.238.617
0
5.000.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000
30.000.000
35.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Evolução da QUANTIDADE de TRABALHADORES 
no Brasil - 1970 a 2005. 
FONTE: Revista Proteção Anos 
 
1.220.111
1.504.723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178.472
961.575
1.207.859
991.581
693.572
532.514
388.304 395.455
414.341
363.868340.251393.071 399.077
465.700 491.711
0
250.000
500.000
750.000
1.000.000
1.250.000
1.500.000
1.750.000
2.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO 
TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
Anos 
FONTE: Revista Proteção 
Aprovação das NR’s 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
E as regiões? Como esses acidentes estão distribuídos nas regiões do país? Qual a pior região? Vejamos abaixo em um 
Cartograma (mapa com dados), REFERENTE AO ANO DE 2005 (491.711 acidentes): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que a região em 1° lugar em número de acidentes é a Sudeste, em 2° está a região Sul, em 3° a região Nordeste, em 4° a região 
Centro-Oeste e por último a Norte. Ao analisarmos este gráfico podemos tomar diversas conclusões, porém, tais conclusões somente são 
possíveis através de um estudo, o que demanda tempo. Todavia, observa-se que a quantidade de acidentes acompanha a porcentagem da 
participação do PIB da região. Esta correlação pode ser resultado do reflexo da economia da região. Ora, a região Sudeste, por exemplo, 
corresponde a 56,5% do PIB do País. Logicamente esta região possui um maior número de empresas e, consequentemente, maior número de 
mão-de-obra e atividades produtivas, fato que pode justificar a enorme quantidade de acidentes comparada com as demais regiões. Esses 
dados também podem estar relacionados com as políticas dos estados e das empresas, a atuação das fiscalizações do Ministério do Trabalho, 
as culturas das regiões, os investimentos empresariais, a capacitação de mão de obra (treinamentos) entre outros fatores. Entende-se por 
Produto Interno Bruto (PIB) a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos em uma determinada região. 
 
Tradicionalmente, no Brasil, as políticas de desenvolvimento têm se restringido aos aspectos econômicos e vêm sendo traçadas 
de maneira paralela ou pouco articuladas com as políticas sociais, cabendo a estas últimas arcarem com os ônus dos possíveis 
danos gerados sobre a saúde da população, dos trabalhadores em particular e a degradação ambiental. Para que o Estado 
cumpra seu papel para a garantia dessesdireitos, é mister a formulação e implementação de políticas e ações de governo. 
 
POSSÍVEIS SOLUÇÕES PARA REDUZIR OS ACIDENTES 
 
A partir da análise dos dados podemos concluir que a política de segurança do trabalho adotada no País está estagnada. A 
simples aplicação da norma regulamentadora não está sendo suficiente para reduzir o índice de acidentes. Os dados nos 
mostram que não haverá mudanças significativas se não forem feitas alterações nessa política. 
 
Para contornar a situação, os Ministérios do Trabalho, da Saúde e da Previdência Social publicaram, para consulta pública, em 
29.12.2004 a PNSST - POLÍTICA NACIONAL DE SEGURANÇA E SAÚDE DO TRABALHADOR, com a finalidade de promover a 
melhoria da qualidade de vida e da saúde do trabalhador. 
 
Os Ministérios reconheceram a deficiência da segurança do trabalho no país, carecendo de mecanismos que: 
 
• Incentivem medidas de prevenção; 
• Responsabilizem os empregadores; 
• Propiciem o efetivo reconhecimento dos direitos do trabalhador; 
• Diminuam a existência de conflitos institucionais; 
• Tarifem de maneira mais adequada as empresas e 
• Possibilite um melhor gerenciamento dos fatores de riscos ocupacionais. 
Distribuição da quantidade e porcentagem de acidentes de trabalho no Brasil por Regiões, 
correlacionados com o Produto Interno Bruto - PIB - ano 2005. 
FONTE: Adaptado da Revista Proteção e do IBGE (www.ibge.gov.br) 
NORDESTE 
• Acidentes: 49.010 (10% do total) 
• PIB: 13,1% de participação 
SUDESTE 
• Acidentes: 279.689 (57% do total) 
• PIB: 56,5% de participação 
NORTE 
• Acidentes: 19.117 (4% do total) 
• PIB: 5% de participação 
CENTRO-OESTE 
• Acidentes: 31.470 (6% do total) 
• PIB: 8,9% de participação 
SUL 
• Acidentes: 112.425 (23% do total) 
• PIB: 16,6% de participação 
Espírito Santo - 11.039 acidentes 
Minas Gerais - 52.335 acidentes 
Rio de Janeiro - 34.610 acidentes 
São Paulo - 181.705 acidentes 
É campeão de acidentes no Brasil, participando com 
181.705, o que corresponde a 37% do total; por conseguinte 
o seu PIB também é o maior do País, com 33,9% de 
participação.
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
Face ao exposto, a PNSST propõe, dentre outras, as seguintes ações a serem desenvolvidas pelos três Ministérios: 
 
Área Ações 
 
 
 
Tributos1, 
financiamentos 
e licitações. 
) Estabelecer política tributária que privilegie empresas com menores índices de acidentes e que 
invistam na melhoria das condições de trabalho; 
) Criar linhas de financiamento para a melhoria das condições de trabalho, incluindo máquinas e 
equipamentos, em especial para as pequenas e médias empresas; 
) Incluir requisitos de SST para concessão de financiamentos públicos e privados; 
) Incluir requisitos de SST nos processos de licitação dos órgãos públicos; 
) Instituir a obrigatoriedade de publicação de balanço de SST para as empresas, a exemplo do que já 
ocorre com os dados contábeis; 
 
 
 
Educação e 
pesquisa 
) Incluir conhecimentos básicos em SST no currículo do ensino fundamental e médio; 
) Incluir disciplinas em SST no currículo de ensino superior, em especial nas carreiras de profissionais 
de saúde, engenharia e administração; 
) Estimular a produção de estudos e pesquisas na área de interesse desta Política; 
) Articular instituições de pesquisa e universidades para a execução de estudos e pesquisas em SST, 
integrando uma rede de colaboradores para o desenvolvimento técnico - cientifico na área; 
) Desenvolver um amplo programa de capacitação dos profissionais, para o desenvolvimento das 
ações em segurança e saúde do trabalhador; 
Ambientes 
nocivos 
) Eliminar as políticas de monetarização dos riscos (adicionais de riscos). 
) Outras ações 
Coleta de dados 
) Compatibilizar os instrumentos de coleta de dados e fluxos de informações. 
) Incluir nos Sistemas e Bancos de Dados as informações contidas nos relatórios de intervenções e 
análises dos ambientes de trabalho, elaborados pelos órgãos de governo envolvidos nesta Política. 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE O ESTUDO DE ACIDENTES. 
 
O que acabamos de ver é um estudo estatístico. Como vimos, os dados sobre acidentes do trabalho no Brasil são controladas 
pelo INSS. A comunicação de acidentes permite ao INSS estimar e acompanhar o real impacto do trabalho sobre a saúde e a 
segurança da população brasileira. O INSS coleta, organiza, apresenta e publica as estatísticas de acidentes do trabalho no 
Brasil. Conforme observado, quando ocorre um acidente, a empresa, por força de lei, é obrigada a 
enviar a CAT ao INSS, alimentando, assim, o seu grande banco de dados. 
 
