EDO's 2 ordem homogêneas, com coeficientes constantes.

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - DTL
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA II
Trabalho 2 para somar até 1.0 ponto na P2
OBS.:
1 - Devem ser apresentados, de forma organizada, os cálculos
desenvolvidos para chegar na sua resposta. Respostas ileǵıveis ou
incompreenśıveis não serão corrigidas, será atribúıda pontuação zero na
questão.
2 - O trabalho é individual e deve ser entregue até o dia 12/09/22. Após a
entrega por parte do aluno, não serão mais aceitos ou considerada nenhuma
questão por parte dele. Após 12/09/22, não será considerado mais nenhum
trabalho.
3 - As resoluções das questões devem ser apresentadas na ordem em que
aparecem na folha de questões. Caso não faça alguma, indique a
questão/item e escreva ”não fiz”.
4 - Solicito, se posśıvel, entregar em folhas de papel of́ıcio, ou chamequinho
A4, com nome completo nas folhas numeradas. Não precisa colocar capa,
moldura, porém não serão aceitos trabalhos com aparência de rascunhos. É
um trabalho a ser entregue, avaliado, com objetivo de ajudar a
”levantar”nota da P2, portanto, apresente-o de forma decente.
1) Resolva as EDO’s.
a) xy′ + 2y = ex, x > 0
b) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)
dy
dx
= 0
c) y′ =
2x
y + x2y
2) Macromodelo de Domar: O seguinte macromodelo misto simples
foi proposto por E.D. Domar,
S(t) = αy(t)
I(t) = β
dy
dt
S(t) = I(t)
y(0) = y0
α > 0, β > 0
onde S é a poupança, I é o investimento, y é a renda, e cada uma destas
variáveis é uma função do tempo. A primeira equação estabelece que a pou-
pança é igual a uma proporção fixa da renda; a segunda equação estabelece
que o investimento é proporcional à taxa de variação da renda ao longo do
tempo; a terceira equação estabelece que a poupança é igual ao investimento;
a quarta equação estabelece a condição inicial. Destas relações, podem ser
obtidas funções espećıficas que expressam variações nas variáveis ao longo do
tempo.
Como S(t) = I(t), a equação diferencial
dy
dt
− α
β
y = 0
é obtida. Encontre a solução desta EDO, isto é, obtenha a renda como
função do tempo t.
3) Resolva os Problemas de Valor Inicial (PVI)
a)

y′′ + 3y′ = 0
y(0) = −2
y′(0) = 3
b)

y′′ + 4y′ + 5y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 0
c)

9y′′ − 12y′ + 4y = 0
y(0) = 2
y′(0) = −1