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Equação da circunferência em coordenadas polares
TEOREMA: C(c,α) a
r2 − 2 · c · r · Cos(θ − α) + c2 = a2
r = a
r = ±2aCosθ
devemos adotar o sinal positivo ou negativo mediante o centro estar a direita ou a 
esquerda do polo.
r = ±2aSenθ
devemos adotar o sinal positivo ou negativo mediante o centro estar a acima ou 
abaixo do polo.
- Se a circunferência passa pelo polo e seu centro está sobre o eixo polar, sua equação é da forma:
- Se a circunferência passa pelo polo e seu centro está sobre o eixo normal, sua equação é da forma:
- Se seu centro está no polo (origem), a equação polar será:
y
xO
Considere o plano cartesiano abaixo xOy, e a circunferência C de centro em
a
c
r
α
α
θ
θ
θ − α
Demonstração:
P
C(c,α)
(c,α)
De "O" trace OC = c e OP = r, onde:
 é o ângulo entre OX e OC; é o ângulo
entre OX e OP; CP = a é o raio da
circunferência.
 são as coordenadas polares do centro.
 são as coordenadas polares do ponto P.
Pela lei dos cossenos, se obtém:
a2 = r2 + c2 − 2 · c · r · Cos(θ − α)
A equação polar de uma circunferência de centro no ponto e raio é:
(r, θ)
(r, θ)
Lembrando que as coordenadas polares são lidas da 
seguinte maneira:
1ª é a distância entre o ponto estudado e a origem
dos polos
2ª é o ângulo formado pelo eixo x do plano cartesiano
e o segmento formado unindo a origem dos polos
com o ponto estudado.
P (2, 4π/3)C(3, 7π/6)
r
θ
θ
θ
1 - Achar a equação polar da circunferência de centro no ponto e que passa pelo ponto .
Em seguida encontre as coordenadas dos pontos que o círculo intercepta, respecitvamente, os eixos e .
Resolução:
r2 − 2 · c · r · Cos(θ − α) + c2 = a2A equação polar da circunferência é: , onde
c = 3 ,, α = 7π/6 e ⇒ a =
p
(3)2 + (2)2 − 2(3)(2)Cos(4π/3− 7π/6) =
q
13− 6
√
3
Logo: r2 − 6rCos(θ − 7π/6) + 9 =
 q
13− 6
√
3
!2
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
r2 − 6rCos(7π/6− θ) + 6
√
3− 4 = 0
r2 − 6rCos(7π/6− 0) + 6
√
3− 4 = 0 r2 + 6r
√
3/2 + 6
√
3− 4 = 0
e
r1 = −2 r2 = −3
√
3 + 2e
02 − 6 · 0 · Cos(7π/6− θ) + 6
√
3− 4 = 0
r = 2 θ = 4π/3
θ = 0
θ = 0O círculo intercepta o eixo polar quando e quando 
θ = π
θ = π
Para 
Para 
r2 − 6rCos(7π/6− π) + 6
√
3− 4 = 0 r2 − 6r
√
3/2 + 6
√
3− 4 = 0
r1 = 2 r2 = 3
√
3− 2
r = 0
r = 0
r = 0O círculo intercepta o polo quando , se existir tal que .
Nesse caso não temos como encontrar para .