É importante ressaltar que os dados de acidentes de trabalho não se constituem, tão somente, num 
importante registro histórico, mas sim numa ferramenta inestimável para os profissionais que 
desempenham atividades nas áreas de saúde e segurança do trabalhador, assim como 
pesquisadores e demais pessoas interessadas no tema. A análise desses dados possibilita a 
construção de um diagnóstico mais preciso acerca da epidemiologia dos acidentes, propiciando, 
assim, a elaboração de políticas mais eficazes para as áreas relacionadas com o tema. 
 
TÓPICO PARA REFLEXÃO Acidente do Trabalho: o problema do Brasil. 
Os acidentes de trabalho afetam a produtividade econômica, são responsáveis por um impacto substancial sobre o sistema de proteção 
social e influenciam o nível de satisfação do trabalhador e o bem estar geral da população. 
 
Estima-se que a ausência de segurança nos ambientes de trabalho no Brasil tenha gerado, no ano de 2003, um custo de cerca de R$32,8 
bilhões para o país. Deste total, R$ 8,2 bilhões correspondem a gastos com benefícios acidentários e aposentadorias especiais, equivalente a 
30% da necessidade de financiamento do Regime Geral de Previdência Social - RGPS verificado em 2003, que foi de R$ 27 bilhões. O restante 
da despesa corresponde à assistência à saúde do acidentado, indenizações, retreinamento, reinserção no mercado de trabalho e horas de 
trabalho perdidas. 
 
Isso sem levar em consideração o sub-dimensionamento na apuração das contas da Previdência Social, que desembolsa e contabiliza como 
despesas não acidentárias os benefícios por incapacidade, cujas CAT não foram emitidas. Ou seja, sob a categoria do auxílio doença não 
ocupacional, encontra-se encoberto um grande contingente de acidentes que não compõem as contas acidentárias. 
 
Parte deste “custo segurança no trabalho” afeta negativamente a competitividade das empresas, pois ele aumenta o preço da mão-de-obra, 
o que se reflete no preço dos produtos. Por outro lado, o incremento das despesas públicas com previdência, reabilitação profissional e 
saúde reduz a disponibilidade de recursos orçamentários para outras áreas ou induz o aumento da carga tributária sobre a sociedade. 
 
De outro lado, algumas empresas afastam trabalhadores, e muitas vezes os despedem logo após a concessão do beneficio. Com isso, o 
trabalhador se afasta, já sendo portador de doença crônica contraída no labor, e o desemprego poderá se prolongar na medida em que, para 
obter o novo emprego, será necessária a realização do exame admissional, no qual serão eleitos apenas aqueles considerados como “aptos” 
e, portanto, não portadores de enfermidades. 
 
Fonte: RESOLUÇÃO CNPS Nº 1.269, DE 15 DE FEVEREIRO DE 2006 
_________________ 
1. Tributo: Impostos; taxas e contribuições de melhoria, devida ao poder público. 
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UandersonRebula de Oliveira Análise Estatística
CONCEITO DE ESTATÍSTICA 
 
É A CIÊNCIA QUE SE DEDICA EM COLETAR, ORGANIZAR, APRESENTAR, ANALISAR E INTERPRETAR DADOS 
(INFORMAÇÕES) PARA TOMADA DE DECISÃO. 
 
; Estatística é a ciência dos dados. A Estatística lida com a coleta, o 
processamento e disposição de dados (informações), atuando como 
ferramenta crucial nos processos de soluções de problemas. A Estatística 
facilita o estabelecimento de conclusões confiáveis sobre algum fenômeno 
que esteja sendo estudado (WERKEMA, 1995). 
 
; É por meio da análise e interpretação dos dados estatísticos que é possível o 
conhecimento de uma realidade, de seus problemas, bem como, a 
formulação de soluções apropriadas por meio de um planejamento objetivo 
da ação, para além dos “achismos” e “casuismos” comuns. 
 
; No uso diário o termo “estatística” refere-se a fatos numéricos. Tenha em 
mente, entretanto, que estatística é bem diferente de matemática. Estatística 
é, antes de qualquer coisa, um método científico que determina questões de 
pesquisa; projeta estudos e experimentos; coleta, organiza, resume e analisa dados; interpreta resultados e esboça 
conclusões. Ou seja, utiliza-se dados como evidências para responder a interessantes questões sobre o mundo. A 
matemática só é utilizada para calcular a estatística e realizar algumas das análises, mais isso é apenas uma pequena parte 
do que realmente é a estatística. Portanto, a estatística mantém com a matemática uma relação de dependência, 
solicitando-lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver-se. 
 
; A Estatística é uma ciência interdisciplinar, ou seja, é comum a duas ou mais disciplinas ou ramos de conhecimento. 
Assim, a Estatística é aplicada na Medicina, Administração, Engenharias, Economia, Contabilidade, Direito, Segurança do 
Trabalho, Qualidade, Marketing entre outras áreas. Veja abaixo. 
 
 
 
Medicina. Estudos de epidemiologia, 
inter-relações dos determinantes da 
freqüência e distribuição de doenças 
populacionais 
*Engenharia de Produção. Estudos de 
um conjunto de dados de todas as 
fases de um processo produtivo. 
Segurança do Trabalho. Estudos de 
acidentes e doenças, suas causas, 
quantidade, parte atingida, setores, % 
de afastamentos etc. 
Contabilidade. Estudos das 
informações financeiras das empresas 
públicas e privadas. 
Finanças. Estudos de uma série de 
informações estatísticas para orientar 
investimentos. 
Economia. Estudos de taxas de 
inflação, índice de preços, taxa de 
desemprego, futuro da economia. 
 
*Engenharia de Produção – A aplicação da Estatística na produção merece especial atenção. A atual ênfase na qualidade 
torna o controle da qualidade uma importante aplicação da estatística na área da produção. Usa-se uma série de mapas 
estatísticos de controle de qualidade para monitorar o resultado (output) de um processo de produção. Suponha, por 
exemplo, que uma máquina preencha recipientes com 2 litros de determinado refrigerante. Periodicamente, um operador 
do setor de produção seleciona uma quantidade de recipientes e verifica a exatidão, ou seja, se não há desvios. A 
Estatística também é usada na Engenharia de Produção para Estratificação, que consiste no agrupamento da informação 
(dados) sob vários pontos de vista, de modo a focalizar a ação, considerando os fatores equipamento, tempo entre outros. 
Exemplo: 
 
Tipo de dano: Operador: Máquina de lavar: Roupas danificadas 
em uma lavanderia Tipo de roupa: Marca do sabão: Máquina de secar: 
 
 
 
 
 - 11 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
1.2 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
Um estudo estatístico confiável depende do planejamento e da correta execução das seguintes etapas: 
 
1. Definir o que será estudado e a natureza dos dados, como exemplo: 
 
ESTUDO NATUREZA DOS DADOS 
Acidentes do 
Trabalho no Brasil 
; Quantidade e período 
; Por regiões, estados ou municípios 
; Por atividade econômica 
; Por idade dos acidentados 
; Por parte do corpo atingida 
; Por causas dos acidentes etc. 
Peças danificadas na 
linha A 
; Tipo de peça | Tipo de defeito 
; Quantidade 
; Período e Turnos 
; Máquinas e Operadores 
; Matéria prima etc. 
 
 
 
Defina com clareza os objetivos da 
pesquisa, ou seja, o que se pretende 
apurar, que tipo de problema 
buscará detectar. 
 
