Exercícios sobre Limites de Funções de Várias Variáveis, Curvas de Nível de uma Função.

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INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS
LISTA 2 - IM420 - Matemática Aplicada à Economia
1ªQ) Determine o domı́nio de cada função:
(a) f(x, y) = 2x + 3y
(b) f(x, y) =
√
x2 + y2
(c) h(u, v) =
uv
u− v
(d) h(x, y) = ln(x + y − 5)
(e) h(u, v) =
√
4− u2 − v2
(f) g(r, s) =
√
rs
2ªQ) A Country Workshop fabrica mob́ılia doméstica com ou sem acaba-
mento. Estima-se que a demanda semanal de suas escrivaninhas nas versões
com e sem acabamento é de x e y unidades quando os preços unitários
correspondentes são
p = 200− 1
5
x− 1
10
y e q = 160− 1
10
x− 1
4
y
dólares, respectivamente.
(a) Qual a função Receita total semanal R(x, y) ?
(b) Determine o domı́nio da função R.
3ªQ) Esboce as curvas de ńıvel da função correspondentes aos valores
dados de z.
(a) f(x, y) = 2x + 3y, z = −2,−1, 0, 1, 2
(b) f(x, y) =
√
16− x2 − y2, z = 0, 1, 2, 3, 4
4ªQ) Suponha que a produção de um páıs seja dada por
f(x, y) = 100x
3
5 y
2
5
bilhões de dólares se x bilhões de dólares são gastos com mão-de-obra e y
bilhões de dólares são gastos com capital. Encontre a produção se o páıs
gastou 32 bilhões com mão-de-obra e 243 bilhões com capital.
5ªQ) Calcule os limites das funções de várias variáveis.
(a) lim
(x,y)→(1,2)
3x− 4y
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3 + x2y + xy2
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(1,e)
ln
y
x
6ªQ) Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem de cada uma das seguin-
tes funções
(a) f(x, y) =
xy
x2 + y2
(b) h(u, v) = eu
2−v2
(c) g(s, t) = (s2 − st + t2)2
(d) f(x, y) = lnx2 + 2y2
7ªQ) A função Produção de Cobb-Douglas é dada por
f(x, y) = axby1−b
onde a e b são constantes positivas, com 0 < b < 1. A variável x é a quan-
tidade de dinheiro gasta em mão-de-obra, y denota o custo de equipamento
capital (prédios, máquinas e outras ferramentas de produção) e a função f
mede a sáıda do produto final (em unidades apropriadas) e é chamada de
função produção.
A derivada parcial fx é denominada produtividade marginal de mão-
de-obra. Ela mede a taxa de variação da produção com relação à quan-
tidade de dinheiro gasta em mão-de-obra, para um ńıvel de gasto capital
constante.
A derivada parcial fy é denominada produtividade marginal de ca-
pital. Ela mede a taxa de variação da produção com relação à quantidade
de dinheiro gasta em capital, para um ńıvel de gasto de mão-de-obra fixo.
(a) Se f(x, y) = 30x
2
3 y
1
3 unidades, calcule fx e fy.
(b) Qual será a produtividade marginal de mão-de-obra e a produtivi-
dade marginal de capital quando as quantidades gastas em mão-de-obra e
capital são de 125 unidades e 27 unidades, respectivamente?
8ªQ) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no
ponto dado.
(a) f(x, y) = x2y + xy2; (1, 2)
(b) f(x, y) =
x
y
; (1, 2)
(c) f(x, y) = ex ln y; (0, e)
(d) f(x, y, z) = x2yz3; (1, 0, 2)
9ªQ) Determine todas as derivadas parciais de 2ª ordem das funções e
mostre que as derivadas parciais mistas fxy e fyx são iguais.
(a) f(x, y) = x3 + x2y + x + 4
(b) g(x, y) = e
−x
y
(c) h(x, y) = ln(1 + x2y2)