Equações Diferenciais Trabalho T1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - DTL
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA II
Trabalho 1 para somar até 1.0 ponto na P2
OBS.:
1 - Devem ser apresentados, de forma organizada, os cálculos
desenvolvidos para chegar na sua resposta. Respostas ileǵıveis ou
incompreenśıveis não serão corrigidas, será atribúıda pontuação zero na
questão.
2 - O trabalho é individual e deve ser entregue até o dia 29/08/22. Após a
entrega por parte do aluno, não serão mais aceitos ou considerada nenhuma
questão por parte dele. Após 29/08/22, não será considerado mais nenhum
trabalho.
3 - As resoluções das questões devem ser apresentadas na ordem em que
aparecem na folha de questões. Caso não faça alguma, indique a
questão/item e escreva ”não fiz”.
4 - Solicito, se posśıvel, entregar em folhas de papel of́ıcio, ou chamequinho
A4, com nome completo nas folhas numeradas. Não precisa colocar capa,
moldura, porém não serão aceitos trabalhos com aparência de rascunhos. É
um trabalho a ser entregue, avaliado, com objetivo de ajudar a
”levantar”nota da P2, portanto, apresente-o de forma decente.
1) Determine a região de integração R
a)
∫ 1
0
∫ √x
x3
f(x, y) dy dx
b)
∫ 1
0
∫ 1−y
−
√
1−y2
f(x, y) dx dy
c)
∫ 1
0
∫ 1
y
f(x, y) dx dy
d)
∫ 1
0
∫ 1
x
f(x, y) dy dx
e)
∫ ∫
R
f(x, y) dA onde R é a região limitada pelas curvas y =
√
x, y = 2
e y = 0
2) Calcule as integrais, apresente os cálculos realizados para chegar na
resposta!
a)
∫ ∫
R
xy dA onde R é a região limitada pelas curvas x = 0, x = 1,
y = 0 e y = x.
b)
∫ ∫
R
2 − y dA onde R é a região limitada pelas curvas x = −1,
x = 1− y, y = 0 e y = 2.
c)
∫ ∫
R
y dA onde R é a região limitada pelas curvas x = 0, x =
√
4− y2,
y = 0 e y = 2.
d)
∫ ∫
R
yex dA onde R é a região limitada pelas curvas y =
√
x e y = x.
e)
∫ ∫
R
y dA onde R é a região limitada pelas curvas x = 1, x = e, y = 0
e y = lnx.
3) Encontre o volume do sólido limitado superiormente pela superf́ıcie
z = f(x, y) e inferiormente pela região R no plano.
a) f(x, y) = 4− 2x− y, R = {(x, y) ∈ IR2 |0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2}.
b) f(x, y) = 2x + y, onde R é o triângulo limitado por y = 2x, y = 0 e
x = 2.
c) f(x, y) = x, onde R é a região no 1º quadrante limitada pelo semićırculo
y =
√
16− x2, pelo eixo x e pelo eixo y.
4) A densidade populacional de uma região litorânea é descrita pela
função
f(x, y) =
10000ey
1 + 0, 5|x|
onde −10 ≤ x ≤ 10, −4 ≤ y ≤ 0, sendo x e y medidos em milhas.
Encontre o número de pessoas que vivem na região R dada por
R = {(x, y) ∈ IR2 | − 5 ≤ x ≤ 5;−2 ≤ y ≤ 0}
5) Encontre o valor médio da função f(x, y) = e−x
2
na região R sendo o
triângulo com vértices em (0, 0), (1, 0) e (1, 1).