 
 
2. Coletar dados 
 
Após definir o que será estudado e o estabelecimento do planejamento do trabalho (forma de coleta dos dados, 
cronograma das atividades, custos envolvidos, levantamento das informações disponíveis), o passo seguinte é o 
da coleta de dados, que consiste na busca ou compilação dos dados, componentes do fenômeno a ser 
estudado. Nessa etapa recolhem-se os dados tendo o cuidado de controlar a qualidade da informação. 
O sucesso de uma pesquisa depende muito da qualidade dos dados recolhidos. Podem ser por meio 
de Criação de Softwares, a exemplo da CAT; Uso de Softwares da empresa; Dados históricos 
da empresa (físicos); Pesquisas com questionários etc. 
 
3. Organizar e contar dados 
 
À procura de falhas e imperfeições, os dados devem ser cuidadosamente organizados e contados, a fim de não incorrermos 
em erros grosseiros que possam influenciar nos resultados. No exemplo da “Estatística na prática”, após a coleta da quantidade 
de acidentes por meio da CAT, organiza-os por período, regiões etc. Da mesma maneira, se você usa um questionário para 
coletar dados na empresa, organiza-os da forma necessária à pesquisa, além da contagem a ser feita. 
 
4. Apresentação de dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Análise dos dados e tomada de decisão 
 
Chegamos à fase mais complexa do processo estatístico, que consiste na análise dos dados. Por fim, a 
partir da análise realizada, poderemos chegar a uma tomada de decisão. Observe o estudo 
“Estatística na prática”. O que resultou a análise dos acidentes no Brasil, no período de 1970 a 
2005? Veja que os Ministérios do Trabalho, Previdência Social e da Saúde se mobilizaram para 
resolverem essa questão de saúde pública, com diversas ações a serem implementadas no país. A 
partir dessa discussão, fica claro que um profissional com conhecimentos de Estatística terá maior 
facilidade em identificar um problema em sua área de atuação, determinar os tipos de dados que 
irão contribuir para sua análise, coletar esses dados e a seguir estabelecer conclusões e determinar 
um plano de ação para a solução do problema detectado. 
Os dados devem ser 
apresentados sob a 
forma de tabelas ou 
gráficos, a fim de 
tornar mais fácil e 
rápido o exame 
daquilo que está 
sendo estudado. 
1.220. 111
1.504. 723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178. 472
961. 575
1. 207.859
991.581
693. 572
532.514
388.304 395. 455
414.341
363. 868 340.251 393.071 399.077
465.700 491.711
0
250 .000
500 .000
750 .000
1.000 .000
1.250 .000
1.500 .000
1.750 .000
2.000 .000
1970 1972 1974 19 76 1978 19 80 1982 1 984 1986 1 988 1990 1992 1994 1996 199 8 2000 20 01 2002 20 03 2004 2 005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO 
TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
Anos 
FONTE: Revista Proteção 
Aprovação das NR’s 
 - 12 - 
 
 
Uanderson Rebula de OliveiraAnálise Estatística
1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA 
 
O vocabulário utilizado em estudos estatísticos teve sua origem nos primeiros estudos feitos pela humanidade e que eram 
relativos à demografia (estudo estatístico das populações). Por isso a Estatística emprega termos próprios dessa área de 
conhecimento, mas com um sentido diferenciado. Assim, para dar prosseguimento, é de extrema importância destacar alguns 
termos utilizados no jargão estatístico. 
 
VARIÁVEL – É o termo usado para aquilo que você está pesquisando, estudando, analisando. 
, 
; No estudo representado no gráfico abaixo a variável é o acidente do trabalho. Utilizada como um adjetivo do 
vocabulário do dia-a-dia, variável sugere que alguma coisa se modifica ou varia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São exemplos de Variáveis 
Doenças, Sexo, Estaturas, Peso, Idade, Renda, Natalidade, Mortalidade, PIB, Inflação, Exportações brasileiras, 
Produção de café, Alimentação, Peças produzidas por hora, Paradas de produção no mês, Rotatividade de 
estoque por ano, Poluição, Clima na região sudeste, Consumo de energia no mês, Vendas mensais de uma 
empresa, Produção diária de automóveis etc. 
 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO: 
A associação dos moradores de um bairro queria traçar um perfil dos frequentadores de um parque ali situado. 
Uma equipe de pesquisa elaborou questões a fim de reunir as informações procuradas. Numa manhã de quarta-
feira, 6 pessoas foram entrevistadas e cada uma respondeu a questões para identificar idade, número de vezes 
que freqüenta o parque por semana, estado civil, meio de transporte utilizado para chegar ao parque, tempo de 
permanência no parque e renda familiar mensal. Os resultados são mostrados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
Cada um dos aspectos investigados — os quais permitirão fazer a análise desejada — é denominado variável. 
 
 
1.220.111
1.504.723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178.472
961.575
1.207.859
991.581
693.572
532.514
388.304 395.455
414.341
363.868340.251393.071 399.077
465.700 491.711
0
250.000
500.000
750.000
1.000.000
1.250.000
1.500.000
1.750.000
2.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES 
DO TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
FONTE: Revista Proteção Anos 
VARIÁVEL 
Variáveis 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
TIPOS DE VARIÁVEIS 
 
Há, pois, uma divisão principal para as variáveis estatísticas, que consiste em considerá-las como Variáveis Quantitativas 
(discretas ou contínuas) e Variáveis Qualitativas (nominal ou ordinal). Esta divisão é de facílima compreensão! 
 
 
Então, os tipos de Variáveis da pesquisa do parque serão: 
 
 
 
 
 
 
PARA LEITURA 
Se a dúvida persiste, você pode observar no quadro abaixo mais esclarecimentos sobre esses conceitos. 
 
Tipo de VARIÁVEL Resposta fornecida à pesquisa 
Quantitativa 
(Em números) 
Será Quantitativa a variável para a qual se possa atribuir um valor numérico. Se a resposta fornecida à pesquisa estiver expressa 
por um número, então a variável é quantitativa. Por exemplo: quantos livros você lê por ano? A resposta é um número? Então, 
variável quantitativa. Quantas pessoas moram em sua casa? A resposta é um número? Então, novamente, variável quantitativa. 
No caso do estudo “ACIDENTE DO TRABALHO, é uma variável quantitativa, pois estudamos a quantidade de acidentes no período 
de 1970 a 2005 
; Discreta 
(números inteiros) 
(contagem) 
Variável Quantitativa Discreta é a variável quantitativa que assume somente números inteiros. Resulta, geralmente, de 
contagem. Esta variável não pode assumir qualquer valor, dentro de um intervalo de valores de resultados possíveis. Por 
exemplo, se eu pergunto quantos irmãos você tem, a resposta jamais poderia ser “tenho 3,75 irmãos”, ou “tenho 4,8 irmãos”, ou 
seja, a resposta não poderia assumir todos os valores de um intervalo! Este acima é o conceito formal de variável discreta! O 
conceito para memorizar é o seguinte: aquela variável obtida por meio de uma contagem. Em outras palavras: a variável 
discreta você conta!. Exemplos: quantas pessoas moram na sua casa? Quantos livros você tem? Quantos carros você tem? Se, 
para responder à pergunta, você faz uma contagem, então está diante de uma variável quantitativa discreta. 
; Contínua 
(Números não inteiros) 
(medição) 
Variável Quantitativa Contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. Se eu 
pergunto quantos quilos você pesa, a resposta pode ser 65,35kg. Se eu pergunto qual a temperatura na cidade hoje, a resposta 
pode ser 27,35°C. Para facilitar a memorização, basta lembrar que a variável quantitativa contínua pode ser obtida por uma 
medição, ou seja, a variável contínua você mede! Exemplos: peso, altura, duração de tempo para resolução de uma prova, 
pressão, temperatura etc. 
Qualitativa 
(nomes, atributos) 
Se a pergunta é “qual a sua cor preferida?”, logicamente a resposta não será um número, daí estaremos tratando de uma 
variável qualitativa, ou seja, aquela para a qual não se atribui um valor numérico. Exemplos: Sexo: masculino ou feminino 
 
ÁVARI VEL 
QUANTITATIVA 
QUALITATIVA 
DISCRETA
ÍCONT NUA
Quando não é possível ordenar as categorias. 
Ex.: sexo (masculino ou feminino), Cor dos olhos (preto ou verde), 
campo de estudo (Engenharia, Direito etc) 
Não é possível estabelecer uma ordem, uma gradação, o mais ou 
menos importante, prioritário etc. 
ORDINAL 
NOMINAL
Quando as variáveis forem em números 
inteiros, obtido por contagem: 
0 1 2 3 4 55 77 987 etc. 
 
Ex.: Idade (anos), gols de futebol, etc 
Quando as variáveis forem em números 
não inteiros, assumem qualquer valor: 
0,2 1,12 3,77 4,768 etc. 
 
Ex.: Altura (cm), peso (kg), tempo (hh:mm) 
Núme r o
o meN
 
n t e iI
 
Não 
Quando é possível ordenas as categorias. 
Pesquisa de alimentação: 
 [1] Ótimo [2] Bom [3] Regular [4] ruim 
Grau de instrução de funcionários de uma empresa 
 1º grau 2º grau Superior Mestrado Doutorado 
r d e nO áv
l 
Não é 
Qualitativa nominal
Quantitativa discreta Quantitativa contínua 
 - 14 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
Quando você quer saber se a sopa ficou boa, o que você faz? Mexe a panela, retira um pouco com 
uma colher e prova. Depois tira uma conclusão sobre todo o conteúdo da panela sem, na verdade, 
ter provado tudo. Portanto, é possível ter uma idéia de como a sopa está sem ter que comer tudo. 
Isso é o que se faz em estatística. 
 
A estatística deixou de ser a simples catalogação de dados numéricos e se tornou o estudo de como 
chegar a conclusões sobre o todo (população), partindo da observação e análise de partes desse 
todo (amostra). Essa é sua maior riqueza. Assim, podemos conceituar população e amostra como: 
 
POPULAÇÃO É UM CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS EM ESTUDO. 
AMOSTRA É UMA PARTE DA POPULAÇÃO (ou subconjunto). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
; Muitas vezes quando queremos fazer um estudo estatístico, não é possível analisartoda a população 
envolvida com o fato que pretendemos investigar, como exemplo o sangue de uma pessoa ou a poluição 
de um rio. É impossível o teste do todo. Há situações também em que é inviável o estudo da população, 
por exemplo, a pesquisa com todos os torcedores em um estádio de futebol durante uma partida. 
Nesses casos, o estatístico recorre a uma amostra que, basicamente, constitui uma redução da 
população a dimensões menores, sem perda das características essenciais. 
 
; Os resultados fundamentados em uma amostra não serão exatamente os mesmos que você encontraria 
se estudasse toda a população, pois, quando você retira uma amostra, você não obtém informações a 
respeito de todos em uma dada população. Portanto, é importante entender que os resultados da 
amostra fornecem somente estimativas dos valores das características populacionais. Com métodos de 
amostragens apropriados, os resultados da amostra produzirão “boas” estimativas da população, ou 
seja, um estudo bem feito não elimina o erro, mas limita-o a uma margem, procurando torná-la o menor 
possível. Quando aprendemos estatística inferencial, também aprendemos técnicas para controlar esses 
erros de amostragem. 
 
4 razões para selecionar uma amostra 
 
 O número de elementos em uma população é muito grande; 
 Demanda menos tempo do que selecionar todos os itens de uma população; 
 É menos dispendioso (caro) do que selecionar todos os itens de uma população; 
 Uma análise amostral é menos cansativa e mais prática do que uma análise da população inteira. 
 
 
Podemos visualizar o conceito 
de população e amostra na 
figura ao lado. 
 
Quando pesquisamos toda a 
população, damos o nome de 
censo. 
 
A precisão depende do 
tamanho da amostra, e 
quanto maior é o tamanho 
amostral, maior será a 
precisão das informações. 
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
N é designado para População 
n é designado para Amostra 
“N”
“n”
 - 15 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
São exemplos de População e Amostra: 
MEDICINA. Pretende-se estudar o efeito de um novo medicamento para curar determinada doença. É 
selecionado um grupo de 50 doentes, administrando-se o novo medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao 
acaso e o medicamento habitual aos restantes. 
População: Todos os 50 doentes com a doença que o medicamento a estudar pretende tratar. 
Amostra: Os 10 doentes selecionados. 
CONTROLE DE QUALIDADE. O Gerente de Produção de uma fábrica de parafusos pretende assegurar-se de que 
a porcentagem de peças defeituosas não excede um determinado valor, a partir do qual determinada 
encomenda poderia ser rejeitada. 
População: Todos os parafusos fabricados ou a fabricar, utilizando o mesmo processo. 
Amostra: Parafusos escolhidos ao acaso entre os lotes produzidos. 
ESTUDOS DE MERCADO. O gerente de uma fábrica de produtos desportivos pretende lançar uma nova linha de 
esquis, pelo que encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de “estimar“ a porcentagem de 
potenciais compradores desse produto. 
População: conjunto de todos os praticantes de desportos de neve. 
Amostra: conjunto de alguns praticantes inquiridos pela empresa. 
SISTEMAS DE PRODUÇÃO. Um fabricante de pneus desenvolveu um novo tipo de pneu e quer saber o aumento 
da durabilidade em termos de kilometragem em relação à atual linha da empresa. Produz diariamente 1000 
pneus e selecionou 120 para testes. 
População: 1000 pneus. 
Amostra: 120 pneus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 16 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ORGANIZANDO E REPRESENTANDO DADOS... 
 
 
 
 
 
2 
 
TABELAS E GRÁFICOS 
ESTATÍSTICOS 
 - 17 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
2.1 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 
 
As tabelas e gráficos constituem um importante instrumento de análise e interpretação de um conjunto de dados. 
Diariamente é possível encontrar tabelas e gráficos nos mais variados veículos de comunicação (jornais, revistas, televisão, 
Internet), associadas a assuntos diversos do nosso dia-a-dia, como resultados de pesquisas de opinião, saúde e 
desenvolvimento humano, economia, esportes, cidadania, etc. A importância das tabelas e dos gráficos está ligada sobretudo à 
facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações por parte do leitor e também às inúmeras possibilidades de 
ilustração e resumo dos dados apresentados. 
 
2.2 TABELAS 
 
São quadros que resumem um conjunto de dados. 
 
 
 
Tipos de Tabelas 
 
SÉRIE HISTÓRICA 
Descreve os valores da variável, 
discriminados por TEMPO (anos, 
meses, dias, horas, etc. 
 
 
 
SÉRIE GEOGRÁFICA 
Descreve os valores da variável, 
discriminados por REGIÕES (países, 
cidades, bairros, ruas, layout, etc) 
 
 
SÉRIE ESPECÍFICA 
Descreve os valores da variável, 
discriminados por temas 
ESPECIFICOS. 
 
 
 
 
SÉRIE CONJUGADA 
É utilizado quando temos a necessidade de apresentar em uma única 
tabela a variação de valores DE MAIS DE UMA VARIÁVEL, isto é, 
fazer de forma conjugada de duas ou mais séries. 
 
Esta série, por exemplo, é GEOGRÁFICA – HISTÓRICA 
 
 
 
 
 
Título – conjunto de informações sobre o estudo. 
Cabeçalho –especifica o conteúdo das colunas 
Coluna indicadora –especifica o conteúdo das linhas 
Coluna numérica -–especifica a quantidade das linhas 
Linhas – retas imaginárias de dados 
Célula – espaço destinado a um só número 
Rodapé – simplesmente a fonte dos dados 
 - 18 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
2.3 GRÁFICOS 
 
A importância dos gráficos está ligada à facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações e 
também às inúmeras possibilidades de ilustração e resumo dos dados apresentados. Eis os mais usados: 
 
Gráfico em Linha (para séries históricas) 
É a representação dos valores por meio de linhas. Usamos quando precisamos de uma informação rápida de um 
valor ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico em Colunas 
É a representação dos valores por meio de retângulos, dispostos verticalmente. Utiliza-se muito quando 
necessitamos saber a quantidade de valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico em Barras 
É o mesmo conceito que o de Colunas, porém utiliza-se sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHO
EM SÃO PAULO - POR TIPO - 1989
55
1396
698
3578
598
0 1000 2000 3000 4000
ImpactoPerfuração
Atrito
Queda
Corte
Ti
po
Quantidade
FONTE: Dados fictícios 
 QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO: 1989 - 1994
6254
7265
6325
5458
8658
9578
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1989 1990 1991 1992 1993 1994
Anos
Q
ua
nt
id
ad
e
FONTE: Dados fictícios 
 ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO: 1989 - 1994
6254
7265
6325
5458
8658 9578
0
2000
4000
6000
8000
10000
1989 1990 1991 1992 1993 1994
Anos
Q
ua
nt
id
ad
e
FONTE: Dados fictícios 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
Gráfico em Setores 
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação 
de um dado no total, geralmente na forma de porcentagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Distribuição de frequência 
 
HISTOGRAMA. Quando os dados numéricos são organizados, eles geralmente são ordenados do menor para o maior, em 
tabelas de frequências (contagem de dados) e, depois, são colocados em gráficos para que se examine sua forma. (no exemplo: 
4,0 – 5,0 – 6,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0). Este gráfico é chamado de Histograma. Um histograma é um gráfico de colunas juntas. Não 
existem espaços entre as colunas adjacentes, como ocorre em um gráfico de colunas. 
 
 Distribuição de frequência 
Notas dos 
alunos 
 Frequência, f 
(nº de alunos) 
4,0 5 
5,0 3 
6,0 2 
7,0 3 
8,0 2 
9,0 10 
 ∑f=25 
 
O histograma indica que 
cinco alunos tiraram a nota 
4,0; três alunos tiraram a 
nota 5,0; dois alunos 
tiraram a nota 6,0; três 
alunos tiraram a nota 7,0; 
dois alunos tiraram 8,0 e dez 
alunos tiraram 9,0. 
 
 
 
 
HISTOGRAMA EM CLASSES. Os dados são dispostos em histogramas com representação dos intervalos de classes. 
 
 Distribuição frequência com classes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade (Km/h) f 
70 |⎯ 80 4 
80 |⎯ 90 4 
 90 |⎯ 100 8 
 100 |⎯ 110 8 
 110 |⎯ 120 6 
 120 |⎯ 130 10 
 ∑f=40 
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o 
d
e 
al
un
os
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70 80 90 100 110 120 130 
 
Velocidade (Km/h) 
ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO - 1989 
 FONTE: Dados fictícios 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
 
 
 
 
3 
 
MEDIDAS RESUMO 
 
O que dizer se um professor quer saber sobre as notas dos 110 alunos de uma disciplina? Poderíamos, talvez, 
utilizar para resposta uma tabela com as frequências das notas. Porém, o professor gostaria de uma resposta 
rápida, que sintetize a informação que se tem, e não uma distribuição de frequência das notas coletadas. 
 
Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados, utilizamos, em estatística, medidas 
que descrevem, POR MEIO DE UM SÓ NÚMERO, características desses dados. Veja exemplo abaixo. 
 
NOTAS DE ESTATÍSTICA DE 110 ALUNOS DA ESCOLA A 
5.6 8.3 4.5 8.7 3.9 9 5.5 7.9 9.5 10 
9.6 6.6 5.3 3 9.5 3.9 9 5.6 7 5.9 
7 8.9 2 8.7 9 3 8 6.7 4.2 6.5 
6.5 4.6 9.5 5.3 3.9 9 3 8.8 9 8.9 
7.1 6.5 3.9 4.9 9.4 5.3 9.5 2 5.3 7.5 
9.2 9.8 9.5 5.9 5.5 5 7 8.3 5.6 9 
6.1 5.6 4.9 6.5 9 9.6 7.5 7 9 4.5 
4.2 8.9 9.6 9.8 8 6.5 7.9 2 5 5.3 
7.3 8 9 5.6 1 9.8 4 9.5 3.6 5 
8.6 4.2 9.6 8.9 5.9 4.2 6 5.3 8 2.8 
9.2 9 9.8 3.9 8 9.5 3.3 8.4 5.3 4.5 
 
Para uma conclusão rápida, qual foi o desempenho desses alunos? Isto pode ser respondido com as medidas abaixo. 
 
Medidas resumo Valor Interpretação 
Média 6,5 Valor que representa o ponto de equilíbrio das notas (como uma gangorra). 
Mediana 7,0 50% dos alunos tiraram abaixo de 7,0. 
Moda 9,0 Nota que mais se repetiu. 
Desvio padrão - DP 2,3 A maioria das notas está variando entre ±2,3 em torno da média 6,5 (4,2----8,8) 
Coeficiente variação 34% Há variação de 34% das notas em torno da média (complementa o DP). 
1º Quartil 5,0 25% dos alunos tiraram abaixo de 5,0. 
3º Quartil 9,0 75% dos alunos tiraram abaixo de 9,0. 
 
Através dessas informações é possível analisar o desempenho desses alunos. 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO - VÍDEO – ENTENDENDO MEDIDAS RESUMO 
https://www.youtube.com/watch?v=NafuRFU7fwM&list=PLMq2o4TOsym4yeZYxjVArCSROkXEqMG0x&index=6 
 - 21 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
3.1 REVISÃO DE MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
São medidas que utilizamos para obter um número que represente o valor central de um conjunto de dados. As Medidas de 
Tendência Central mais utilizadas são: Média, Mediana e Moda. 
 
 
MÉDIA 
 
MÉDIA SIMPLES - É uma medida que representa um valor típico ou normal num conjunto de dados. 
 
; A média simples serve como um “ponto de equilíbrio” em um conjunto de dados (como o ponto de apoio de uma 
gangorra). Cada dado tem igual importância e peso. Sofre a influência de todos os dados. 
 
 A Média simples é obtida pela seguinte equação: 
x = ∑x → soma dos valores dos dados 
 n → quantidade de dados 
 
 
A Média é representada por x 
(lê-se “x barra”) 
 
 
EXEMPLO. Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0 e, considerando as quatro 
notas de João e Maria durante o ano, informe se foram aprovados. 
 
 
Notas de João: 3,5 | 6,0 | 9,5 | 9,0 | 
 
 x = ∑x 3,5 + 6,0 + 9,5 + 9,0 
 n 4 
 
 x = 7,0 → aprovado 
 
 
 
 
 
MÉDIA PONDERADA. Semelhante a Média simples, porém, atribuindo-se a cada dado um peso que 
retrate a sua importância. 
 
; O termo “ponderação” é sinônimo de peso, importância, relevância. Sugere, então, a atribuição de um peso a um determinado dado. 
Em alguns casos, os valores variam em grau de importância, de modo que podemos querer ponderá-los apropriadamente. É calculada 
multiplicando-se um peso por cada valor, fazendo com que alguns valores influenciem mais fortemente a média do que outros. 
 
A Média ponderada é obtida pela seguinte equação: 
 
px = ∑(x . p) → soma dos valores . pesos 
 ∑ p → soma dos pesos 
Vamos representar a 
Média ponderada por 
px 
 
 
EXEMPLO Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0, sendo que as provas bimestrais 
são ponderadas com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente para o 1º bim, 2º bim, 3º bim e 4º bim. Considerando as 
notas de João (na ordem bimestral crescente), informe se foi aprovado. 
 
Notas de João: | 9,0| 8,0 | 6,0 | 5,0 
 
px = ∑(x . p) 
 ∑ p 
 
 px = (9,0 . 1) + (8,0 . 2) + (6,0 . 3) + (5,0 . 4) 
1+2+3+4 
 
 px = 6,3 → reprovado 
 
Nota. Em uma média simples ele seria aprovado por 7,0. 
 
 
A atribuição de pesos visa fazer com que certos valores tenham mais influência no resultado do que outros. Também pode ser 
aplicado em cálculos de índices de inflação, atribuindo pesos para setor de vestuário, alimentação, etc. 
Média de João
3.5
6.0
7,0
9.5 9.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de João 
9,0
1
8,0
2
6,3
6,0
3
5,0
4
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
 e
 p
es
os
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média ponderada das notas de João 
Média ponderada 
 - 22 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA – aplica-se quando não se tem a lista original dos dados 
 
Quando trabalhamos com uma distribuição de frequência, não sabemos os valores exatos que caem em 
determinada classe. Para tornar possíveis os cálculos, consideramos que, em cada classe, todos os valores 
amostrais sejam iguais ao ponto central de classe. Por exemplo, considere o intervalo de classe 70 |⎯ 80, com 
uma frequência de 4. Admitimos que todos os 4 valores sejam iguais a 75 (o ponto central de classe). Com o total 
de 75 repetido 4 vezes, temos um total de 75 x 4 = 300. Podemos, então, somar esses produtos obtidos de cada 
classe para encontrar o total de todos os valores, os quais, então, dividimos pela quantidade de dados. 
 
 
É importante salientar que a distribuição de frequência resulta em uma aproximação da média 
porque não se baseia na lista original exata dos valores amostrais. 
 
CALCULANDO A MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE 
 
 
 
i Velocidade (Km/h) f x f . x 
1 70 |⎯ 80 4 75 300 
2 80 |⎯ 90 4 85 340 
3 90 |⎯ 100 8 95 760 
4 100 |⎯ 110 8 105 840 
5 110 |⎯ 120 6 115 690 
6 120 |⎯ 130 10 125 1250 
 ∑f=40 - ∑(f.x) = 4180 
Procedimento: 
1. Multiplicar as frequências f pelos pontos centrais 
de classe x e adicionar os produtos. 
2. Somar as frequências f; 
3. Somar os produtos (f.x); 
4. Aplicar a fórmula abaixo: 
 
x = ∑(f.x) → 4180 = 104,5 Km/h 
 ∑f 40 
Média a partir de um HISTOGRAMA COM INTERVALOS DE CLASSE: 
 
 Não é necessário montar tabela. Veja na figura ao lado 
que basta multiplicar a frequência pelo ponto médio e 
adicionar os produtos. Depois, divida pela soma das 
freqüências. 
 
(4*75)+(4*85)+(8*95)+(8*105)+(6*115)+(10*125) 
 4+4+8+8+6+10 
 
x = ∑(f.x) → 4180 = 104,5 Km/h 
 ∑f 40 
 
 
CALCULANDO A MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSE 
 
Nota 
(x) 
 f 
(nº de alunos) f . x 
4,0 5 20 
5,0 3 15 
6,0 2 12 
7,0 3 21 
8,0 2 16 
9,0 10 90 
 ∑f=25 ∑(f.x) = 174 
Quando a distribuição não tem agrupamento de classes, 
consideraremos as frequências como sendo os pesos 
dos elementos correspondentes: 
 
(5*4,0)+(3*5,0)+(2*6,0)+(3*7,0)+(2*8,0)+(10*9,0) 
 5+3+2+3+2+10 
 
x =∑(f.x) → 174 = 6,96 
 ∑f 25 
 
Média a partir de um HISTOGRAMA SEM INTERVALO DE CLASSE 
 
Multiplique a freqüência por “x” (notas) e adicione os 
produtos. Depois, divida pela soma das freqüências. 
 
(5*4,0)+(3*5,0)+(2*6,0)+(3*7,0)+(2*8,0)+(10*9,0) 
 5+3+2+3+2+10 
 
x =∑(f.x) → 174 = 6,96 
 ∑f 25 
 
 
Ponto central de classe 
 
x = 
4 4
8 8
6
1 0
0
2
4
6
8
1 0
1 2
Q
ua
nt
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ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
R e su lta d o s d o s re g istro s d e u m ra d a r
70 80 90 100 110 120 130 
 
Velocidade (Km/h) 
 
 X = 
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o 
de
 
al
un
os
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
x 
 
 75 85 95 105 115 125 
 
x x 
+ 
(4*75)+(4*85) ... 
 - 23 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
MEDIANA 
 
 Medida que representa o valor que está no MEIO de um conjunto de dados. 
 
Uma desvantagem da média simples é que ela é sensível a qualquer valor, de modo que um valor 
excepcional pode afetar drasticamente a média. A Mediana supera grandemente essa 
desvantagem, pois não é afetada por valores extremos, de tal modo que você pode utilizar a 
mediana quando estão presentes valores extremos. 
 
Como achar a mediana de um conjunto de dados 
Para quantidade ÍMPAR de valores 
 
A Posição do termo central é dada por: 2
1nP += 
 
Ex.: 12, 78, 69, 75, 80, 71, 82, 73, 785. n=9 
 
2
19P += = 5 → 5ª posição 
 
A Md é o valor da 5º posição. Ordenando os dados, temos: 
 
 12, 69, 71, 73, 75 ,78, 80, 82, 785 
 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 
 Mediana 
 
 
Para quantidade PAR de valores 
 
As posições dos termos 
centrais são dadas por: 2
nP1= e P2 = a que sucede P1 
 
 
Ex.: 12, 78, 69, 75, 80, 71, 82, 73, 785, 995. n=10 
 
 2
10P1= = 5ª posição e P2 = 6ª posição 
 
A Md é o valor entre a 5º e 6ª posição. Ordenando os dados, temos: 
 
 12, 69, 71, 73, 75, 78 80, 82, 785, 995 
 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 
 Mediana 
A Md é a Média dos dois termos centrais. 2
7875Md += = 76,5 
 
MEDIANA de uma distribuição de freqüência e Histograma SEM INTERVALOS DE CLASSE 
 
 
 Nota f 
 
Fa Observações 
4,0 4 4 Da 1ª até a 4ª p 
5,0 3 7 Da 5ª até a 7ª 
6,0 2 9 Da 8ª até a 9ª 
7,0 3 12 Da 10ª até a 12ª 
8,0 2 14 Da 13ª até a 14ª 
9,0 11 25 Da 15ª até a 25ª 
∑f = n = 25 → ímpar 
 
2
1nP += → 2
125+ = 13ª 
 
Os dados já estão ordenados. Então a 
Md é o valor da 13ª posição. Através da 
Fa fica fácil identificar a posição central: 
 
 Então, a nota Md = 8,0 
 ∑f=25 
 
 
MEDIANA de uma distribuição de freqüência e Histograma COM INTERVALOS DE CLASSE 
 
Acumule Fa e ache a posição da Md 
i Velocidades f Fa 
1 70 |⎯ 80 4 4 
2 80 |⎯ 90 4 8 
3 90 |⎯ 100 8 16 
4 100 |⎯ 110 8 24 
5 110 |⎯ 120 6 30 
6 120 |⎯ 130 10 40 
 ∑f=40 
Independente se n é ímpar ou par usa-se a equação 
n/2. Então, 
40/2 = 20 
A Md está na 20ª posição e será algum valor da classe mediana 100 |⎯ 110. A 
partir da equação abaixo podemos achar uma aproximação da Md. 
 
f
h* Fa - 
2
n
 lMd
ant
inf 
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+= 
 
l inf = limite inferior da classe mediana 
Faant = Fa da classe anterior 
h = amplitude do intervalo de classe 
f = freqüência da classe mediana 
Resolvendo a equação, temos: 
 
 
8
10*16 - 
2
40
Md 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= 100 
 
Md = 105 Km/h, aproximadamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O total das freqüências é 40. Então, a Md será 40/2 = 20ª posição. Observe 
pelo Fa que a classe mediana é 100 |⎯ 110. Também é possível 
determinar l inf, Fa ant, h e f. Então, aplicando a equação, temos: 
 
8
10*16 - 
2
40
Md 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= 100 = 105 km/h, aproximadamente 
 
 
0% 50% 100%
Mediana 
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
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id
ad
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 v
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cu
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s
Resultados dos registros 
de um radar
70 80 90 100 110 120 130 
 
Velocidade (Km/h) 
Fa 
20ª Fa ant = 16 
(4+4+8) 
 ← h →
 10 
 f = 8
l inf 
 
 
 20ª 
 Md = 8,0
4
3
2 3 2
11
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o 
de
 a
lu
no
s
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
 Fa 13ª
 - 24 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
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os
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
NOTA SOBRE A MEDIANA. A mediana é menos utilizada do que a média simples. A mediana pode ser aplicada quando existem 
valores discrepantes em um conjunto de dados. Por exemplo, se a renda per capita de sete famílias fosse: $240; $370; $410; $520; $630; $680 e 
$820, a mediana seria $520 e a média $524. Essas duas medidas poderiam representar este conjunto de dados. Mas se a renda de sete famílias 
fosse: $240; $370; $410; $520; $630; $680 e $10.000, o valor da mediana manter-se-ia o mesmo, enquanto a média simples passaria a ser 
$1.836, pois foi influenciada pelo valor discrepante ($10.000), que não é uma medida ideal para representar este conjunto de dados. A medida 
ideal seria a mediana. Note que os valores discrepantes tem, pois, muito menor influência sobre a mediana do que sobre a média. 
 
Em relação à mediana na distribuição de freqüência com intervalos de classe, admite-se que as velocidades dos veículos se distribuem 
continuamente. Nesse caso, a mediana é a velocidade para o qual a metade da freqüência total 40/2 = 20 fica situada abaixo e a outra acima 
dele. Ora, a soma das três primeiras freqüências de classe é 4+4+8 = 16. Então, para obter a 20ª velocidade desejada, são necessários mais 4 
dos 8 casos existentes na 4ª classe. Como o quarto intervalo de classe, 100 |⎯ 110, a mediana situa-se a 4/8 de distância, e é: 100 + 4/8 (110 – 
100) = 105 km/h. Com a equação fica mais fácil encontrar a mediana pois não exige este tipo de raciocínio. 
 
MODA 
 
Medida que representa o valor que mais se REPETE em um conjunto de dados. 
 
Na linguagem coloquial, moda é algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê bastante! Em estatística a moda é o valor que detém 
o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais frequentes em uma série de dados. A moda não é necessariamente 
única, ao contrário da média simples ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez 
que a média e a mediana podem não ser bem definidas. 
 
 
Exemplos: 
 
A série {1, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 7} apresenta moda = 5, pois é o número que mais se repete. 
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8} apresenta duas modas (Bimodal): 5 e 6, pois são os que mais se repetem. 
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} apresenta mais do que duas modas (Polimodal): 5, 6 e 7 
A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9, 10} não apresenta moda = amodal, pois nenhum número se repete. 
 
MODA de uma distribuição de freqüência e Histograma SEM INTERVALOS DE CLASSE 
 
Notas dos alunos 
 
A Moda será a nota 9,0, pois é 
a que mais se repete no 
conjunto de dados 
4,0 5,0 8,0 9,0 
4,0 6,0 9,0 9,0 
4,0 6,0 9,0 9,0 
4,0 7,0 9,0 9,0 
4,0 7,0 9,0 
5,0 7,0 9,0 
5,0 8,0 9,0 
 
 
Nota f 
(nº de alunos)
4,0 5 
5,0 3 
6,0 2 
7,0 3 
8,0 2 
9,0 10 
 ∑f=25 
 
 
MODA de uma distribuição de frequência e Histograma COM INTERVALOS DE CLASSE 
 
a) Moda Bruta 
 
 
 
i Velocidade (Km/h) f 
1 70 |⎯ 80 4 
2 80 |⎯ 90 4 
3 90 |⎯ 100 8 
4 100 |⎯ 110 8 
5 110 |⎯ 120 6 
6 120 |⎯ 130 10 
 ∑f=40 
A Moda Bruta será o ponto 
médio de classe modal, que é a 
classe que apresenta a maior 
frequência. Então: 
 
Mo = 120 + 130 = 125Km/h 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS SOBRE A MODA. Na distribuição de freqüência em classes, o método utilizado para encontrar a moda por meio do ponto 
médio de classe é chamado de moda bruta, e é apenas uma aproximação pois não foi baseada na lista original de dados. Existem outros 
métodos para encontrar a Moda de uma distribuição de freqüência com intervalo de classe: Método de Czuber, Método de King e Método de 
Pearson, normalmente exigidos em concursos públicos. 
 
 
 
 
 
Moda
Nota 
9,0 
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
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ua
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Resultados dos registros 
de um radar
70 80 90 100 110 120 130
 
Velocidade (Km/h) 
120+130 = 125Km/h 
 2 
Classe modal (tem maior frequência)
 - 25 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
b) Moda de czuber 
 
h
2D1D
1DCzuberMo *++= l 
=l limite inferior da classe modal 
D1 = f* – f(ant) 
D2 = f* – f(post) 
 h = amplitude da classe modal 
f* = frequência da classe modal 
f(ant) = frequência da classe anterior à classe modal 
f(post) = frequência da classe posterior à classe modal 
 
Exemplo de cálculo da Moda de Czuber (pela Distribuição de Freqüência e pelo Histograma) 
 
Registro das velocidades de 
veículos em uma rodovia 
i Velocidade (Km/h) f 
1 70 |⎯ 80 4 
2 80 |⎯ 90 4 
3 90 |⎯ 100 8 
4 100 |⎯ 110 8 
5 110 |⎯ 120 6 
6 120 |⎯ 130 10 
 ∑f=40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h
DD
DlMo *
21
1
++= → 10104
4120 * ++=Mo 85122,=Mo 
 
Nota: Como não existe frequência simples da classe posterior à classe modal, então f- f(post) = 10 - 0. 
 
- FUNDAMENTOS DA EQUAÇÃO DE CZUBER – 
Pode-se determinar graficamente a posição da Moda no histograma representativo de uma distribuição de frequências. O 
método descrito abaixo é o equivalente geométrico da equação de Czuber. 
 
 
 
1º - A partir dos vértices superiores do retângulo correspondente à classe modal (A e B), traçamos os seguimentos concorrentes 
AC e BD, ligando cada um deles ao vértice superior adjacente do retângulo correspondente a uma classe vizinha, conforme 
ilustrado na figura acima. 
2º - A partir da interseção dos segmentos AC e BD, baixamos uma perpendicular ao eixo horizontal, determinando o ponto que 
indica a Moda, que é 122,85. 
 
 
 
 
 (10- 6) 
 
 
 
 
 
 
(10 - 6) (10 - 0)
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
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Resultados dos registros 
de um radar
70 80 90 100 110 120 130 
 
Velocidade (Km/h) 
f* 
f(ant) 
h* 
f(post) 
Classe 
modal 
Classe modal 
(tem maior frequência) 
 - 26 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA. 
 
Pelo formato da distribuição dos dados, sempre existirá uma relação empírica (baseado na experiência) entre a 
média, mediana e a moda. Através dessa relação podemos saber, aproximadamente, onde se encontram essas 
medidas, sem necessidade de cálculos. 
 
Quando a Média, Mediana e Moda se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de Simétrica ou Normal. 
 
Média = mediana = moda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMÉTRICA ou NORMAL ou FORMA DE SINO 
Quando a distribuição tem a forma de sino (linha tracejada), a 
quantidade de dados vai aumentando, atinge um pico, e depois 
diminui. Se dividíssemos em duas metades, a partir do centro, 
note que os dois lados seriam iguais. O calculo abaixo confirma a 
afirmativa que numa distribuição normal a média, mediana e 
moda se coincidem. 
 
Média = 70(3) + 80(4) + 90(7) + 100(4) + 110(3) = 90 Km/h 
3+4+7+4+3 
 
Mediana = 90 Km/h 
 
 
Moda = 90 Km/h 
 
Quando a Média, Mediana e Moda não se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de assimétrica. 
 
Média < mediana < moda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimétrica à esquerda (ou negativa) 
Neste tipo de distribuição, a média, mediana e a moda estarão 
aproximadamente conforme gráfico ao lado. A média será menor 
que a mediana e a moda. O cálculo abaixo confirma a afirmativa: 
 
Média = 70(1) + 80(3) + 90(6) + 100(9) + 110(2) = 94 Km/h 
1+3+6+9+2 
 
Mediana = 100 Km/h 
 
 
Moda = 100 Km/h 
 
 
Média > mediana > moda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimétrica à direita (ou positiva) 
Neste tipo de distribuição, a média, mediana e a moda estarão 
aproximadamente conforme gráfico ao lado. A média será maior 
que a mediana e a moda. O cálculo abaixo confirma a afirmativa: 
 
Média = 70(2) + 80(9) + 90(6) + 100(3) + 110(1) = 86Km/h 
2+9+6+3+1 
 
Mediana = 80 Km/h 
 
 
Moda = 80 Km/h 
 
 
1
3
6
9
2
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
 70 80 90 100 110 
Velocidade (Km/h) 
Mediana
Moda Média 
2
9
6
3
1
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
 70 80 90 100 110 
Velocidade (Km/h) 
Mediana 
Moda 
Média 
 
3
4
7
4
3
0
2
4
6
8
10
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
 70 80 90 100 110 
 
Velocidade (Km/h) 
Média
Mediana 
Moda 
 Me Md Mo 
94 < 100 ≤ 100 
Me Mo Md 
86 > 80 ≥ 80 
90=90=90 
 - 27 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
3.2 REVISÃO DE MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIAÇÃO) 
 
INTRODUÇÃO 
 
O termo “variação” sugere tornar vário ou diverso; alterar, diversificar; mudar; ser inconstante; não ser conforme, 
discrepar. Na maioria dos casos existirá variação em um conjunto de dados, independente da característica que 
você esteja medindo, pois nem todos os indivíduos terão o mesmo exato valor para todas as variáveis. 
 
EXEMPLO 
Durante o ano letivo a Média das notas de João, Mário, Maria e José foi 7,0. Se considerarmos apenas a 
Média, não notaremos qualquer diferença entre os quatro alunos. No entanto, observa-se que as notas são 
muito diferentes em relação a Média. Há variação de notas e, no caso de João e José, é bem discrepante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diante deste contexto, podemos questionar: qual o aluno é mais estável? Qual teve melhor 
desempenho? Qual o aluno com pior desempenho? Notadamente o aluno de melhor desempenho é o 
Mário, pois todas as suas notas foram 7,0 e, portanto, não houve nenhuma variação em relação a Média. 
Já José e João tiveram o pior desempenho pois suas notas estiveram muito distantes da Média. 
 
Neste capítulo vamos desenvolver maneiras específicas de realmente medirmos a variação, de modo 
que possamos usar números específicos em lugar de julgamento subjetivo. 
 
Outros exemplos de variações: 
 
; Os preços das casas variam de casa para casa, de ano para ano e de estado para estado. 
; Os preços de um produto variam de supermercado para supermercado. 
; O tempo que você leva para chegar ao trabalho varia dia a dia. 
; O tamanho das peças produzidas em uma empresa também varia. 
; A renda familiar varia de família para família, de país para país e de ano para ano. 
; Os resultados das partidas de futebol, de temporada para temporada, variam. 
; As notas que você tira nas provas, não diferente, também variam. 
; Seu saldo bancário também varia, podendo ser de hora em hora, dia a dia, mês a mês. 
 
Estudaremos alguns tipos de medidas de variação: amplitude total, desvio médio absoluto, variância, 
desvio padrão e coeficiente de variação. 
3,5
6,0
7,0
9,5 9,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de João 
7,0 7,0 7,0 7,0 7,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de Mário 
6,5 6,5
7,0 7,5 7,5
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de Maria
4,0
9,5
7,0
8,5
6,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de José 
Sem variação a 
partir da Média 
Grande variação 
a partir da Média 
Pequena variação a 
partir da Média 
Grande variação a 
partir da Média 
 - 28 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística
AMPLITUDE TOTAL - AT 
 
Medida que representa “a diferença entre o maior e o menor valor observado”. 
 
AT = maior valor – menor valor. A amplitude é a medida de variação mais simples de aplicação, porém raramente é utilizada. A razão 
para isto é que a amplitude se baseia somente em dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários, o 
que quase invalida a idoneidade do resultado. Ela é apenas uma indicação aproximada da variabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AT = 9,5 – 3,5 = 6,0 AT = 9,5 – 4,0 = 5,5 AT = 7,5 – 6,5 = 1,0 
 Maior variação Variação mediana